小學（數學）奧數知識總結手冊

和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范圍已知兩個數的和，差，倍數關系

①（和一差）+2=較小數

較小數+差=較大數

和+（倍數+1）=小數差?（倍數-1）二小數

和一較小數=較大數

公式小數X倍數=大數小數X倍數=大數

②（和+差）+2=較大數

和一小數=大數小數十差二大數

較大數一差=較小數

和一較大數=較小數

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數差與倍數

年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；

歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；

植樹問題

在直線或者不封閉的

在直線或者不封閉的曲在直線或者不封閉的曲線封閉曲線上

基本類型曲線上植樹，兩端都不

線上植樹，兩端都植樹上植樹，只有一端植樹植樹

植樹

棵數=段數+1棵數二段數一1棵數=段數

基本公式

棵距X段數=總長棵距X段數=總長棵距X段數=總長

關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少：

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；

④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數=（兔腳數X總頭數一總腳數）一（兔腳數一雞腳數）

②把所有兔子假設成雞：兔數=（總腳數一雞腳數義總頭數）+（兔腳數-雞腳數）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，

由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分

配的總份數，然后根據題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；

基本公式：總份數=（余數+不足數）+兩次每份數的差

②當兩次都有余數；

基本公式：總份數=（較大余數一較小余數）一兩次每份數的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數=（較大不足數一較小不足數）+兩次每份數的差

基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成

這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間X長時間牛頭數-較短時間X短時間牛頭數）+（長時間-短時間）；

總草量=較長時間又長時間牛頭數-較長時間X生長量；

周期循環與數表規律

周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。

周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。

關鍵問題：確定循環周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

平均數

基本公式：①平均數=總數量+總份數

總數量=平均數X總份數

總份數=總數量+平均數

②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和+總份數

基本算法：

①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.

②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基

準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最后

求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式②

抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：

04=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也

就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②卜二門/!!!個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，

而后依據抽屜原則進行運算。

定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過

程、規律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

數列求和

等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用小表示；

項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數的公式，一般用a”表示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數列中涉及五個量：ai,an,d,n,Sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出

第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=ai+（n—1）d：

通項=首項+（項數一I）X公差；

數列和公式：sn,=（a）+an）Xn-r-2i

數列和=（首項+末項）X項數+2；

項數公式：n=（an+ai）4-d+l；

項數=（末項-首項）+公差+1;

—

公差公式；d=（ana,）＞-r（n—1）；

公差=（末項-首項）+（項數一1）;

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

加法乘法原理和幾何計數

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有mi種不同方法，在第二類方法中有m2種不

同方法……，在第n類方法中有m“種不同方法，那么完成這件任務共有：mi+m2…….+m”種不

同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有mi種方法，不管第1步用哪一種方法，

第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件

任務共有：m,Xm2.......Xm“種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數線段規律：總數=1+2+3+…+（點數—1）；

②數角規律=1+2+3+…+（射線數—'1）；

③數長方形規律：個數=長的線段數X寬的線段數：

④數長方形規律：個數=1X1+2X2+3X3+…+行數X列數

約數與倍數

約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這兒個數的最大公約數。

最大公約數的性質：

1、幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

4、幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

例如：12的約數有1、2、3,4、6、12；

18的約數有：1、2、3、6、9、18：

那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數是：6,記作（12,18）=6；

求最大公約數基本方法：

1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

12的倍數有：12、24、36、48……；

18的倍數有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數的性質：

1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

數的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那么叫做a能被b整

除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號：整除符號不能整除符號”因為符號“???”,所以的符號

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上:數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

余數及其應用

基本概念：對任意自然數a、b、q、r,如果使得a+b=q...r,且0〈r〈b,那么r叫做a除以b的余數，q

叫做a除以b的不完全商。

余數的性質：

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

余數、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a>b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模ni同余，記作a三b(modm),讀作a同余于b

模mo

二、同余的性質：

①自身性：a三a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(m(xlm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則a"^bn(modm)；

⑦同借性：若a三b(modm),整數c,則aXc三bXc(modmXc)；

三、關于乘方的預備知識：

①若A=aXb,KiJM'=MnXb=(Mn)b

②若B=c+d則

四、被3、9、11除后的余數特征：

①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和，則M三n（mod9）或（mod3）；

②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M三Y-X

或M-11-（X-Y）（mod11）；

五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則a"』l（mod位。

分數與百分數的應用

基本概念與性質：

分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法：把?類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關

系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法

是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算

出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始

終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不

變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。

分數大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變

化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規律）

⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。

完全平方數

完全平方數特征：

1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余。或余1；反之不成立。

4.約數個數為奇數；反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

基本公式：路程二速度X時間；路程+時間二速度；路程+速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間二相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差個速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度+逆水速度）4-2

水速=（順水速度-逆水速度）+2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中

任意兩個量，求第三個量。

工程問題

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

?I?設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關系,

可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評：合久必分，分久必合。

邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的

情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過

程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表

法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格

內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。

③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線

則表示“是，有”等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種

狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為

推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，并從特殊情況推廣到?般

情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

幾何面積

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、

分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規

律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5機

時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系;

經濟問題

利潤的百分數=（賣價-成本）+成本X100%；

賣價=成本X（1+利潤的百分數）；

成本=賣價+（1+利潤的百分數）：

商晶的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本X（1+期望利潤的百分數）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比：

利息k本金X利率X期數；

含稅價格=不含稅價格義（1+增值稅稅率）；

簡單方程

代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。

方程：含有未知數的等式叫方程。

列方程：把兩個或幾個相等的代數式用等號連起來。

列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代