小學奧數(shù)盈虧問題進階題型

今天我們首先來簡單復(fù)習一下盈虧問題的基本知識。

一、盈虧問題的實質(zhì)是分東西，因為在分東西的過程中，會有剩余（盈）、不足

（虧）、正好（正）等情況，所以演變出三種基本題型：

①一盈一虧：（分到的）份數(shù)=（盈+虧）+兩次分配差

②兩盈：（分到的）份數(shù)=（大盈■■小盈）+兩次分配差

③兩虧：（分到的）份數(shù)=（大虧-小虧）+兩次分配差

上面三個公式都可以利用線段圖的策略進行理解和推導(dǎo)，具體還是參見上篇文

章！

二、搞明白盈虧問題中易混淆的基本量：

被分的：是指被分配的物體，比如老師將糖果分給小朋友，這里糖果就是“被分的”

物體。

分到的：是指得到被分配的物體的對象，比如老師將糖果分給小朋友，這里小朋

友就是“分至U的”物體。注意：盈虧問題利用三個基本公式求出的份數(shù)，都是指“分

到的”的份數(shù)，而不是“被分的”，這里很多同學會混淆。

盈虧問題的進階題型：因為在盈虧問題中，被分的物體和分到的對象，可以是任

何物體，所以盈虧問題又演變出來很多變式題目，很多同學學起來容易混淆，總是

會出某些方面的錯誤。

原因主要是因為，第一，孩子們?nèi)鄙賹嶋H的生活經(jīng)驗；第二，對于數(shù)學中的術(shù)語理

解不清晰，對于抽象的術(shù)語和自己能理解的語句的轉(zhuǎn)化需要時間。為了解決這個問

題，達人日記準備將進階題型再進一步細分，用學生容易理解的語句將其歸類，在

題型名稱中就隱藏出解題的關(guān)鍵量，從題型中就開始區(qū)分易混淆的點，從而節(jié)省一

定的思考時間，幫助學生形成“歸一”的解題思路，以不變應(yīng)萬變，以后碰到進階題

目都能用類似方法解決。

三、盈虧問題進階題型“歸一”思路：

審題一找到被分的和分到的一判斷是否為三種基本題型之一：如果是，直接利用公

式求解；如果不是，進行條件轉(zhuǎn)化，變成基本題型，然后利用公式求解。

接下來，我們通過剖析五類經(jīng)典題型，幫助大家進一步理解如何巧解“盈虧問題進

階題型

第一類：原題型名稱——間接給出盈或虧的問題；細分后名稱——用繩子測量橋

高（井深）的題型

盈虧問題進階I用繩子測量橋高（井深）的題型_____

例題一：在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把繩子對折垂到水

面，則余9米；若把繩子折三折垂到水面，則余2米。問：橋有多

高？繩子有多長？

解析：本題是盈虧問題中的“兩盈”題型，其中，“被分的”是

繩子長度，“分到的”是橋高。

易錯點：直接將9米當作“大盈”，2米當作“小盈”就錯了。

注意繩子的分￡]從圖中可以看出，第一次余的9米，其實是兩段,

實際是9X2=18米；第二次余的2米，其實是

三?段，實際是2X3=6米。

求出真正的盈虧，就可以按照基本公式求解了。

注意用公式求出的是“分到的”橋高，而不是

“祓分的”繩子長度！

解答：橋高：（9X2-2X3）;（3-2）=12（米）

繩子長度：12X2+9X2=42（米）

或者：12X3+2X3=42（米）

答：橋高為12米。繩長為42米。

第二類：原題型名稱——間接給出盈或虧的問題；細分后名稱——將路程分給標

準時間的題型

盈虧問題進階將路程分給標準時間的題型I

例題二：小胖從家到學校去上學，先用每分鐘50米的速度走了2分鐘，如果這

樣走下去，他就奚遲到8分鐘；為了不遲到，后來他每分鐘走60米，結(jié)果早到

學校5分鐘。問：小胖家距離學校有多遠?___________________________________

解析：本題是盈虧問題中的“一盈一虧”題型，其中，“被分的”是從家到學

校的路程，“分到的”是標準時間。

易錯點：

1.不理解標淮時間的含義：標準時間是指小胖從家到學校不遲到，不提前剛好

到校的固定時間。遲到和提前都是相對于標準時間來說的。

2.不理解遲到8分鐘和提前5分鐘的含義：

遲到8分鐘：小胖按速度50米/分鐘，走標準時間之后，還剩8X50=400米到校；

即遲到——對應(yīng)“盈”——計算時要換算成路程

提前汾鐘：小胖按速度60米/分鐘，走標準時間之后，比家到學校的路程多走

了5X60=300米；即提前對應(yīng)“虧”——計算時美換算成路程

3.易忽略條件：注意先用每分鐘50米的速度走2分鐘，計算路程時要算上

每分鐘50米剩余8X50=400米r---------------------------------------

1.I解■答：

I1I標準時間：(8X50+5X60)-?(60-50)

每分牛60米少5X空型0米=70（分鐘）

-弼*dtw**t??-.-OKUn入~\f7./fvk*.9>.I>RvOv-HxVnUnUn，\丈、

i

____L-—J答：小胖家距離學校4000米.

第三類：原題型名稱——份數(shù)不統(tǒng)一的問題；細分后名稱——分到的數(shù)量(份

數(shù))不統(tǒng)一的問題(和差倍關(guān)系)

盈虧問題進階分到的數(shù)量（份數(shù)）不統(tǒng)一的問題

例題三：臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，

每只大熊貓分5棵，還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還

少5只，那么每只大熊貓分2棵，還缺少8棵竹子，問：有大熊貓多

少只？竹子多少棵？

解析：盈虧問題的注意事項：①被分的和分到的物品數(shù)量囪定

②兩次均要平均分

本題被分的是竹子，分到的是熊貓，很容易判斷。

本題熊貓的只數(shù)變化了，需要進行條件轉(zhuǎn)化：需要將“原來熊貓的3倍少5只”

的熊貓還原到原來的熊貓只數(shù)。

轉(zhuǎn)化步驟：先將少5只補齊，然后將推熊貓還原成原來的熊貓只數(shù)，注意調(diào)整

竹子數(shù)量。

轉(zhuǎn)化結(jié)果：每只熊貓分2X3=6（棵）竹子，會缺少5X2用=18（棵）竹子

本題屬于盈虧問題中的“一盈一虧”題型，接下來運用公式即可。

5X2+3=18（棵）

熊貓只數(shù)：（10+18）;（2X3-5）=28（只）

竹子棵數(shù)：28X5+10=150（棵）

答：有28只大熊貓，150棵竹子。

第四類：原題型名稱——份數(shù)不統(tǒng)一的問題；細分后名稱將錢數(shù)分給“單價”

的問題（替換）

盈虧問題進階分到的數(shù)量（份數(shù)）不統(tǒng)一的問題

例題四：食堂管理員帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6

元，若買12千克豬肉則還剩4元。已知每千克牛肉比豬肉貴3元，

問：食堂管理員帶了多少錢？

解析：盈虧問題的注意事項：①被分的和分到的物品數(shù)量固定―

②兩次均要平均分

本題中“被分的”和“分到的”物體不明確，可以這樣理解：

“肉的單價”是分到的，“錢數(shù)”是被分的

明確之后由于“分到的”物體有兩種：“牛肉"和“豬肉”的

“單價”，不統(tǒng)一，需要轉(zhuǎn)化為同一種，以轉(zhuǎn)化成牛肉為例：

利用替換策略

“若買12千克豬肉則還剩4元”條件轉(zhuǎn)化為：“若買12千克牛肉，

則還差12X3-432（元）”

解答：12X3-432（元）一

牛肉單價：（32-6）;（12-10）=13（元/千克）「主意根據(jù)公式

總錢數(shù)：13X10-6=124（元）求出的是單價

答：食堂管理員帶了124元。----------------

第五類：原題型名稱——總量不統(tǒng)一的問題；細分后名稱一被分的數(shù)量（總

量）不統(tǒng)一的問題（倍數(shù)關(guān)系）

盈虧問題進階被分的數(shù)量（總量）不統(tǒng)一的問題

例題五：李老師給小朋友分蘋果和橘子，蘋果數(shù)是橘子數(shù)的2倍。

橘子每人分3個，多2個；蘋果每人分期卜，多20個。問：有多少個

小朋友？多少個蘋果和橘子？

解析：盈虧問題的注意事項：①被分的和分到的物品數(shù)量固定―

②兩次均要平均分

本題有兩個“被分的物體”，笨果和橘子，且數(shù)量不統(tǒng)一，需要

進行條件轉(zhuǎn)化：以統(tǒng)一成萃果為例，