[練案44]第三講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．在空間中，下列命題正確的是(D)A．經(jīng)過三個點(diǎn)有且只有一個平面B．經(jīng)過一個點(diǎn)和一條直線有且只有一個平面C．經(jīng)過一個點(diǎn)且與一條直線平行的平面有且只有一個D．經(jīng)過一個點(diǎn)且與一條直線垂直的平面有且只有一個2．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為(A)A．4 B．3C．2 D．1[解析]首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．3．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是(C)A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c[解析]若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(C)A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC[解析]由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．(2020·青島模擬)如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).6．(2018·陜西榆林模擬)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則BM與ANA．eq\f(15,17) B．eq\f(16,17)C．eq\f(5,13) D．eq\f(12,13)[解析]如圖，取B1C1的中點(diǎn)P，連接BP，MP.∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM與AN所成的角(或所成角的補(bǔ)角)．BM＝BP＝eq\r(22＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(17),2)，MP＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，∴cos∠MBP＝eq\f(BM2＋BP2－MP2,2BM·BP)＝eq\f(\f(17,4)＋\f(17,4)－\f(2,4),2×\f(\r(17),2)×\f(\r(17),2))＝eq\f(16,17).∴BM與AN所成的角的余弦值為eq\f(16,17).故選B.7．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E①CC1與B1E是異面直線；②AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C③AC⊥平面ABB1A1④A1C1∥平面AB1EA．② B．①③C．①④ D．②④[解析]對于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1內(nèi)，故錯誤；可排除B、C，對于④，A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C8．(2019·福建長汀、連城一中等六校聯(lián)考)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為2、側(cè)棱長為2eq\r(3)，D、E分別是AB、SC的中點(diǎn)，則異面直線DE與BC所成的角的大小為(B)A．90° B．60°C．45° D．30°[解析]作SO⊥平面ABC于O，則C、O、D共線，由題意可知CO＝eq\f(2\r(3),3)，∴cos∠SCD＝eq\f(1,3)，取SB的中點(diǎn)H，連HE，HD，則HE∥BC，從而∠HED即為異面直線DE與BC所成的角，且HE＝1，DH＝eq\r(3)，又DE2＝DC2＋CE2－2DC·CE·cos∠DCS＝4，∴∠EHD＝90°，又EH＝eq\f(1,2)DE，∴∠HED＝60°，故選B.9．(2019·福建漳州二模)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，則異面直線AD1與OC1A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]由題意知O∈BD，連BC1，則BC1∥AD1，∴∠OC1B即為AD1與OC1所成的角，設(shè)正方體棱長為a，則BO＝eq\f(\r(2),2)a，BC1＝eq\r(2)a，又BC1＝DC1，∴C1O⊥BD，∴sin∠OC1B＝eq\f(1,2)，從而cos∠OC1B＝eq\f(\r(3),2)，故選C.10．(2019·內(nèi)蒙古包頭模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動，則異面直線CP與BA1所成的角θA．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]二、多選題11．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個點(diǎn)共面的是(ABC)[解析]在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如圖所示，在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點(diǎn)共面；D圖中PS與QR為異面直線，∴四點(diǎn)不共面，故選ABC.12.(原創(chuàng))三個平面可將空間分成()部分(ACD)A．4 B．5C．7 D．8[解析]三個平面可將空間分成4或6或7或8部分．13．(2020·湖北名師聯(lián)盟模擬改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，，F(xiàn)分別是AB，A1D1的中點(diǎn)，O為正方形A1B1C1DA．直線EF，AO是異面直線B．直線EF，BB1是相交直線C．直線EF與BC1所成角為30°D．直線EF與BB1所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3)[解析]OF綊AE，EF、AO是相交直線，A錯；EF、BB1是異面直線，B錯；如圖，OF綊BE，∴EF∥BO，∴∠C1BO為EF與BC1所成的角，設(shè)正方體棱長為2，則BC1＝2eq\r(2)，OC1＝eq\r(2)，BO＝eq\r(6)，∴BCeq\o\al(2,1)＝OCeq\o\al(2,1)＋BOeq\o\al(2,1)，即BO⊥OC1，∴∠OBC1＝30°，C對；EF與BB1所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)，D錯；故選ABD.三、填空題14．(2020·鄭州質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為eq\f(2,5).[解析]如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接B1E，則AM∥B1E，取EB的中點(diǎn)F，連接FN，則B1E∥FN，因此AM∥FN，則直線FN與CN所夾的銳角或直角為異面直線AM與CN所成的角，設(shè)AB＝1，連接CF，在△CFN中，CN＝eq\f(\r(5),2)，F(xiàn)N＝eq\f(\r(5),4)，CF＝eq\f(\r(17),4).由余弦定理，得cos∠CNF＝eq\f(CN2＋FN2－CF2,2CN·FN)＝eq\f(2,5).15．(2019·云南模擬)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則異面直線AB1與C1B所成的角是__90°__.[解析]將正三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖，設(shè)BB1＝eq\r(2)，則AB＝2，連接AD1，BD1，則BC1∥AD1，∴∠D1AB1即為異面直線AB1與BC1所成的角，又由題意易知AB1＝AD1＝eq\r(6)，B1D1＝2eq\r(3)，∴B1Deq\o\al(2,1)＝ABeq\o\al(2,1)＋ADeq\o\al(2,1)，∴∠B1AD1＝90°.另解1：本題若取A1B1的中點(diǎn)D，連DC1，易證AB1⊥平面BDC1，從而AB1⊥BC1.另解2：可建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解．B組能力提升1．(2020·甘肅診斷)直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝eq\r(5)，則異面直線AC′與B′C所成角的余弦值為eq\f(1,15).[解析]連接BC′，交CB′于E，則E為BC′為中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F，連接EF，故EF∥AC′，則∠FEC或其補(bǔ)角為所求，又EF＝eq\f(1,2)AC′＝eq\f(5,2)，F(xiàn)C＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，CE＝eq\f(1,2)B′C＝eq\f(3,2)，在三角形EFB中，cos∠FEC＝eq\f(1,15)，故答案為eq\f(1,15).2.(2020·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧eq\x\to(BC)的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為(D)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D．eq\f(\r(6),6)[解析]由題意可知AD∥BC，∴∠EAD即為異面直線AE與BC所成的角，設(shè)圓柱上、下底面圓心為O，O1，連OE、OA、ED，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則AO＝eq\r(5)，從而AE＝ED＝eq\r(6)，則cos∠EAD＝eq\f(1,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)，即AE與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6)，故選D.3．(多選題)如圖是側(cè)棱長和底面邊長都相等的正四棱錐的平面展開圖，M，N，P，Q分別是邊BF，AB，CD，DH的中點(diǎn)，則在這個正四棱錐，下列四個結(jié)論正確的為(BD)A．MN和CD平行B．CE和PQ平行C．MN和PE所成的角為60°D．EP和AB垂直[解析]正棱錐直觀圖如圖，顯然MN與CD異面，A錯；B對；連AP，由MN∥AE知，∠AEP為異面直線MN與PE所成的角，設(shè)四棱錐的棱長為2a，則AP＝eq\r(5)a，PE＝eq\r(3)a，∴cos∠AEP＝eq\f(2a2＋\r(3)a2－\r(5)a2,2×2a×\r(3)a)＝eq\f(\r(3),6)，C錯；∵PE⊥CD，CD∥AB，∴PE⊥AB，D對．故選B、D.4．(2019·西安模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為__60°__.[解析]將圖形補(bǔ)成正方體，如圖，連BH，HD，則∠HBD即為異面直線AP與BD所成的角，又BH＝BD＝HD，∴∠HBD＝60°.5.如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐A－EBC的體積．[解析](1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，∴AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異