專題05抽象函數(shù)及應(yīng)用9種常見考法歸類-解密2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末核心微專題考點(diǎn)通關(guān)手冊(cè)(人教A版2019必修第一冊(cè))專題05抽象函數(shù)及應(yīng)用9種常見考法歸類考點(diǎn)一抽象函數(shù)的定義域問題考點(diǎn)二抽象函數(shù)的值域問題考點(diǎn)三“賦值法”求抽象函數(shù)的值考點(diǎn)四“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式考點(diǎn)五抽象函數(shù)的奇偶性問題考點(diǎn)六抽象函數(shù)的單調(diào)性問題考點(diǎn)七解抽象不等式考點(diǎn)八抽象函數(shù)的周期性問題考點(diǎn)九抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題1.抽象函數(shù)概念：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.2.常見函數(shù)模型抽象函數(shù)形式具體化函數(shù)或冪函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)正比例函數(shù)一次函數(shù)余弦函數(shù)3.“賦值法”求抽象函數(shù)的值賦值法就是根據(jù)題目的具體情況，合理、巧妙地對(duì)某些元素賦予確定的特殊值(0,1,-1等),從而使問題獲得簡(jiǎn)捷有效的解決。注：（1）第一層次賦值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二層次賦值：若題中有條件，則再令字母取.（3）第三層次賦值：拆分賦值，根據(jù)抽象式子運(yùn)算，把賦值數(shù)拆成某兩個(gè)值對(duì)應(yīng)的和與積（較多）或者差與商（較少）.4.“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式賦值法求抽象函數(shù)的解析式，首先要對(duì)題設(shè)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值，再得到函數(shù)解析式的某種遞推關(guān)系，最后求得函數(shù)的解析式。5.“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關(guān)鍵是得到與的關(guān)系，解題時(shí)要對(duì)有關(guān)變量進(jìn)行賦值，使其最后只保留與的關(guān)系。注：證明抽象函數(shù)的奇偶性實(shí)質(zhì)就是賦值，分析出賦值規(guī)律.（1）可賦值，得到一些特殊點(diǎn)函數(shù)值，如f（0），f（1）等，（2）嘗試適當(dāng)?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等。（3）通過各類抽象函數(shù)式子，來積累一定的賦值技巧。6.利用“配湊法”證明抽象函數(shù)的單調(diào)性配湊法就是通過恰當(dāng)?shù)钠磁c湊，使問題明了化、簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到比較容易解決問題的目的。配湊法的實(shí)質(zhì)是一種迂回的解題方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。配湊法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性是利用題設(shè)條件，結(jié)合單調(diào)性的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解的。具體如下：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.注：證明單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造定義法，在時(shí)，構(gòu)造證明出正負(fù)。常見的構(gòu)造規(guī)律如下：（1）構(gòu)造“和”（2）構(gòu)造“積”（3）利用構(gòu)造（4）利用奇偶性（主要是奇函數(shù)）構(gòu)造示例如下：（一）特征式例1．已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，，又，求在上的最大值和最小值．（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)例2．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．(1)求f(0)的值；(2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)．（三）特征式例3．設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有恒成立，當(dāng)時(shí)，.判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.（四）特征式例4．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)滿足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性.（五）特征式例5．定義在上的函數(shù)滿足條件：對(duì)所有正實(shí)數(shù)x，y成立，且，當(dāng)時(shí)，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）證明：函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)．7.“定義法”解抽象函數(shù)不等式解抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義，如“已知函數(shù)是增函數(shù)，若則”，“脫去”函數(shù)符號(hào)后即可求解，當(dāng)然，還要注意自變量范圍的約束。8.抽象函數(shù)的周期性和對(duì)稱性（1）由函數(shù)奇偶性得到函數(shù)圖象對(duì)稱性，再得到函數(shù)周期性.①若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.②若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,0)(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.如：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)，f(x+1)均為奇函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)，f(x+1)均為偶函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為8.（2）由周期性和奇偶性，得到函數(shù)圖象的對(duì)稱性.①若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且a(a≠0)為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？②若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且a(a≠0)為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？如：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且2為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有對(duì)稱中心(1,0).若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且2為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有對(duì)稱軸x=1.（3）由周期性和對(duì)稱性，得到函數(shù)圖象的奇偶性.①若a(a≠0)為f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A,0對(duì)稱，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？②若a(a≠0)為f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？考點(diǎn)一抽象函數(shù)的定義域問題1．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮亩x域.3．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（2023上·河南南陽·高一南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．6．（2023上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?考點(diǎn)二抽象函數(shù)的值域問題7．（2023上·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑒t（

）A． B．C． D．9．（2023上·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．10．（2023下·青海玉樹·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镽C．函數(shù)的定義域和值域都是RD．函數(shù)的定義域和值域都是R考點(diǎn)三“賦值法”求抽象函數(shù)的值12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，y，都有恒成立，已知，則.13．（2017上·上海寶山·高一校考期中）已知函數(shù)對(duì)任意都有成立，且，則A． B． C． D．14．【多選】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（

）A．B．C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)考點(diǎn)四“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式15．（2023上·四川成都·高一成都外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足，且對(duì)任意、都有，則（

）A． B． C． D．16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：對(duì)一切實(shí)數(shù)、，均有成立，且.求函數(shù)的表達(dá)式.17．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，求.18．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．19．（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，，不等式的解集為．20．（2023下·江蘇徐州·高一校考競(jìng)賽）已知函數(shù)滿足：，，且對(duì)任意的，都成立，試求.考點(diǎn)五抽象函數(shù)的奇偶性問題21．【多選】（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且，則（

）A． B．可能是偶函數(shù)C． D．可能是奇函數(shù)22．【多選】（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則（

）A． B．C． D．為奇函數(shù)23．（2023上·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有，，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)24．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考期中）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．則求出函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論是.25．（2023上·云南昆明·高一校考期中）定義在上的函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明.26．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)于任意，都有.(1)證明是奇函數(shù)；(2)關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.27．（2023上·山東·高一山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由．28．（2023上·廣東梅州·高三校考階段練習(xí)）定義在上的增函數(shù)對(duì)任意都有．(1)求證：為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍考點(diǎn)六抽象函數(shù)的單調(diào)性問題29．【多選】（2023上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)，滿足：．且，當(dāng)時(shí)，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的減函數(shù)30．（2023上·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)判定并證明函數(shù)在R上的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的奇偶性；(3)若，求x的取值范圍．31．（2023上·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考期中）函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，.(1)判斷的奇偶性；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，解關(guān)于的不等式.32．（2023上·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)，總有成立.若時(shí)，.(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求解關(guān)于的不等式的解集.33．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，有恒成立.(1)求證：函數(shù)在上為增函數(shù).(2)若，對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.34．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，并且當(dāng)時(shí)，.(1)判斷并證明的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集.35．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的值.(2)證明：為偶函數(shù).(3)求解不等式.36．（2023上·浙江·高一臺(tái)州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)求證：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.37．（2023上·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)，，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明當(dāng)時(shí)，；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；(3)設(shè)實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集．考點(diǎn)七解抽象不等式38．（2023上·河南周口·高一校考階段練習(xí)）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．39．（2023上·貴州畢節(jié)·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．40．（2023上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2023上·江蘇南通·高一海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．42．（2023上·海南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A．B． C．D．43．（2024上·吉林遼源·高一遼源市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且對(duì)任意的，滿足.則不等式的解集是（

）A． B．C． D．44．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．45．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，對(duì)，，且有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)八抽象函數(shù)的周期性問題46．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．47．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)滿足，且，則.48．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)校考期末）已知滿足和，當(dāng)時(shí)，，則.49．（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t.50．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的函數(shù)值；(2)證明：為周期函數(shù)．51．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，且，求證：是周期函數(shù).52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意，都有，且．(1)求；(2)證明設(shè)是周期函數(shù)．53．（2023上·吉林白山·高三校考階段練習(xí)）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有．當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式．54．（2023上·黑龍江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知是定義在上的函數(shù)，滿足.(1)若，求；(2)求證：的周期為4；(3)當(dāng)時(shí)，，求在時(shí)的解析式.55．（2023上·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，求：(1)與的值；(2)的值.考點(diǎn)九抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題56．（2023上·山東菏澤·高三校考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B． C． D．357．（2023上·河北衡水·高一河北武強(qiáng)中學(xué)校考期末）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（

）A． B．2 C．0 D．202358．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則（

）A． B． C． D．59．【多選】（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)、都有,且當(dāng)時(shí)，.設(shè).則下列命題正確的是（

）A． B．函數(shù)有對(duì)稱中心C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為減函數(shù)60．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的的最小值是．專題05抽象函數(shù)及應(yīng)用9種常見考法歸類考點(diǎn)一抽象函數(shù)的定義域問題考點(diǎn)二抽象函數(shù)的值域問題考點(diǎn)三“賦值法”求抽象函數(shù)的值考點(diǎn)四“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式考點(diǎn)五抽象函數(shù)的奇偶性問題考點(diǎn)六抽象函數(shù)的單調(diào)性問題考點(diǎn)七解抽象不等式考點(diǎn)八抽象函數(shù)的周期性問題考點(diǎn)九抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題1.抽象函數(shù)概念：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.2.常見函數(shù)模型抽象函數(shù)形式具體化函數(shù)或冪函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)正比例函數(shù)一次函數(shù)余弦函數(shù)3.“賦值法”求抽象函數(shù)的值賦值法就是根據(jù)題目的具體情況，合理、巧妙地對(duì)某些元素賦予確定的特殊值(0,1,-1等),從而使問題獲得簡(jiǎn)捷有效的解決。注：（1）第一層次賦值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二層次賦值：若題中有條件，則再令字母取.（3）第三層次賦值：拆分賦值，根據(jù)抽象式子運(yùn)算，把賦值數(shù)拆成某兩個(gè)值對(duì)應(yīng)的和與積（較多）或者差與商（較少）.4.“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式賦值法求抽象函數(shù)的解析式，首先要對(duì)題設(shè)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值，再得到函數(shù)解析式的某種遞推關(guān)系，最后求得函數(shù)的解析式。5.“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關(guān)鍵是得到與的關(guān)系，解題時(shí)要對(duì)有關(guān)變量進(jìn)行賦值，使其最后只保留與的關(guān)系。注：證明抽象函數(shù)的奇偶性實(shí)質(zhì)就是賦值，分析出賦值規(guī)律.（1）可賦值，得到一些特殊點(diǎn)函數(shù)值，如f（0），f（1）等，（2）嘗試適當(dāng)?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等。（3）通過各類抽象函數(shù)式子，來積累一定的賦值技巧。6.利用“配湊法”證明抽象函數(shù)的單調(diào)性配湊法就是通過恰當(dāng)?shù)钠磁c湊，使問題明了化、簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到比較容易解決問題的目的。配湊法的實(shí)質(zhì)是一種迂回的解題方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。配湊法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性是利用題設(shè)條件，結(jié)合單調(diào)性的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解的。具體如下：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.注：證明單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造定義法，在時(shí)，構(gòu)造證明出正負(fù)。常見的構(gòu)造規(guī)律如下：（1）構(gòu)造“和”（2）構(gòu)造“積”（3）利用構(gòu)造（4）利用奇偶性（主要是奇函數(shù)）構(gòu)造示例如下：（一）特征式例1．已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，，又，求在上的最大值和最小值．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，得，令，得，則，得，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，任取，則，，另一方面，，函數(shù)為上的減函數(shù)，，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)例2．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．(1)求f(0)的值；(2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)．【解析】(1)∵，當(dāng)時(shí)，，令，則．∵，∴.(2)證明：若，∴，∴，故.任取，則．∵，∴，∴．故在上是減函數(shù)．（三）特征式例3．設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有恒成立，當(dāng)時(shí)，.判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【解析】在上為增函數(shù).設(shè)，則即，，故，即，故在上為增函數(shù)；（四）特征式例4．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)滿足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性.【解析】(1)令，所以，所以；(2)令，所以，又因?yàn)椋裕裕栽谏蠁握{(diào)遞減；（五）特征式例5．定義在上的函數(shù)滿足條件：對(duì)所有正實(shí)數(shù)x，y成立，且，當(dāng)時(shí)，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）證明：函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)．【解析】由題意得，（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕郑裕á颍┳C明：在上任取，則，∵，∴，∴，∴．要證明在上為單調(diào)遞增函數(shù)，只須證．當(dāng)時(shí)，有成立；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，有，∵，∴，∴，故此時(shí)仍有成立．綜上知：在上恒成立，從而函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)．7.“定義法”解抽象函數(shù)不等式解抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義，如“已知函數(shù)是增函數(shù)，若則”，“脫去”函數(shù)符號(hào)后即可求解，當(dāng)然，還要注意自變量范圍的約束。8.抽象函數(shù)的周期性和對(duì)稱性（1）由函數(shù)奇偶性得到函數(shù)圖象對(duì)稱性，再得到函數(shù)周期性.①若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.證明：由已知條件得f(?x)=?f(x)，f(x+2a)=f(?x)，則f(x+2a)=?f(x)，所以f(x+4a)=f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.②若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,0)(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.證明：由已知條件得f(?x)=f(x)，f(x+2a)=?f(?x)=?f(x)，則f(x+4a)=?f(x+2a)=f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且4|a|為其一個(gè)周期.如：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)，f(x+1)均為奇函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)，f(x+1)均為偶函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，則f(x)的一個(gè)周期為8.（2）由周期性和奇偶性，得到函數(shù)圖象的對(duì)稱性.①若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且a(a≠0)為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？證明：由題意得f(?x)=?f(x)，f(x)=f(ka+x)，則f(ka+x)=?f(?x)，函數(shù)f(x)有對(duì)稱中心a,0(k∈Z)，函數(shù)的對(duì)稱中心不唯一，有無數(shù)個(gè).②若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且a(a≠0)為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？證明：由題意得f(?x)=f(x)，f(x)=f(ka+x)，則f(ka+x)=f(?x)，函數(shù)f(x)有對(duì)稱軸x=a(k∈Z)，函數(shù)的對(duì)稱軸不唯一，有無數(shù)條.如：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且2為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有對(duì)稱中心(1,0).若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且2為f(x)的一個(gè)周期，則函數(shù)f(x)有對(duì)稱軸x=1.（3）由周期性和對(duì)稱性，得到函數(shù)圖象的奇偶性.①若a(a≠0)為f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A,0對(duì)稱，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？證明：由已知條件，得f(x)=f(a+x)，f(?x+b)=?f(x)，則f(a+x)=?f(?x+b)，即f(a+b+x)=?f(?x)，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱，所以fx+是奇函數(shù).②若a(a≠0)為f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)？證明：由已知條件得f(x)=f(a+x)，f(?x+b)=f(x)，則f(?x+b)=f(a+x)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，所以函數(shù)fx+是偶函數(shù).考點(diǎn)一抽象函數(shù)的定義域問題1．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，解得，故函數(shù)的定義域是．故選：A.2．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮亩x域.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋矗瑒t，故的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抽象函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋矗裕院瘮?shù)的定義域?yàn)椋桑茫院瘮?shù)的定義域?yàn)?故選：B.4．（2023上·河南南陽·高一南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法可得的定義域?yàn)椋Y(jié)合根式和分母要求即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋芍吹亩x域?yàn)椋孕铦M足，解得，即的定義域?yàn)?故選：D5．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件先求解出的定義域，然后結(jié)合分式分母不、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于列出關(guān)于的不等式組，由此求解出的定義域.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋裕春瘮?shù)的定義域?yàn)椋栽诤瘮?shù)中有，解得，所以的定義域?yàn)椋蔬x：A.6．（2023上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)題意列出滿足的不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t需滿足，解得，即的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋嚎键c(diǎn)二抽象函數(shù)的值域問題7．（2023上·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知求得的范圍，即可得到的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋矗裕裕春瘮?shù)的值域?yàn)?故選：A8．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑒t（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知可推得的定義域與值域，然后即可得出，根據(jù)交集的運(yùn)算得出答案.【詳解】由已知的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋傻玫亩x域?yàn)椋涤驗(yàn)椋裕裕裕?所以，.故選:C.9．（2023上·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】對(duì)于A，由可得，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，的圖象可看作由的圖象經(jīng)過平移和橫向伸縮變換得到，故值域不變，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.10．（2023下·青海玉樹·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出①②③④中各函數(shù)的值域，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋瑒t，①不滿足條件；對(duì)于②，對(duì)于函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋跐M足條件；對(duì)于③，因?yàn)椋瑒t，③滿足條件；對(duì)于④，因?yàn)椋瑒t，④滿足條件.故選：B.11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镽C．函數(shù)的定義域和值域都是RD．函數(shù)的定義域和值域都是R【答案】B【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域令，推出的定義域判斷正誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，所以的值域?yàn)镽，進(jìn)而推導(dǎo)出的值域，判斷正誤；對(duì)于C選項(xiàng)：令，求出函數(shù)的定義域，即可判斷正誤；對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)的值域?yàn)镽，則，即可判斷正誤；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：令，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，，所以的值域?yàn)镽，可得函數(shù)的值域?yàn)镽，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：令，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔆選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)的值域?yàn)镽，則，此時(shí)無法判斷其定義域是否為R，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)三“賦值法”求抽象函數(shù)的值12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，y，都有恒成立，已知，則.【答案】－1【分析】賦值得到，然后代入求解即可.【詳解】令，得，所以，解得，，解得，故答案為：.13．（2017上·上海寶山·高一校考期中）已知函數(shù)對(duì)任意都有成立，且，則A． B． C． D．【答案】A【分析】分別令，，，即可得解.【詳解】解：令，則有，即，得；令，則有，即；令，則有；∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法．14．【多選】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（

）A．B．C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)已知的抽象函數(shù)性質(zhì)，賦值（式）法求解即可.【詳解】令，則，即.A正確.令，則.令，則，則.故.B正確.是非奇非偶函數(shù).C不正確.是偶函數(shù).D正確.故選：ABD.考點(diǎn)四“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式15．（2023上·四川成都·高一成都外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足，且對(duì)任意、都有，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令得出，再令可得出，即可求出的值.【詳解】對(duì)任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用賦值法求抽象函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是利用賦值法求出函數(shù)的解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：對(duì)一切實(shí)數(shù)、，均有成立，且.求函數(shù)的表達(dá)式.【答案】.【分析】根據(jù)所給關(guān)系對(duì)于合理賦值后求出，再令可得解.【詳解】由已知等式，令，，得．又，所以．再令，可得，即．因此，函數(shù)的表達(dá)式為．17．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，求.【答案】【分析】利用賦值法可求的解析式.【詳解】由已知條件得，又，設(shè)，則，∴.18．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用賦值法求及，然后利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，得.令，得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，且，所以不等式的解集為.故選：A19．（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，，不等式的解集為．【答案】【分析】利用賦值法先求出解析式，再求解不等式可得答案.【詳解】令，得．令，則，即，解得，則不等式的解集為．故答案為：20．（2023下·江蘇徐州·高一校考競(jìng)賽）已知函數(shù)滿足：，，且對(duì)任意的，都成立，試求.【答案】【分析】首先令代入，再令代入，最后令再代入，聯(lián)立三個(gè)式子即可求得最后結(jié)果.【詳解】在已知條件中令可得令可得令可得解方程可得易檢驗(yàn)滿足已知條件.考點(diǎn)五抽象函數(shù)的奇偶性問題21．【多選】（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且，則（

）A． B．可能是偶函數(shù)C． D．可能是奇函數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)條件，通過賦值法，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，得，則，所以選項(xiàng)A正確；令，得，則，對(duì)于選項(xiàng)B，若是偶函數(shù)，則，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若是奇函數(shù)，則，所以不可能是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，令，得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：AB.22．【多選】（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則（

）A． B．C． D．為奇函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，令令，可判定A正確；令，可判定B正確；令，求得，再令，可判定C錯(cuò)誤；令，求得，再令，得到，可判定D正確.【詳解】由題意知，定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，對(duì)于A中，令，得，所以A正確；對(duì)于B中，令，得，則，所以B正確；對(duì)于C中，令，得，再令，得，可得，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D中，令，得，則，再令，得，則為奇函數(shù)，所以D正確.故選：ABD.23．（2023上·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有，，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】令，則，，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，，則，即，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，不是奇函數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，則，即，故，為偶函數(shù)，選項(xiàng)D正確；故選：D．24．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考期中）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．則求出函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論是.【答案】的圖像關(guān)于對(duì)稱的充要條件是為偶函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，即可求解，根據(jù)偶函數(shù)的定義，并且類別推廣，即可求解推廣結(jié)論.【詳解】為奇函數(shù)，所以且所以，，所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；若函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則為偶函數(shù)，因?yàn)槿魹榕己瘮?shù)，則，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，反過來若函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，即為偶函數(shù)，綜上可知，命題的推廣結(jié)論為“的圖像關(guān)于對(duì)稱的充要條件是為偶函數(shù)”.故答案為：；的圖像關(guān)于對(duì)稱的充要條件是為偶函數(shù)25．（2023上·云南昆明·高一校考期中）定義在上的函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【答案】(1)；(2)是偶函數(shù)；證明見解析.【分析】（1）分別令和，即可得結(jié)果；（2）令結(jié)合偶函數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】（1）令，則．再令，可得，∴．（2）是偶函數(shù)；證明：令可得，∴是偶函數(shù)．26．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)于任意，都有.(1)證明是奇函數(shù)；(2)關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合賦值法，即可證明；（2）首先化簡(jiǎn)不等式，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式為，根據(jù)不等式的解集，以及條件，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對(duì)于任意都有，令，則；再令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）不等式可化為，即，又函數(shù)在上是增函數(shù)，即，即，若，則，解集中沒有3個(gè)正整數(shù)，若，不等式的解集為空集，也不成立，若，則，該不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，.27．（2023上·山東·高一山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由．【答案】(1)；(2)奇函數(shù)；理由見詳解(3)單調(diào)遞減，理由見詳解【分析】（1）利用賦值法即可求得；（2）利用賦值構(gòu)造或代換得到與關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)奇偶性；（3）賦值構(gòu)造出表達(dá)式，再運(yùn)用定義證明函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）為奇函數(shù)，理由如下：，而，得故在上是奇函數(shù)（3）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，則，得，又在上是奇函數(shù)，所以當(dāng)，則，設(shè)，則，所以，，故，在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)求解證明時(shí)，一般是通過賦值法，即在已知等式中讓自變量取特殊值求得一些特殊的函數(shù)值，解題時(shí)注意所要求函數(shù)值的變量值與已知的量之間的關(guān)系，通過賦值還能得出函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性．28．（2023上·廣東梅州·高三校考階段練習(xí)）定義在上的增函數(shù)對(duì)任意都有．(1)求證：為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）令，得，再令證得結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性解不等式，結(jié)合不等式恒成立，參變分離，利用基本不等式求解最值得出結(jié)果.【詳解】（1）令，得，即．令，得，又，對(duì)任意都成立．為奇函數(shù)．（2）為奇函數(shù)，．為上的增函數(shù)，，.,.考點(diǎn)六抽象函數(shù)的單調(diào)性問題29．【多選】（2023上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)，滿足：．且，當(dāng)時(shí)，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的減函數(shù)【答案】ACD【分析】特殊值代入計(jì)算即可得到A正確，特殊值代入可得B錯(cuò)誤，經(jīng)過變換可得到C正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義得到D正確.【詳解】對(duì)于A，由題可知，故，故A正確；對(duì)于B，由題可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，是上的減函數(shù)，故D正確.故選：ACD30．（2023上·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)判定并證明函數(shù)在R上的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的奇偶性；(3)若，求x的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)奇函數(shù)，理由見解析(3)或【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）賦值法得到，進(jìn)而賦值得到，得到答案；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，得到答案.【詳解】（1）在R上單調(diào)遞減，理由如下：任取，且，因?yàn)椋裕睿瑒t，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，又，所以，所以，，所以在R上單調(diào)遞減；（2）令，則，解得，令，因?yàn)椋剩裕允瞧婧瘮?shù)；（3）因?yàn)椋裕驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因?yàn)槭荝上的減函數(shù)，所以，解得或，所以不等式的解集為或.31．（2023上·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考期中）函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，.(1)判斷的奇偶性；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，解關(guān)于的不等式.【答案】(1)奇函數(shù)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用特殊值法、奇偶性的定義分析運(yùn)算即可得解.（2）根據(jù)題設(shè)條件，利用單調(diào)性的定義分析運(yùn)算即可得證；（3）根據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分類討論法運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，令得，解得：.取，則由得，∴，即，∴函數(shù)是奇函數(shù).（2）證明：任取，且，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴，由得，∴，∴，∴是上的減函數(shù).（3）解：由得，由得，則，∴不等式可化為，∵是上的減函數(shù)，∴，即………①.（i）當(dāng)時(shí)，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；（ii）當(dāng)時(shí)，不等式①式化為，即，若，上式不等式即為，解得：，即原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；（iii）當(dāng)時(shí)，不等式①式化為，即，∵此時(shí)，∴原不等式解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.解一元二次不等式的一般步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形式；（2）確定判別式的符號(hào)，若，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根；若，則該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程無根；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可直接寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論，再比較相應(yīng)方程的根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.32．（2023上·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)，總有成立.若時(shí)，.(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求解關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，證明見解析(2)【分析】（1）賦值法求出，，且，則，根據(jù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知即可證明；（2）賦值法求出，根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化為.求解結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：令，由已知可得，，則.由已知可得，.，且，則，則，即，所以，在上單調(diào)遞減.（2）令，由已知可得.又，不等式化為.由（1）知，在上單調(diào)遞減，所以，.又，，所以，所以有，整理可得，，解得，所以，.所以，不等式的解集為.33．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，有恒成立.(1)求證：函數(shù)在上為增函數(shù).(2)若，對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明；（2）利用已知條件和函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可求解.【詳解】（1）任取，且，因?yàn)椋裕剩驗(yàn)椋裕忠驗(yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即，所以在上為增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，，解得，關(guān)于的不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，因?yàn)椋裕春愠闪?因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由題意可得，恒成立，即恒成立，令，因?yàn)椋瑒t，所以恒成立，等價(jià)于恒成立，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.34．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，并且當(dāng)時(shí)，.(1)判斷并證明的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)減函數(shù)，證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性及條件含參討論解一元二次不等式即可.【詳解】（1）令，解得，又當(dāng)時(shí)，可判斷為減函數(shù)，證明如下：，不妨設(shè)，依題意，即，因?yàn)椋裕裕虼耍矗詾闇p函數(shù).（2）原不等可化為即：因單調(diào)遞減，故成立.即：當(dāng)時(shí)，有，解為，當(dāng)時(shí)，，解為，當(dāng)時(shí)，，解為，綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.35．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的值.(2)證明：為偶函數(shù).(3)求解不等式.【答案】(1)(2)證明見解析(3)或.【分析】（1）賦值即可求解，（2）根據(jù)奇偶性的定義即可求解，（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）令，可得，令，則.（2）由于定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，可得為偶函數(shù).（3）令，設(shè)，則且，由于，所以，在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，由可得或或，故不等式的解集為或.36．（2023上·浙江·高一臺(tái)州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)求證：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明；（2）根據(jù)已知條件，利用單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明；（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行處理，利用單調(diào)性、一次函數(shù)進(jìn)行處理.【詳解】（1）令，則有，令，則有，，是奇函數(shù).（2）設(shè)則所以，因?yàn)椋裕矗瑒t，又，所以，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù).（3）由（1）（2）知在上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，所以恒成立，等價(jià)于：恒成立，即恒成立，設(shè)，是關(guān)于的一次函數(shù)，所以，即，則，則.37．（2023上·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)，，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明當(dāng)時(shí)，；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；(3)設(shè)實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析；(2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）利用賦值法，即可求得所求的函數(shù)值，得到答案；（2）首先判定函數(shù)為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和所給條件進(jìn)行證明即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和所得函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量得到函數(shù)不等式，得出不等式，即可求解.【詳解】（1）為奇函數(shù).證明如下：因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意的x，，都有，所以令，可得，代入，可得，所以為奇函數(shù)；所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).證明如下：設(shè)，則，因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).（3）因?yàn)椋O(shè)，所以因?yàn)椋液瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，等價(jià)于，方程的根為，即，所以不等式的解集為.考點(diǎn)七解抽象不等式38．（2023上·河南周口·高一校考階段練習(xí)）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過分析函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，即可得出不等式的解集.【詳解】由題意，在中，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，∴，函數(shù)在單調(diào)遞減，∵，∴當(dāng)和時(shí)，，故選：B.39．（2023上·貴州畢節(jié)·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞減，且，可得，則不等式，等價(jià)于，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.40．（2023上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對(duì)于不等式，且，即，可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.41．（2023上·江蘇南通·高一海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到的單調(diào)性及，再結(jié)合不等式，分類討論，即可得出答案.【詳解】因?yàn)樵谏系钠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以由可得：或或,解得或或，即或.所以滿足的的取值范圍是.故選：D.42．（2023上·海南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意可得或的解集，再分和兩種情況求不等式的解集.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，由已知可得，解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，，則，由已知可得或，解得或，又，所以.綜上，可得不等式的解集為.故選：A43．（2024上·吉林遼源·高一遼源市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且對(duì)任意的，滿足.則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先研究函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)作出圖象，借助函數(shù)圖象由符號(hào)法則解不等式.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則由可得，，，即當(dāng)時(shí)，恒有成立，故在單調(diào)遞減；的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞減；由函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，又，則，作出函數(shù)大致圖象，不等式等價(jià)于或，①由方程，得，或或或，解得或或或.②由不等式可化為，或，即，或，解得，或，綜上可知，，或.故選：C.44．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，化簡(jiǎn)不等式，，恒成立，再求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，則，即，化簡(jiǎn)為，整理為，恒成立，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C45．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，對(duì)，，且有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，可以證明它是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，令，則是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，由題意不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，解得：，即關(guān)于的不等式的解集為.故選：B.考點(diǎn)八抽象函數(shù)的周期性問題46．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題干可知，函數(shù)為周期函數(shù)，則根據(jù)周期即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.【詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，所以所以所以又因?yàn)椋沂桥己瘮?shù)，所以，故選：C.47．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)滿足，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)求出，函數(shù)的一個(gè)周期為4，進(jìn)而得到，求出答案.【詳解】，故，兩式相除得，故的一個(gè)周期為4，故，中令得，，因?yàn)椋裕?故答案為：.48．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)校考期末）已知滿足和，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】由周期性和奇偶性可求得函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為4，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，，得，故，故答案為：49．（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已