[練案14]第十一講導數的概念及運算A組基礎鞏固一、單選題1．已知函數f(x)＝eq\f(1,x)cosx，則f(π)＋f′(eq\f(π,2))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)[解析]f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′(eq\f(π,2))＝－eq\f(3,π).故選C.2．(2020·江西上高二中月考)函數f(x)＝eq\f(e2x,x)的導函數為(B)A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)C．f′(x)＝eq\f(2e2x,x) D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)[解析]f′(x)＝eq\f(e2x′x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2e2x·x－e2x,x2)＝eq\f(2x－1e2x,x2).故選B.3．(2020·福建福州八縣聯考，11)已知函數f(x)的導函數是f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，則f(1)＝(B)A．－e B．2C．－2 D．e[解析]由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，則f(1)＝2f′(1)＝2.4．(2020·廣東深圳模擬)已知函數f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的傾斜角為(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)[解析]由函數f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，則f(x)＝x＋eq\f(2,x)，f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率k＝1－2＝－1，可得所求切線的傾斜角為eq\f(3π,4)，故選B.5．(2020·湖北黃岡模擬，4)已知直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則實數m的值為(B)A．－eq\f(1,e) B．－eC．eq\f(1,e) D．e[解析]設切點坐標為(n，eq\f(1,m))，對y＝xex求導得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此時有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故選B.6．(2020·湖南婁底二模，5)已知f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，則函數圖象在x＝－1處的切線方程是(A)A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0[解析]當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故選A.7．如圖，y＝f(x)是可導函數，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率為－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－eq\f(1,3))＝0.二、多選題8．(2020·珠海調考改編)下列求導運算不正確的是(ACD)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx[解析]因為(x＋eq\f(1,x))′＝1－eq\f(1,x2)，所以選項A不正確；因為(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以選項B正確；因為(3x)′＝3xln3，所以選項C不正確；因為(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以選項D不正確．故選A、C、D.9．已知f′(x)是函數f(x)的導函數，如果f′(x)是二次函數，f′(x)的圖象開口向上，頂點坐標為(1，eq\r(3))，那么曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角α的值可能為(CD)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(5π,12)[解析]依題意得f′(x)≥eq\r(3)，即曲線y＝f(x)在任意一點處的切線斜率不小于eq\r(3)，故其傾斜角為不小于eq\f(π,3)的銳角，故選C、D.10．(2020·山東模擬改編)若函數y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質．下列函數中不具有T性質的是(BCD)A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3[解析]設函數y＝f(x)圖象上的兩點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，則由題意知只需函數y＝f(x)滿足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的導函數為f′(x)＝cosx，則f′(x1)·f′(x2)＝－1有無數組解，故函數y＝sinx具有T性質；y＝f(x)＝lnx的導函數為f′(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x1)·f′(x2)＝eq\f(1,x1x2)>0，故函數y＝lnx不具有T性質；y＝f(x)＝ex的導函數為f′(x)＝ex，則f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函數y＝ex不具有T性質；y＝f(x)＝x3的導函數為f′(x)＝3x2，則f′(x1)·f′(x2)＝9xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)≥0，故函數y＝x3不具有T性質．故選B、C、D.三、填空題11．(1)(2018·天津，10)已知函數f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導函數，則f′(1)的值為__e__；(2)(2020·長春模擬)若函數f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(2)＝eq\f(1－ln2,4)；(3)函數y＝x·tanx的導數為y′＝tanx＋eq\f(x,cos2x).[解析](1)本題主要考查導數的計算．∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝ex(lnx＋eq\f(1,x))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，得f′(2)＝eq\f(1－ln2,4).(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·(eq\f(sinx,cosx))′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).12．(2020·廣州調研)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xlnx相切，則實數k的值為__1＋ln_2__.[解析]由y＝xlnx得，y′＝lnx＋1.設直線y＝kx－2與曲線y＝xlnx相切于點P(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝(lnx0＋1)(x－x0)，又直線y＝kx－2恒過點(0，－2)，所以點(0，－2)在切線上，把(0，－2)以及y0＝x0lnx0代入切線方程，得x0＝2，故P(2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直線方程y＝kx－2，得k＝1＋ln2.13．(2020·上饒模擬)若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小值為eq\r(2).[解析]因為定義域為(0，＋∞)，由y′＝2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，則在P(1,1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).B組能力提升1．(2020·湖南長沙長郡中學模擬)等比數列{an}中，a2＝2，函數f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，則f′(0)＝(B)A．8 B．－8C．4 D．－4[解析]f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x[(x－a1)(x－a2)(x－a3)]′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq\o\al(3,2)＝－8.2．如圖所示為函數y＝f(x)，y＝g(x)的導函數的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(D)[解析]由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調遞減，故可排除A，C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.3．(2020·山西太原模擬)已知函數f(x)＝xlnx＋a的圖象在點(1，f(1))處的切線經過原點，則實數a的值為(A)A．1 B．0C．eq\f(1,e) D．－1[解析]∵f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切線方程為y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故選A.4．(2020·四川名校聯考)已知函數f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導函數，則下列數值排序正確的是(C)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[解析]設f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，f′(2)分別表示直線n，m，l的斜率，數形結合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故選C.5．已知函數f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)為f(x)的導函數，則f(2014)