浙江省寧波市海曙區2023-2024學年數學九年級第一學期期末學業質量監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，點、、是上的點，，連結交于點，若，則的度數為（）A． B． C． D．2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠AOB=100°，則∠ACB的度數是（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（）A． B． C． D．4．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面積為15，那么△ABD的面積為（）A．15 B．10 C．7.5 D．55．如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，AE=6，則EC等于（）A．10 B．4 C．15 D．96．如圖，點從菱形的頂點出發，沿以的速度勻速運動到點，下圖是點運動時，的面積隨時間變化的關系圖象是（）A． B．C． D．7．如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，它的頂點在小正方形的頂點位置．如果△ABC的面積為10，且sinA＝，那么點C的位置可以在（）A．點C1處 B．點C2處 C．點C3處 D．點C4處8．關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，則∠2的度數為（）A．60° B．65° C．70° D．75°10．△DEF和△ABC是位似圖形，點O是位似中心，點D，E，F分別是OA，OB，OC的中點，若△DEF的面積是2，則△ABC的面積是(

)A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知二次函數y=－x－2x＋3的圖象上有兩點A(－7，)，B(－8，)，則▲.（用>、<、=填空）．12．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45°．若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是_____．13．如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬BC=6厘米，長CD=16厘米的矩形．當水面觸到杯口邊緣時，邊CD恰有一半露出水面，那么此時水面高度是______厘米．14．已知：如圖，，，分別切于，，點．若，則的周長為________．15．一圓錐的側面展開后是扇形，該扇形的圓心角為120°，半徑為6cm，則此圓錐的底面圓的半徑為cm．16．如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=．以A為圓心，AD的長為半徑做弧交BC邊于點E，則圖中的弧長是_______.17．如圖，一次函數與反比例函數的圖象分別是直線和雙曲線．直線與雙曲線的一個交點為點軸于點，則此反比例函數的解析式為_______________.18．定義：在平面直角坐標系中，我們將橫、縱坐標都是整數的點稱為“整點”．若拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3與x軸圍成的區域內(不包括拋物線和x軸上的點)恰好有8個“整點”，則a的取值范圍是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸和軸正半軸上，點的坐標是，點是邊上一動點（不與點、點重合），連結、，過點作射線交的延長線于點，交邊于點，且，令，.（1）當為何值時，？（2）求與的函數關系式，并寫出的取值范圍；（3）在點的運動過程中，是否存在，使的面積與的面積之和等于的面積.若存在，請求的值；若不存在，請說明理由.20．（6分）“道路千萬條，安全第一條”，《中華人民共和國道路交通管理條例》規定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過”，一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛，在據路邊處有“車速檢測儀”，測得該車從北偏西的點行駛到北偏西的點，所用時間為．（1）試求該車從點到點的平均速度(結果保留根號)；（2）試說明該車是否超速．21．（6分）(1)解方程:；(2)計算:．22．（8分）小明和小亮兩同學做游戲，游戲規則是：有一個不透明的盒子，里面裝有兩張紅卡片，兩張綠卡片，卡片除顏色外其他均相同，兩人先后從盒子中取出一張卡片（不放回），若兩人所取卡片的顏色相同，則小明獲勝，否則小亮獲勝．（1）請用畫樹狀圖或列表法列出游戲所有可能的結果；（2）請根據你的計算結果說明游戲是否公平，若不公平，你認為對誰有利？23．（8分）計算（1）（2）（3）（4）24．（8分）在一次社會大課堂的數學實踐活動中，王老師要求同學們測量教室窗戶邊框上的點C到地面的距離即CD的長，小英測量的步驟及測量的數據如下：（1）在地面上選定點A,B，使點A，B，D在同一條直線上，測量出、兩點間的距離為9米；（2）在教室窗戶邊框上的點C點處，分別測得點，的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.請你根據以上數據計算出的長.（可能用到的參考數據：sin35°≈0.57cos35°≈0.82tan35°≈0.70）25．（10分）車輛經過潤揚大橋收費站時，4個收費通道A．B、C、D中，可隨機選擇其中的一個通過．（1）一輛車經過此收費站時，選擇A通道通過的概率是；（2）求兩輛車經過此收費站時，選擇不同通道通過的概率．26．（10分）計算：3tan30°?tan45°+2sin60°

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據平行可得，∠A=∠O，據圓周角定理可得，∠C=∠O，結合外角的性質得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出結果．【詳解】解：∵OB∥AC，∠A=∠O，又∠C=∠O，∴∠ADB=∠C+∠A=∠O+∠O=60°，∴∠O=40°．故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的性質以及外角的性質，熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關鍵．2、B【分析】直接利用圓周角定理可求得∠ACB的度數．【詳解】∵⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=100°，

∴∠ACB=∠AOB=100°=50．

故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半．3、D【分析】本題可先由一次函數y=ax+c圖象得到字母系數的正負，再與二次函數y=ax2+bx+c的圖象相比較看是否一致．【詳解】A、一次函數y=ax+c與y軸交點應為（0，c），二次函數y=ax2+bx+c與y軸交點也應為（0，c），圖象不符合，故本選項錯誤；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，a的取值矛盾，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，a的取值矛盾，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＜0，且拋物線與直線與y軸的交點相同，故本選項正確．故選D．【點睛】本題考查拋物線和直線的性質，用假設法來搞定這種數形結合題是一種很好的方法．4、D【分析】首先證明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性質可得：△BAD的面積：△BCA的面積為1：4，得出△BAD的面積：△ACD的面積＝1：3，即可求出△ABD的面積．【詳解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴，∴，∵△ACD的面積為15，∴△ABD的面積＝×15＝5，故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.5、B【解析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴AEEC=ADDB解得，EC=4，故選：B．【點睛】考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．6、A【分析】運用動點函數進行分段分析，當點P在AD上和在BD上時，結合圖象得出符合要求的解析式．【詳解】①當點P在AD上時，此時BC是定值，BC邊的高是定值，則△PBC的面積y是定值；

②當點P在BD上時，此時BC是定值，BC邊的高與運動時間x成正比例的關系，則△PBC的面積y與運動時間x是一次函數，并且△PBC的面積y與運動時間x之間是減函數，y≥1．

所以只有A符合要求．

故選：A．【點睛】此題主要考查了動點函數的應用，注意將函數分段分析得出解析式是解決問題的關鍵，有一定難度．7、D【解析】如圖：∵AB=5,,∴D=4,∵,∴,∴AC=4,∵在RT△AD中，D,AD=8,∴A=,故答案為D.8、A【解析】根據一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】∵是關于x的一元二次方程，

∴，

故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．9、C【分析】由等腰三角形的性質可求∠ACD＝70°，由平行線的性質可求解．【詳解】∵AD＝CD，∠1＝40°，∴∠ACD＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝70°，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，是基礎題．10、D【解析】先根據三角形中位線的性質得到DE=AB，從而得到相似比，再利用位似的性質得到△DEF∽△ABC，然后根據相似三角形的面積比是相似比的平方求解即可．【詳解】∵點D，E分別是OA，OB的中點，∴DE=AB，∵△DEF和△ABC是位似圖形，點O是位似中心，∴△DEF∽△ABC，∴=，∴△ABC的面積=2×4=8故選D．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．二、填空題(每小題3分,共24分)11、＞．【解析】根據已知條件求出二次函數的對稱軸和開口方向，再根據點A、B的橫坐標的大小即可判斷出y1與y1的大小關系：∵二次函數y=﹣x1﹣1x+3的對稱軸是x=﹣1，開口向下，∴在對稱軸的左側y隨x的增大而增大．∵點A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函數y=﹣x1﹣1x+3的圖象上的兩點，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y1．12、【分析】根據中位線定理得到MN的最大時，AC最大，當AC最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．【詳解】解：點M，N分別是AB，BC的中點，，當AC取得最大值時，MN就取得最大值，當AC時直徑時，最大，如圖，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質及圓周角定理，解題的關鍵是利用中位線性質將MN的值最大問題轉化為AC的最大值問題，難度不大．13、【分析】先由勾股定理求出，再過點作于，由的比例線段求得結果即可．【詳解】解：過點作于，如圖所示：∵BC=6厘米，CD=16厘米，CD厘米，，由勾股定理得：，，，，，，即，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質，正確把握相關性質是解題關鍵．14、【分析】根據切線長定理由PA、PB分別切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm，由于DC與⊙O相切于E，再根據切線長定理得到CA=CE，DE=DB，然后三角形周長的定義得到△PDC的周長=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC，然后用等線段代換后得到三角形PDC的周長等于PA+PB．【詳解】∵PA、PB分別切⊙O于A、B，

∴PB=PA=10cm，

∵CA與CE為⊙的切線，

∴CA=CE，

同理得到DE=DB，

∴△PDC的周長=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC

∴△PDC的周長=PA+PB=20cm，

故答案為20cm．【點睛】本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．15、1．【解析】試題分析：設此圓錐的底面半徑為r，根據圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，1πr=，解得：r=1cm．故答案是1．考點：圓錐的計算．16、π【分析】根據題意可得AD=AE=，則可以求出sin∠AEB，可以判斷出可判斷出∠AEB=45°，進一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧長得到計算公式可得出弧DE的長度．【詳解】解：∵AD半徑畫弧交BC邊于點E，AD=

∴AD=AE=，

又∵AB=1，

∴∴∠AEB=45°，∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB=45°，

故可得弧DC的長度為==π，

故答案為：π．【點睛】此題考查了弧長的計算公式，解答本題的關鍵是求出∠DAE的度數，要求我們熟練掌握弧長的計算公式及解直角三角形的知識．17、【分析】根據題意易得點A、B、D的坐標，再利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而可得點C坐標，然后根據待定系數法即可求得結果．【詳解】解：由已知，得，設一次函數解析式為，因為點A、B在一次函數圖象上，，解得：，則一次函數解析式是，因為點在一次函數圖象上，所以當時，，即，設反比例函數解析式為，∵點在反比例函數圖象上，則，所以，∴反比例函數解析式是．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式以及函數圖象上點的坐標特征，屬于基礎題型，熟練掌握待定系數法求解的方法是解題的關鍵．18、【分析】如圖所示，，圖象實心點為8個“整點”，則符合條件的拋物線過點A、B之間不含點，即可求解．【詳解】解：，故拋物線的頂點為：；拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3與x軸圍成的區域內(不包括拋物線和x軸上的點)恰好有8個“整點”，∴，如圖所示，圖象實心點為8個“整點”，則符合條件的拋物線過點和點上方，并經過點和點下方，當拋物線過點上方時，，解得：；當拋物線過點上方時，，解得：；當拋物線過點下方時，，解得：；當拋物線過點下方時，，解得：；∵四個條件同時成立，∴故答案為：．【點睛】本題考查根據二次函數的圖象確定二次函數的字母系數的取值范圍．找出包含“整點”的位置，利用數形結合的數學思想是解題的關鍵，難度較大．三、解答題(共66分)19、（1）當時，；（2）（）；（3）存在，.【分析】（1）由題意可知，當OP⊥AP時，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根據已知條件利用兩角對應相等兩個三角形相似，證明三角形OCM和三角形PCO相似,得出對應邊成比例即可得出結論；（3）假設存在x符合題意.過作于點，交于點，由與面積之和等于的面積，∴.然后求出ED，EF的長，再根據三角形相似：∽，求出MP的長，進而由上題的關系式求出符合條件的x.【詳解】解：（1）證明三角形OPC和三角形PAB相似是解決問題的關鍵，由題意知，，BC∥OA,∵，∴.∴.∴∽,∴，即，解得（不合題意,舍去）.∴當時，；(2)由題意可知，∥，∴.∵（已知），∴.∵，∴∽，∴對應邊成比例：，即.∴，因為點是邊上一動點（不與點、點重合），且滿足∽，所以的取值范圍是.（3）假設存在符合題意.如圖所示，過作于點，交于點，則.∵與面積之和等于的面積，∴.∴.∵∥，∴∽.∴.即，解得.由（2）得，所以.解得（不合題意舍去）.∴在點的運動過程中存在x,，使與面積之和等于的面積，此時.【點睛】1.相似三角形的判定與性質；2.矩形性質.20、（1）；（2）沒有超過限速．【分析】（1）分別在、中，利用正切求得、的長，從而求得的長，已知時間路程則可以根據公式求得其速度．（2）將限速與其速度進行比較，若大于限速則超速，否則沒有超速．此時注意單位的換算．【詳解】解：（1）在中，，在中，，．小汽車從到的速度為．（2），又，小汽車沒有超過限速．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握方向角的概念、銳角三角函數的定義是解題的關鍵．．21、（1）；（2）-3【分析】（1）先依次寫出a、b、c的值，再求出△的值，最后代入公式計算即可；（2）分別計算特殊角的三角函數值和算術平方根，再依據有理數的混合運算計算即可．【詳解】解:(1):∵∴，∴，∴，即(2)原式=，．【點睛】本題考查利用公式法解一元二次方程，特殊角的三角函數值的混合運算和算術平方根．（1）中熟記一元二次方程的求根公式是解題關鍵；（2）中熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．22、（1）見解析；（2）不公平，對小亮有利，見解析.【解析】（1）采用樹狀圖法或者列表法解答均可；

（2）列舉出所有情況，看兩人所取卡片的顏色相同和不同的情況占總情況的多少即可判斷．【詳解】解：（1）畫樹狀圖如下：（2）不公平，理由如下：由樹狀圖知共有12種等可能結果，其中兩種顏色相同的有4種結果，兩種顏色不同的有8種結果，所以小明獲勝的概率為，小亮獲勝的概率為，因為＞，所以小亮獲勝的可能性大，故此游戲不公平．【點睛】本題考查游戲的公平性，解題的關鍵是正確的列出表格或樹狀圖．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．23、(1)；(2)；(3