第第頁微考點6-3圓錐曲線中的定點定值問題（三大題型）求解直線過定點問題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；③求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程.④設直線為，根據題目給出的條件，轉化為坐標之間的關系，利用韋達定理找出與之間的關系，即可求出定點。題型一：圓錐曲線中直線過定點問題【精選例題】【例1】已知為橢圓C：上一點，點P與橢圓C的兩個焦點構成的三角形面積為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)不經過點P的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若直線PA與PB斜率的乘積為－1，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據題意求出即可得解；（2）設，分情況討論，聯立方程，利用韋達定理求出，再根據直線與的斜率之積為即可得出結論.【詳解】（1）由點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為可知，解得：，，橢圓的標準方程：；（2）設，當直線不平行于軸時，設方程為：，由不經過點知由得，，，，，，，，過定點當直線平行于軸時，，設由和的方程聯立解得，方程為：，過定點綜上，直線必過定點．

【例2】已知橢圓的離心率，且橢圓經過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點，關于軸的對稱點為，求證：直線與軸交于定點.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用離心率以及橢圓經過點的坐標聯立解方程組，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為并于橢圓聯立，利用韋達定理寫出直線的方程，求出點橫坐標表達式即可得.【詳解】（1）由離心率可得，將點代入橢圓方程可得，又；解得，所以橢圓C的方程為（2）設點，，則，直線的方程為，直線與橢圓聯立，消去，得，

則可得，，易知，得由題意，直線的方程為，令，所以點的橫坐標，所以直線與軸交于定點【跟蹤訓練】1．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：

步驟1：設圓心是，在圓內異于圓心處取一定點，記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點（即折疊后圖中的點與點重合）；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與的交點為；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.現取半徑為4的圓形紙片，設點到圓心的距離為，按上述方法折紙.以線段的中點為原點，線段所在直線為軸建立平面直角坐標系，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)設軌跡與軸從左到右的交點為點，，點為軌跡上異于，，的動點，設交直線于點，連結交軌跡于點.直線、的斜率分別為、.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經過軸上的定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析，該定點的坐標為【分析】（1）由折紙的對稱性，可知，從而確定點的軌跡；（2）（i）設點，，，根據斜率公式分別求出、，結合橢圓方程證明；（ii）設直線的方程為，直曲聯立，結合韋達定理和（i）的結論求出，根據直線方程即可求出定點.【詳解】（1）由題意可知，，故點的軌跡是以，為焦點，且長軸長的橢圓，焦距，所以，因此軌跡方程為.（2）證明：（i）設，，，由題可知，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設直線的方程為，，，由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經過定點.【點睛】本題第二問（ii）解題關鍵是設出直線方程聯立橢圓方程，利用韋達定理結合（i）的結論列方程可得.2．已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點，，，為橢圓上關于軸對稱的兩點（不與點B重合），，直線與橢圓交于另一點，直線垂直于直線，為垂足．(1)求的方程；(2)證明：（i）直線過定點，（ii）存在定點，使為定值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）設方程為，代入點的坐標，得出方程組，求解即得.（2）（i）設的方程為，與橢圓方程聯立，根據韋達定理表示出坐標關系，得出的方程為，令，整理可得，即可得出定點；（ii）由已知可得，即可得出的軌跡，得出答案.【詳解】（1）設的方程為，則，解得，所以的方程為.（2）（i）依題意，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，設點，，則，由消去并整理得，則，，，顯然，直線的斜率，直線的方程為，令，則，所以直線恒過定點.（ii）令直線過的定點為點，由，在上，得，則點在以為直徑的圓上，從而的中點為定點，使為定值.

【點睛】思路點睛：設的方程為，與橢圓聯立得出方程，根據韋達定理得出坐標關系.進而整理化簡，即可得出定點坐標.題型二：圓錐曲線中圓過定點問題【精選例題】【例1】已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】(1)，(2)證明見解析(1)解：因為橢圓的離心率為，所以.又當位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標準方程為.(2)解：由題知，直線的斜率存在，所以設直線的方程為，設，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達定理得：，，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為，令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.【例2】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓：過點，離心率為，其左右焦點分別為，．(1)若點P與，的距離之比為，求直線被點P所在的曲線截得的弦長；(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，Q為上異于，的任意一點，直線，分別與橢圓的右準線交于點M，N，求證：以為直徑的圓經過x軸上的定點．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】根據題意，利用上的點和離心率得及；（1）由點與，的距離之比化簡整理得到點的軌跡方程是一個圓，利用利用勾股定理可得弦長；（2）根據題意，寫出直線，的直線方程并求其右準線交于點M，N的坐標，假設軸上存在點在以為直徑的圓上，利用求出的值，從而得證以為直徑的圓經過x軸上的定點.【詳解】（1）因為橢圓：過點，所以．又因為離心率，即，故，所以，即，所以，則，．設，則，即，所以點的軌跡為圓心，半徑的圓．

其圓心到直線的距離為，所以弦長．故直線被點P所在的曲線截得的弦長為.（2）證明：由（1）知，所以，，右準線．設，，由：，則，同理．假設軸上存在點在以為直徑的圓上，則因為，因為Q點在橢圓上，所以，即，所以，即，解得或，點和都滿足題意.

所以以MN為直徑的圓經過x軸上的定點和.【跟蹤訓練】1.設橢圓的離心率為，點為橢圓上一點，的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問：軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.(1)由

可得

，①

的周長為，所以，即②

聯立①②得：

，，

，∴橢圓的方程為

；(2)設點．由

，得

，

，化簡得

，∴

，

∴

．由

，得，假設存在點，則

，

，

∵以為直徑的圓恒過點，∴

，即

，∴

對任意都成立．則

，解得

，故存在定點符合題意．2.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的長軸長為4，且經過點，其中e為橢圓C的離心率.(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為，直線交x軸于點Q，過點Q作l的垂線，垂足為H，求證：點H在定圓上.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據橢圓的長軸長，以及橢圓過的點，求出b的值，即可求得答案；（2）設l的方程為，聯立橢圓方程，可得根與系數的關系式，結合的方程可求得Q點坐標，從而可得的方程，并求出其過定點，結合垂直關系，即可證明結論.【詳解】（1）因為橢圓C：的長軸長為，所以，因為橢圓經過點，所以，又，所以，整理得，解得或(舍)．所以橢圓C的方程為（2）證明：由題意可知，l的斜率存在，設l的方程為，，則．由，得，，所以，因為的方程為，令，得，即，因為，①當時，的斜率為，則的方程為，即，所以恒過點．②當時，l的方程為，，則的方程為，此時也過點．綜上，恒過定點，由題意可知，故點H在以PM為直徑的定圓上．【點睛】：關鍵點睛：本題第二問證明點H在定圓上，關鍵在于推出直線過定點，從而結合，即可證明結論.題型三：圓錐曲線中圓過定值問題【精選例題】【例1】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到直線的距離為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓上的任一點，從原點向圓引兩條切線，設兩條切線的斜率分別為，（i）求證：為定值；（ii）當兩條切線分別交橢圓于時，求證：為定值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）直接列出關于的方程組求解；（2）（i）寫出切線方程，由圓心到切線距離等于半徑可以得出與的關系，從而得出是某個一元二次方程的解，利用韋達定理可得；（ii）設，利用及橢圓方程求得，再求得后可得．【詳解】（1）題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）證明：依題意，兩條切線方程分別為，由，化簡得，同理.所以是方程的兩個不相等的實數根，則.又因為，所以，所以.（ii）證明：由（得，，設，則，即，因為，所以，得，即，解得，所以，所以為定值.【例2】已知橢圓：離心率，且經點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓C右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線于點D，且，設直線，，的斜率分別為，，，若，證明為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，解方程求出，即可得出答案；（2）設，，設直線方程為：，將直線方程與隨圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，根據韋達定理，可得的表達式，由此表示出，再代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）由題意知，解得，，故橢圓的標準方程為．（2）由題意直線的斜率一定存在，由（1）知，則橢圓的右焦點的坐標為，設直線方程為：，坐標為．所以，設，，將直線方程與隨圓方程聯立，∴，又恒成立，由韋達定理知，，，∴∴【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是根據直線方程得到坐標為，則，直線方程與隨圓方程聯立，化簡整理，結合韋達定理表示出，代入化簡即可得出答案.【例3】已知橢圓過點，離心率．(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點的斜率為直線交橢圓于另一點，若的面積為2，其中為坐標原點，求直線的斜率的值；(3)設過點的直線交橢圓于點，，直線，分別交直線于點，．求證：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)0(3)證明見解析【分析】（1）根據給定條件，列出關于的方程組并求解即得.（2）由點斜式寫出直線的方程，與橢圓方程聯立結合三角形面積求出k值即得.（3）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，求出點的坐標，結合韋達定理計算得解.【詳解】（1）令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，，則原點到直線的距離為，由消去并化簡得，顯然，設，有，則，于是，則，解得，所以直線的方程為．

（3）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，由，消去并化簡得，則，，由，得，所以，顯然直線，的斜率存在，直線的方程為，令，得，同理得，所以，所以線段的中點為定點.【點睛】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.【跟蹤訓練】1．如圖，D為圓O：上一動點，過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點W，使得，點W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點，且，求證：直線MN過定點；(3)若曲線C交y軸正半軸于點S，直線與曲線C交于不同的兩點G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點．請探究：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析，(3)存在，【分析】（1）設，求得D點并代入，化簡求得曲線C的方程；（2）設的方程為，直線的方程為，將直線的方程與曲線C的方程聯立，求得M，N的坐標，對進行分類討論，由此證得直線過定點并求得定點坐標；（3）假設存在點使得，先求得，設出G，H的坐標，由直線SH和直線SG的方程求得P，Q兩點的坐標，結合G在曲線C上求得R點的坐標．【詳解】（1）設，，則，由題意知，所以，得(，所以，因為，得，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標軸，則可設的方程為：，此時直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當時，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過定點．當時，直線斜率不存在，此時直線方程為：，也過定點，綜上所述：直線過定點．（3）假設存在點R使得，設，因為，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點G、H，易知G、H關于軸對稱，設，易知點，直線方程是，令得點P橫坐標，直線方程是，令得點Q橫坐標，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點，使得成立．3．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，定點．(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓分別交于點（不在直線上），若直線，與橢圓分別交于點，，且直線過定點，問直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)；(2)直線的斜率為定值1【分析】（1）由長軸長和離心率可求出，結合關系式可求出，進而求出橢圓的方程；（2）可設，，，，由，得，將，代入橢圓整理得，聯立求得，同理求得，結合，化簡求出，由即可求解.【詳解】（1）由橢圓的長軸長為4可知，又橢圓的離心率為，即，所以，則，因此橢圓的方程為；（2）直線的斜率為定值，定值為1，證明：設，，，，，，，由，有，因為，在橢圓上，所以，，因此，整理得，即，因此，聯立，解得，同理，又因為直線過定點，所以，將，，，代入，有，整理得，又，所以．綜上，直線的斜率為定值1．【點睛】關鍵點睛：本題涉及的量比較多，關鍵是設而不求，整體代換的思想的應用.4．已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，其離心率為，點P是C上的一點（不同于A，B兩點），且面積的最大值為．(1)求C的方程；(2)若點O為坐標原點，直線AP交直線于點G，過點O且與直線BG垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點E，直線BP交直線l于點F，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）根據離心率及焦點三角形性質、橢圓參數關系求參數，即可得方程；（2）設，且，求得，再根據已知可得直線，而直線，進而求出坐標，過作軸，利用等比例關系求即可得結論.【詳解】（1）由題意，故.（2）由（1）及題設知：，直線的斜率存在且不為0，設，則，即，所以，又過點O且與直線BG垂直的直線記為l，則，故直線，而直線，則，聯立，而，可得，所以，故，過作軸，如圖，所以為定值.1．設橢圓：的左、右頂點分別為C，D，且焦距為2.F為橢圓的右焦點，點M在橢圓上且異于C，D兩點.若直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A，B兩點（A在B，P之間），直線與橢圓E的另一個交點為H，求證：點A，H關于x軸對稱.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據直線與的斜率之積得到，故，結合焦距得到，，得到橢圓方程；（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到兩根之和，兩根之積，表達出，得到結論.【詳解】（1）由題意有，，設，，化簡得，結合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓E的標準方程為；（2）顯然直線方程斜率不存在時，與橢圓方程無交點，根據橢圓的對稱性，欲證，H關于軸對稱，只需證，即證，

設，，直線方程為，由消去得，，解得，所以，.則，因為，所以，即A，H關于軸對稱.2．已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，左頂點為A，，P是橢圓E上一點（異于頂點），O是坐標原點，Q在線段上，且∥，．(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線l與x軸交于點C、與橢圓E交于點M，N，B與N關于x軸對稱，直線MB與x軸交于點D，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形中位線定理結合橢圓的定義及已知條件可求出，再由可求出，然后由可求得，從而可求出橢圓方程；（2）由題意知直線MN，MB的斜率均存在且均不為零，設，，，，然后表示出直線MN，MB的方程，分別與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，得到兩個相等，化簡可得結論.【詳解】（1）由題知，O是線段的中點，Q在線段上，∥，則Q是線段的中點，可得，，所以，即，又因為，則，

可得，所以橢圓E的標準方程為．（2）由題意知直線MN，MB的斜率均存在且均不為零，設，，，，則，可得直線MN的方程為，直線MB的方程為，聯立方程，消去y并整理得，則，，聯立方程，消去y并整理得，則，．因為，即，整理得，當時，，即；當時，C，D，M三點重合或N，B，C，D四點重合，此時；綜上所述：，為定值．

【點睛】關鍵點睛：求解定值問題的三個步驟(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數(某些變量)無關；也可令系數等于零，得出定值；(3)得出結論．3．已知為圓：上任一點，，，，且滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與軌跡相交于,兩點，是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，R的坐標為【分析】（1）由可得，根據向量的加法以及數量積運算可，從而得到，結合橢圓的定義即可求出其軌跡方程.（2）當過點的直線平行于軸時和垂直于軸時，求得，當不平行于軸時且不垂直于軸時，聯立方程，利用韋達定理和點關于軸的對稱點，結合，求得三點共線，從而滿足，即可判斷存在點不同的定點.【詳解】（1）圓：，圓心，半徑為，因為，則，因為，，則在線段上，即，又因為，所以，即，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，則，，則，，所以，則動點的軌跡的方程為.

（2）設過點的直線為，當平行于軸時，直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，可設的坐標為；當垂直于軸時，直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為，當不平行于軸時且不垂直于軸時，設直線方程為，，聯立，得，因為直線恒過橢圓內定點，故恒成立，，又因為點關于軸的對稱點的坐標為，又，，則，所以，則三點共線，所以，綜上，存在與點不同的定點，使恒成立，且.

4．橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點，不在軸上，的面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓相交于M，N兩點，設點，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值.【答案】(1)；(2)定值，【分析】（1）根據題意列出方程即可；（2）設出直線方程，聯立橢圓方程，列出表達式利用韋達定理計算即可.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，設到的距離為，因為，所以，易得當時面積取得最大值，所以，因為，所以，，所以橢圓的方程為；（2）證明：如圖，易知點在橢圓外，設直線的方程為，，，由得，所以，，，因為，所以，所以，所以，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題的第（2）問的化簡，這里化簡主要是利用了韋達定理和直線的方程，在化簡過程中同時涉及到通分，計算比較復雜，要認真計算.5．已知，，動圓與圓外切且與圓內切．圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線C于A，B兩點，使得點Q為中點時，直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值？如果存在，求出這個定值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）先根據題意得到圓與圓的圓心和半徑，再根據題意求得，，從而根據橢圓的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點，4為半長軸長的橢圓，進而即可求得曲線C的方程；（2）先根據題意可得過點的直線的斜率存在，從而設直線為，再聯立曲線C的方程，消整理得到關于的一元二次方程，再結合點Q為中點，從而求得的值，進而即可得到結論．【詳解】（1）依題意可得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為7，設動圓的半徑為，由動圓與圓外切且與圓內切，則，且，則由橢圓的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點，4為半長軸長的橢圓，所以，，，故曲線C的方程的方程為．

（2）依題意可得過點的直線的斜率存在，則設直線為，聯立，消整理得，當點Q為中點時，有，解得，又，所以(定值)，故直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值．

6．已知橢圓的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問直線是否經過定點，若經過，求出定點坐標；若不經過，請說明理由.【答案】(1)；(2)過定點，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，求出直線與的斜率，再由列方程可得參數的關系，代入直線方程可求出直線恒過的定點.【詳解】（1）因為橢圓的長軸為雙曲線的實軸，所以，因為橢圓過點，所以，，得，所以橢圓方程為；（2）①當直線的斜率存在時，設其方程為，由，得，

，所以，，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，即，所以或，當時，直線的方程為，則直線過定點（舍去），當時，直線的方程為，所以直線過定點，②當直線的斜率不存在時，設直線為（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過定點，綜上，直線恒過定點.【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數關系，可消去變為常數.8．已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的標準方程.(2)已知過右焦點的直線與交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）由離心率與定點代入橢圓方程，建立方程組待定系數即可；（2）由條件轉化為，設直線的方程為，將斜率坐標化，利用韋達定理代入，得到的等式，不論如何變化，等式恒成立求值即可.【詳解】（1）因為，所以.所以橢圓的方程為.因為點在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標準方程為.（2）存在定點，使.理由如下：由（1）知，，則點.設在軸上存在定點，使成立.當直線斜率為時，直線右焦點的直線即軸與交于長軸兩端點，若，則，或.當直線斜率不為時，設直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因為，所以，所以，即.所以，即，恒成立，即對，恒成立，則，即.又點滿足條件.綜上所述，故存在定點，使.

9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形是面積為8的正方形．(1)求C的標準方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)定值為．【分析】（1）根據面積求出，即可得出橢圓方程；（2）設，根據相似三角形表示出，利用直線與橢圓方程化簡可得的和積，代入化簡即可得解.【詳解】（1）橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，因為四邊形是面積為8的正方形，所以有且，解得，故，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知，則，設，因為，所以．又因為，所以，所以．即．設，的方程分別為：，，設，，則，所以，因此，同理可得：，因此，，所以．所以為定值，定值為．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于運算，大量的運算保證了消參的進行，為求證定值的必要條件，運算能力的培養是解決問題的關鍵.10．已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，且滿足軸，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的右頂點為，左頂點為，是否存在異于點的定點，使過定點的任一條直線均與橢圓交于（異于兩點）兩點，且使得直線的斜率為直線的斜率的2倍？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在定點滿足題意，.【分析】（1）由軸，得到，從而得到，，再利用橢圓定義求得a即可；（2）假設存在滿足題意的定點，設直線的方程為，聯立，由，結合韋達定理求解.【詳解】（1）解：因為軸，所以，解得所以.根據橢圓的定義，得，解得.又，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）假設存在滿足題意的定點.依題意，設直線的方程為，聯立，消去并整理，得，由，得.由根與系數的關系，得.由，得，所以，即，所以，所以，所以，②-①，得，當時，解得，所以.又，所以.因為上式在變化時恒成立，所以.又，所以.此時點與點重合，不合題意，舍去；所以，即，此時點在橢圓的內部，滿足直線均與橢圓交于兩點，所以存在定點滿足題意，.11．已知橢圓C：（）的離心率為，其左、右焦點分別為，，點P是坐標平面內一點，且（O為坐標原點）．(1)求橢圓C的方程；(2)過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過點M？若存在，求出