2024屆江西省南昌市第八中學、第二十三中學、第十三中學高二數學第二學期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數是冪函數，且其圖象與兩坐標軸都沒有交點，則實數A． B．2 C．3 D．2或2．的展開式的各項系數之和為3，則該展開式中項的系數為（）A．2 B．8 C． D．-173．已知一個等比數列，這個數列，且所有項的積為243，則該數列的項數為（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知定義域為的函數滿足‘’，當時，單調遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實數C．恒大于0 D．恒小于05．如圖過拋物線焦點的直線依次交拋物線與圓于A、B、C、D，則A．4 B．2 C．1 D．6．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(-1,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．34137．設是等差數列的前項和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”9．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．10．從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數為（）A． B． C． D．11．設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．312．某研究機構對兒童記憶能力和識圖能力進行統計分析，得到如下數據：記憶能力識圖能力由表中數據，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機變量的取值為0,1,2，若，，則________.14．數列{an}滿足，若{an}單調遞增，則首項a1的范圍是_____．15．設，且，則的最大值為_______.16．過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，為橢圓的左焦點，若，且該橢圓的離心率，則的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同．（1）求的值；（2）過橢圓的左頂點作直線，交橢圓于另一點，交橢圓于兩點（點在之間）．①求面積的最大值（為坐標原點）；②設的中點為，橢圓的右頂點為，直線與直線的交點為，試探究點是否在某一條定直線上運動，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．18．（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經過了一年的生長發育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統計，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60),[90,100]的數據).1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在[80,90)內的株數,求隨機變量的分布列及數學期望.19．（12分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．20．（12分）對于給定的常數,設隨機變量.（1）求概率.①說明它是二項式展開式中的第幾項；②若,化簡：；（2）設，求，其中為隨機變量的數學期望.21．（12分）已知函數.證明：；已知，證明：.22．（10分）設等差數列的前項和為，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為，并求使得取得最大值的序號的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據冪函數的定義，求出m的值，代入判斷即可．【題目詳解】函數是冪函數，，解得：或，時，，其圖象與兩坐標軸有交點不合題意，時，，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意，故，故選A．【題目點撥】本題考查了冪函數的定義，考查常見函數的性質，是一道常規題．2、D【解題分析】

令得各項系數和，可求得，再由二項式定理求得的系數，注意多項式乘法法則的應用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數為：．故選D．【題目點撥】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當的賦值可以求出一些特定的系數，如令可得展開式中所有項的系數和，再令可得展開式中偶數次項系數和與奇數次項系數和的差，兩者結合可得奇數項系數和以及偶數項系數和．3、B【解題分析】

根據等比數列性質列式求解【題目詳解】選B.【題目點撥】本題考查利用等比數列性質求值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4、D【解題分析】

由且，不妨設，，則，因為當時，單調遞減，所以，又函數滿足，所以，所以，即.故選：D.5、C【解題分析】

根據拋物線的幾何意義轉化，，再通過直線過焦點可知，即可得到答案.【題目詳解】拋物線焦點為，,,，于是，故選C.【題目點撥】本題主要考查拋物線的幾何意義，直線與拋物線的關系，意在考查學生的轉化能力，計算能力及分析能力.6、B【解題分析】由正態分布的性質可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態分布N(-1,1)的密度曲線）的點的個數的估計值為本題選擇B選項.點睛：關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.7、C【解題分析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數列的基本概念.在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．8、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進行判斷，條件能推出結論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當時，不滿足，B錯C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D.命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”，D錯答案選C【題目點撥】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進行判斷，命題的否定為只否定結論，全稱改存在，存在改全稱9、C【解題分析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計算即可.【題目詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.【題目點撥】本題考查了常見幾何體的三視圖與體積的計算，屬于基礎題.10、D【解題分析】

從、、中任取兩個字母排成一列，直接利用排列數公式可得出結果.【題目詳解】由排列數的定義可知，從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數為.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數的應用，考查計算能力，屬于基礎題.11、D【解題分析】D試題分析：根據導數的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．12、B【解題分析】試題分析：當時考點：回歸方程二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設時的概率為，則，解得，故考點：方差.14、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題分析】

先表示出，結合{an}單調遞增可求首項a1的范圍.【題目詳解】因為，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查數列的單調性，數列的單調性一般通過相鄰兩項差的符號來確定，側重考查邏輯推理和數學運算的核心素養.15、25.【解題分析】分析：由題意結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.詳解：由均值不等式的結論有：，即：，當且僅當時等號成立.據此可知：的最大值為25.點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．16、【解題分析】設右焦點F′，連結AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．點睛：本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質．有關橢圓的離心率問題的關鍵是利用圖形中的幾何條件構造的關系,解決橢圓離心率的相關問題的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②點在定直線上【解題分析】

（1）利用兩個橢圓離心率相同可構造出方程，解方程求得結果；（2）①當與軸重合時，可知不符合題意，則可設直線的方程：且；設，，聯立直線與橢圓方程可求得，則可將所求面積表示為：，利用換元的方式將問題轉化為二次函數的最值的求解，從而求得所求的最大值；②利用中點坐標公式求得，則可得直線的方程；聯立直線與橢圓方程，從而可求解出點坐標，進而得到直線方程，與直線聯立解得坐標，從而可得定直線.【題目詳解】(1)由橢圓方程知：，離心率：又橢圓中，，，又，解得：（2）①當直線與軸重合時，三點共線，不符合題意故設直線的方程為：且設，由（1）知橢圓的方程為：聯立方程消去得：即：解得：，，又令，此時面積的最大值為：②由①知：直線的斜率：則直線的方程為：聯立方程消去得：，解得：則直線的方程為：聯立直線和的方程，解得：點在定直線上運動【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合應用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的三角形面積最值的求解、橢圓中的定直線問題；解決定直線問題的關鍵是能夠通過已知條件求得所求點坐標中的定值，從而確定定直線；本題計算量較大，對于學生的運算與求解能力有較高的要求.18、(1)見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y；（2）由題意可知，高度在[80,90)內的株數為5，高度在[90,100]內的株數為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數的可能取值為1,2,3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望.詳解：(1)由題意可知，樣本容量，.(2)由題意可知，高度在[80,90)內的株數為5，高度在[90,100]內的株數為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數的可能取值為1,2,3，則,,.123故.點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想.19、（1）見解析（2），詳見解析【解題分析】

（1）設，，由橢圓對稱性得，把點，的坐標都代入橢圓得到兩個方程，再相減，得到兩直線斜率乘積的表達式；（2）設，，，則，由得：，進而得到直線的方程，再與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到坐標之間的關系，最后整體代入消元，得到為定值.【題目詳解】（1）當過原點時，設，，由橢圓對稱性得，則．∵，都在橢圓上，∴，，兩式相減得：，即．故．（2）設，，，則，∵，∴，設直線的方程為()，聯立方程組消去，整理得．∵在橢圓上，∴，上式可化為．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關系，對綜合運算能力要求較高，對坐標法進行深入的考查