數列期末專題復習（答案版）專題1等差數列題型1求等差數列的基本量1．【答案】B【詳解】設數列的首項為，公差為，因為，所以，解得，所以，故選：B.2．【答案】D【詳解】設等差數列的公差為，則，故而.故選：D3．【答案】B【詳解】在等差數列中，，，即，，從而得等差數列公差，，于是得的通項公式為，則是單調遞減等差數列，其前10項均為正，從第11項起的以后各項均為負，因此，數列的前10項和最大，所以，使達到最大值的n是10.故選：B.4．【答案】A【詳解】設等差數列的公差為，∵，，∴，解得：，∴.故選：A.5．【答案】6【詳解】因為是公差不為0的等差數列，設公差為，所以，，又，所以，即則，所以，又，所以，則．故答案為：66．【答案】49【詳解】設等差數列的公差為d，則，所以，可得；又，即，解得．故答案為：7．【答案】或/或【詳解】由等差數列的求和公式可得，則，可得.當時，；當時，.綜上所述，或.故答案為：或.8．【答案】2【詳解】設數列的公差為，則，，因為數列是等差數列，則有，即，化簡整理得：，解得，顯然，與均為等差數列，，則，所以的值為2.故答案為：2題型2等差數列的判定與證明9．【答案】B【詳解】若是等差數列，則，因為成等差數列，則，則，整理得，與非零實數不全相等矛盾，所以一定不是等差數列.故選：B.10．【答案】A【詳解】正項數列滿足，，所以，可得，所以是等差數列，首項為，公差為，所以，所以，故選：A．11．【答案】C【詳解】由得：，又，數列是以為首項，為公差的等差數列，，.故選：C.12．【答案】B【詳解】，，數列是以為首項，為公差的等差數列，，則，，，由得：，解得：，又，.故選：B.13．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通過得到，兩式相除整理后可證明數列為等差數列；（3）當時，通過可得數列的通項公式，注意驗證時是否符合.【詳解】（1）由，且，當時，，得，當時，，得；（2）對于①，當時，②，①②得，即，，又，數列是以1為首項，1為公差的等差數列；（3）由（2）得，，當時，，又時，，不符合，.14．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據題意，將原式兩邊同時取倒數，即可得到證明；（2）由（1）可得數列的通項公式，從而求得數列的通項公式．【詳解】（1）因為，，所以，即，所以，即數列是首項為1，公差為3的等差數列.（2）由（1）可知，數列是首項為1，公差為3的等差數列，所以，所以.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，結合已知遞推關系進行轉化，然后結合等差數列的通項公式及遞推關系可求；（2）由已知先求，根據錯位相減即可求和．【詳解】（1）由題意得：當時，，因為，所以，所以，因為，所以數列是以1為首項，以為公差的等差數列，則，所以，當時，，由于不適合上式，故；（2）當時，，當時，，所以，當時，，，相減得，故，此時也適合，故．16．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用等差數列的定義可證得結論成立，并確定數列的首項和公差，即可求得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）證明：，所以，，即，又，則數列是等差數列，且該數列首項為，公差為，所以，，解得．（2）解：，①∴，②①②，得，所以，．題型3等差數列的常見性質17．【答案】A【詳解】由等差數列性質知：，，，，.故選：A.18．【答案】C【詳解】等差數列的前項和為，且，由等差數列的基本性質，得，.故選：C.19．【答案】C【詳解】由等差數列的性質知：.故選：C.20．【答案】C【詳解】為等差數列，，，，，，，公差，，．故選：C21．【答案】B【詳解】由且，所以，故B正確；所以公差，數列為遞減數列，A錯誤；由，，，所以，，時，，的最大值為，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B22．【答案】【詳解】，由于，故答案為：23．【答案】【詳解】因為，又，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解得.故答案為：24．【答案】e【詳解】由等差數列性質可知：，又，故.故答案為：e專題2等比數列題型1等比數列的基本運算1．【答案】C【詳解】因為且，所以.故選：C2．【答案】B【詳解】解：因為成等比數列，由等比中項性質可得，解得或，又，所以，，故選：B.3．【答案】C【詳解】因為是等比數列，設公比為，所以，又，所以，故選：C4．【答案】C【詳解】設等比數列的公比為，由得，解得，所以．故選：C．5．【答案】5【詳解】解：設正項等比數列的公比為，，因為是與的等差中項，所以，即，即，解得或（舍去）；故答案為：.6．【答案】370【詳解】因為與之間插入個4，，，，，，其中，之間插入2個4，，之間插入4個4，，之間插入8個4，，之間插入16個4，，之間插入32個4，由于，，故數列的前60項含有的前5項和55個4，故.故答案為：370.7．【答案】【詳解】設等比數列的公比為q，則，則，當時，.因為也適合上式，所以.故答案為：.8．【詳解】（1）設等比數列的公比為，由，得，即，解得（舍）或..（2），，，相減得：，，所以題型2等比數列的判定與證明9．【答案】C【詳解】成等比數列，設公比為，則均不為0，且，，故成等比數列，且公比為，因此成等比數列，且公比為，，當時，成等比數列，且公比為，但當時，不是等比數列，故選：C10．【答案】B【詳解】因為，且，所以是首項為，公比為的等比數列，所以的前項和為：．故選：B．11．【答案】A【詳解】若數列的公差，即，所以數列是遞減數列，A選項正確；若數列的前項和，則，當時，，此時有，但，所以數列不是等比數列，B選項錯誤；若數列的前項和（為常數），則，當時，，此時有，但，當時，，所以數列不一定為等差數列，C選項錯誤；數列是等比數列，為前項和，當公比，為偶數時，則均為0，不為等比數列，D選項錯誤.故選：A12．【答案】BD【詳解】由，所以當時，有，兩式相減得，又，，所以數列不是等比數列，故A錯誤；C錯誤；由，得，所以數列是首項為1，公比為3的等比數列，所以，故B正確；D正確．故選：BD．13．【詳解】（1）解：因為數列的前項和為，且.當時，，當時，，也滿足，故對任意的，.（2）解：當時，，可得，所以，，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，因此，數列是公比為的等比數列.14．【詳解】（1）證明：因為，故.又，則，所以.又，所以對任意的時，，故是以為首項，公比為3的等比數列；又因為，所以.又，則，所以.又，所以對任意的時，，故是以為首項，公比為2的等比數列.（2）解：由（1）知，，.即，，兩式作差可得，整理可得.15．【詳解】（1），時，，相減得：，又，,,所以，,所以是等比數列，首項是9，公比是3；（2）由（1）得，，，，則，相減得，∴．16．【詳解】（1）∵，①∴當時，，②；①②，得，即，∴化簡整理得（），又∵，∴數列中各項均不為，且（），∴數列是首項，公比為的等比數列.（2）由第（1）問，，∴，∴，∴.∴數列的前項和.題型3等比數列的性質及其應用17．【答案】C【詳解】∵為等比數列，∴，，，.故選：C18．【答案】B【詳解】解：因為1，，，4成等差數列，所以，又因為1，，，，4成等比數列，所以，，所以，所以，故選：B19．【答案】C【詳解】已知，所以，解得，即①；又，則，即②；又，由①②得，所以，解得或.因為數列是遞增的等比數列，所以.故選：C.20．【答案】A【詳解】設，則，因為為等比數列，所以，，仍成等比數列