新疆烏魯木齊市沙依巴克區四中2024屆數學高二第二學期期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我市擬向新疆哈密地區的三所中學派出5名教師支教，要求每所中學至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種2．已知集合，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個數為（）A． B． C． D．3．設，且，則下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．4．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．樣本的相關系數r，越接近于1，線性相關程度越小D．命題“若，則”的逆否命題為真命題5．設等比數列的前n項和為，且滿足，則A．4 B．5 C．8 D．96．已知函數，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．7．若集合，，則()A． B．C． D．8．某人考試，共有5題，至少解對4題為及格，若他解一道題正確的概率為0.6，則他及格的概率為（）A． B． C． D．9．已知函數的導函數為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-210．將函數的圖像向右平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數的最大值為 B．函數的最小正周期為C．函數的圖象關于直線對稱 D．函數在區間上單調遞增11．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則12．的展開式中的系數是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，則，的大小關系是__________．14．用數學歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數是_____項．15．設分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當線段長最小時橢圓的離心率為_______．16．在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若函數的導函數為偶函數，求的值；（2）若曲線存在兩條垂直于軸的切線，求的取值范圍18．（12分）已知函數，.（Ⅰ）求過原點，且與函數圖象相切的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，.19．（12分）的內角所對的邊分別為，已知.（1）證明：；（2）當取得最小值時，求的值.20．（12分）若存在常數（），使得對定義域內的任意，（），都有成立，則稱函數在其定義域上是“利普希茲條件函數”.（1）判斷函數是否是“利普希茲條件函數”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）若函數（）是“利普希茲條件函數”，求常數的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數”，證明：對任意的實數，，都有.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點，點在點的下方.（Ⅰ）當時，求，兩點的直角坐標；（Ⅱ）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.22．（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：，直線：.（1）求曲線和直線的直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線相交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據題意：分兩步計算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點睛：對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。2、C【解題分析】分析：根據解元素的特征可將其分類為：集合中有5和沒有5兩類進行分析即可.詳解：第一類：當集合中無元素5：種，第二類：當集合中有元素5：種，故一共有14種，選C點睛：本題考查了分類分步計數原理，要做到分類不遺漏，分步不重疊是解題關鍵.3、D【解題分析】

逐一分析選項，得到正確答案.【題目詳解】由已知可知，可以是正數，負數或0，A.不確定，所以不正確；B.當時，兩邊同時乘以，應該，所以不正確；C.因為有可能等于0，所以，所以不正確；D.當時，兩邊同時乘以，，所以正確.故選D.【題目點撥】本題考查了不等式的基本性質，屬于簡單題型.4、D【解題分析】

利用四種命題之間的變換可判斷A；根據全稱命題的否定變法可判斷B；利用相關系數與相關性的關系可判斷C；利用原命題與逆否命題真假關系可判斷D.【題目詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；對于C，樣本的相關系數r，越接近于1，線性相關程度越大，故C錯誤；對于D，命題“若，則”為真命題，故逆否命題也為真命題，故D正確；故選：D【題目點撥】本題考查了判斷命題的真假、全稱命題的否定、四種命題的轉化以及原命題與逆否命題真假關系、相關系數與相關性的關系，屬于基礎題.5、D【解題分析】

由等比數列的通項公式和求和公式代入題中式子可求。【題目詳解】由題意可得，，選D.【題目點撥】本題考查數列通項公式和求和公式基本量的運算。6、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關系．【題目詳解】,,根據對數函數的單調性得到a>c,,又因為，，再由對數函數的單調性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點撥】考查對數的運算性質，對數函數的單調性．比較兩數的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構造函數利用函數的單調性得到結果.7、A【解題分析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點睛：本題考查集合的綜合運算，屬基礎題.8、C【解題分析】

由題，得他及格的情況包含答對4題和5題，根據獨立重復試驗的概率公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得他及格的情況包括答對4題和5題，所以對應的概率.故選：C【題目點撥】本題主要考查獨立重復試驗的概率問題，屬基礎題.9、D【解題分析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數，問題就很容易解決了．對進行求導：=，所以，-1.考點：本題考查導數的基本概念及求導公式．點評：在做本題時，遇到的主要問題是①想不到對函數進行求導；②的導數不知道是什么．實際上是一個常數，常數的導數是0.10、D【解題分析】

根據平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對稱軸和單調性，可求得正確結果.【題目詳解】函數向右平移個單位長度得：橫坐標伸長到原來的倍得：最大值為，可知錯誤；最小正周期為，可知錯誤；時，，則不是的對稱軸，可知錯誤；當時，，此時單調遞增，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數平移變換和伸縮變換、正弦型函數的單調性、對稱性、值域和最小正周期的求解問題，關鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時采用整體對應的方式來判斷正弦型函數的性質.11、B【解題分析】

根據空間中平面和直線平行和垂直的位置關系可依次通過反例排除，從而得到結果.【題目詳解】選項：若，則與未必平行，錯誤選項：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項：垂直于同一平面的兩個平面可能相交也可能平行，錯誤選項：可能與平行或相交，錯誤本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的相關命題的判定，通常通過反例，采用排除法的方式來得到結果，屬于基礎題.12、D【解題分析】試題分析：的系數為．故選D．考點：二項式定理的應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號．詳解：，所以，．點睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關鍵14、【解題分析】

根據等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【題目詳解】解：當時，等式左端，當時，等式左端，所以增加的項數為：即增加了項．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查數學歸納法的問題，解答的關鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎題．15、【解題分析】

將代入橢圓方程可得，從而，利用基本不等式可知當時，線段長最小，利用橢圓的關系和可求得結果.【題目詳解】橢圓過得：由橢圓方程可知：，又（當且僅當，即時取等號）當時，線段長最小本題正確結果：【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解問題，關鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據等號成立條件可得到橢圓之間的關系，從而使問題得以求解.16、【解題分析】

由題意畫出圖形，取中點，連接，，可得平面，求其面積，得到三棱錐的體積為，取中點，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，求出三棱錐的外接球的體積為，作比得答案．【題目詳解】如圖，，，，，，取中點，連接，，則，，且，．在中，由，，，得，．則．，即；取中點，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，．三棱錐的外接球的體積為．．【題目點撥】本題主要考查多面體及其外接球的體積的求法，意在考查學生的直觀想象和數學運算能力。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出函數的導數，由于二次函數為偶函數，所以一次項系數為，進而求得a的值；（2）由題意得存在兩個不同的根，轉化成二次函數的判別式大于.【題目詳解】（1）∵，由題因為為偶函數，∴，即（2）∵曲線存在兩條垂直于軸的切線，∴關于的方程有兩個不相等的實數根，∴，即，∴.∴a的取值范圍為.【題目點撥】本題考查三次函數的導數、二次函數的奇偶性、二次函數根的分布問題，考查邏輯推理和運算求解能力，求解時要懂得把曲線存在兩條垂直于軸的切線轉化成方程有兩根.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】分析：（1）設出切點，求導，得到切線斜率，由點斜式得到切線方程；（2）先證得，再證即可，其中證明過程，均采用構造函數，求導研究單調性，求得最值大于0即可.詳解：（Ⅰ）設切點，則，，，切線方程為：，即：，將原點帶入得：，，切線方程為：.（Ⅱ）設，，，則.當時，，當時，，則，所以，即：，.設，，，，，當時，，當時，，則，所以，即：，，所以.點睛：利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化簡即可；（2），當且僅當，即時，取等號.從而即可得到答案.詳解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）當且僅當，即時，取等號.∵，∴點睛：解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．20、（1）不是；詳見解析（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用特殊值,即可驗證是不是“利普希茲條件函數”.（2）分離參數,將不等式變為關于,的不等式,結合定義域即可求得常數的最小值;（3）設出的最大值和最小值,根據一個周期內必有最大值與最小值,結合與1的大小關系,及“利普希茲條件函數”的性質即可證明式子成立.【題目詳解】（1）函數不是“利普希茲條件函數”證明:函數的定義域為令則所以不滿足所以函數不是“利普希茲條件函數”（2）若函數（）是“利普希茲條件函數”則對定義域內任意,（）,均有即設則,即因為所以所以滿足的的最小值為（3）證明:設的最大值為,最小值為在一個周期內,函數值必能取到最大值與最小值設因為函數（）是周期為2的“利普希茲條件函數”則若,則成立若,可設,則所以成立綜上可知,對任意實數,都成立原式得證.【題目點撥】本題考查了函數新定義及抽象函數性質的應用,對題意正確理解并分析解決問題的方法是關鍵,屬于難題.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據題意，可將直線與曲線C聯立求得，兩點的直角坐標；（II）（解法一）當變化時，，于是可知點的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設，可用相關點法表示出的坐標，代入，于是得到軌跡方程.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，直線，曲線的