第三章

微分中值定理與導數的應用編輯課件一、羅爾(Rolle)定理定理(Rolle)假設函數f(x)滿足〔1〕在閉區間[a,b]上連續〔2〕在開區間(a,b)內可導〔3〕在區間端點處的函數值相等f(a)=f(b)例如,§3.1微分中值定理編輯課件幾何解釋:假設連續曲線弧的兩個端點的縱坐標相等，且除去兩個端點外處處有不垂直于橫軸的切線，編輯課件注①Rolle定理有三個條件：閉區間連續；開區間可導區間端點處的函數值相等；這三個條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿足(1),(2)，不滿足(3)卻在(-1,2)內有一點x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結論成立三個條件缺一不可。例如,編輯課件又例如,在[0,1]上除去x=0不連續外，滿足羅爾定理的一切條件,再例如在[0,1]上除去端點的函數值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件,②羅爾定理的結論是在開區間內至少有一使導數等0的點。有的函數這樣的點可能不止一個；編輯課件另外還要注意點ξ并未具體指出，即使對于給定的具體函數，點ξ也不一定能指出是哪一點，如在[-1，0]上滿足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據定理，這樣的點是存在的.即便如此，我們將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應用.編輯課件例1．不求函數f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導數,判斷方程f

(x)=0有幾個實根，以及其所在范圍。

解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上滿足羅爾定理的三個條件。在(1,2)內至少存在一點x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)=0的一個實根。在(2,3)內至少存在一點x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)=0的一個實根。

f

(x)=0是二次方程，只能有兩個實根，分別在區間(1,2)及(2,3)內。編輯課件二、拉格朗日(Lagrange)中值定理編輯課件幾何解釋:編輯課件

推論如果函數f(x)在區間I上的導數恒為零，那么f(x)在區間I上是一個常數。

證明：在區間I上任取兩點x1，x2(x1<x2)，應用拉格朗日中值定理，就得

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。由假定，f

(x)

0，所以f(x2)

f(x1)

0，即

f(x2)

f(x1)。因此f(x)在區間I上是一個常數。編輯課件

證明：設f(x)

ln(1

x)，顯然f(x)在區間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據定理，就有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)，0<x<x。又由0<x<x，有編輯課件三、柯西(Cauchy)中值定理Cauchy定理又稱為廣義微分中值定理編輯課件結構圖Lagrange定理特例Rolle定理推廣Cauchy定理拉格朗日中值定理又稱微分中值定理.編輯課件第二節洛必達法那么編輯課件定義例如,編輯課件定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法那么.編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件關鍵:將其它類型未定式化為洛必達法那么可解決的類型.步驟:

例7．求0+lim?xx

n

lnx

(n>0)。

0.=lim0+-=?nxnx

解：xxnxlnlim0+?nxxx-0+?=lnlim10+1lim--?-=nxnxx

編輯課件例8解步驟:編輯課件步驟:例9解編輯課件1．洛必達法那么是求未定式的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結合使用。例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡捷。應注意的問題：編輯課件2．本節定理給出的是求未定式的一種方法。當定理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為)，但定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。所以不能用洛必達法那么。但其極限是存在的：編輯課件

第三節

泰勒(Taylor)公式

多項式是一類很重要的函數，其明顯特點是結構簡單，因此無論是數值計算還是理論分析都比較方便從計算的角度看，只須加、減、乘三種運算，這是其它函數所不具備的優點。用多項式近似地表示給定函數的問題不僅具有實用價值，而且更具有理論價值。編輯課件一、問題的提出編輯課件編輯課件缺乏:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.編輯課件編輯課件二、泰勒(Taylor)中值定理編輯課件----拉格朗日型余項編輯課件----佩亞諾型余項編輯課件麥克勞林(Maclaurin)公式編輯課件三、簡單的應用解代入公式,得編輯課件常用函數的麥克勞林公式編輯課件解編輯課件第四節函數單調性與曲線凹凸性導數符號與單調性單調性的判定步驟凹凸與拐點的定義二階導數符號與凹凸性凹凸與拐點的判定步驟編輯課件一、單調性的判別法函數在某區間上是否具有單調性是我們在研究函數的性態時，首先關注的問題。第一章中已經給出了函數在某區間上單調的定義，但利用定義來判定函數的單調性卻是很不方便的。編輯課件從幾何圖形上看，表示單調函數的曲線當自變量在單調區間內按增加方向變動時，曲線總是上升〔下降〕的。進一步假設曲線在某區間內每點處的切線斜率都為正〔負〕，曲線就是上升〔下降〕的這就啟示我們：能否利用導數的符號來判定單調性？答復是肯定的。定理編輯課件例1解編輯課件例2解單調減區間為單調增區間為編輯課件二、單調區間求法問題:如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個局部區間上單調．定義:假設函數在其定義域的某個區間內是單調的，那么該區間稱為函數的單調區間.導數等于零的點(駐點)和不可導點，可能是單調區間的分界點．編輯課件單調區間求法:在f

的定義域上求f

的零點及f

不存在的點；2.用f

的零點及f

不存在的點將f

的定義區間劃分為子區間；3.根據f

在各子區間內的符號確定f的單調性。4.二、三兩步可借助于表格方式完成。編輯課件例3解xf

(x)f(x)(

,1)(1,2)(2,

)↗↘↗＋－＋編輯課件xyO11y=x3說明:一般地，如果f

(x)在某區間內的有限個點處為零，在其余各點處均為正(或負)時，那么f(x)在該區間上仍舊是單調增加(或單調減少)的。

例4．討論函數y

x3的單調性。

解：函數的定義域為

(

,

)。y

3x2，當x

0時，y

0。

因為當x

0時，y

>0。所以函數y

x3在區間(

,0]及[0,

)內都是單調增加的。因此函數在整個定義域(

,

)內是單調增加的。編輯課件注

利用導數符號與單調性之間的關系可證明一些不等式。因為當x>1時，f

(x)>0，所以f(x)在[1,

)上f(x)單調增加。因此當x>1時，f(x)>f(1)=0，即

例5．證明：當x>1時，xx132->。

證明：令)13(2)(xxxf--=，則

編輯課件三、曲線的凹凸性與拐點定義:假設曲線段向上〔下〕彎曲，那么稱之為凹〔凸〕的。圖形上任意弧段〔〕位于所張弦的上方。圖形上任意弧段〔〕位于所張弦的下方。問題:如何用準確的數學語言描述曲線的凹凸性?的中點的中點

編輯課件定義編輯課件四、曲線凹凸的判定定理1編輯課件例6解注意到,xyO11y=x3編輯課件五、曲線的拐點及其求法1.定義2.拐點的求法編輯課件例8解編輯課件凹凸與拐點的判定步驟編輯課件例2解凹的凸的凹的拐點拐點編輯課件第五節函數的極值與最大值最小值由單調性的判定法那么，結合函數的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成“峰〞、“谷〞，函數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。編輯課件一、函數極值的定義編輯課件設函數f(x)在區間(a,b)內有定義，x0

(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f(a)和f(b)是否為極值？

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一。。。如果

U(x0)，個極小值；函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點．極值的定義：二、函數的極值編輯課件取得極值的必要條件：觀察極值與切線的關系：在極值點處，如果函數曲線有切線，那么切線是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7

y=f(x)編輯課件定理1〔必要條件〕設函數f(x)在點x0處可導，且在x0處取得極值，那么f(x0)0．駐點：使導數為零的點(即方程f

(x)

0的實根)叫函數f(x)的駐點．應注意的問題：可導函數f(x)的極值點必定是函數的駐點．但反過來，函數f(x)的駐點卻不一定是極值點．編輯課件觀察函數f(x)

x３在x

0處的導數與極值情況．xyOy=x3在x=0處，f

(0)

0.但函數在x=0無極值．編輯課件定理2〔第一充分條件〕設函數f(x)在點x0的一個鄰域內連續，在x0的左右鄰域內可導．(1)如果在x0的某一左鄰域內f(x)>0，在x0的某一右鄰域內f(x)<0，那么函數f(x)在x0處取得極大值；(2)如果在x0的某一左鄰域內f(x)<0，在x0的某一右鄰域內f(x)>0，那么函數f(x)在x0處取得極小值；(3)如果在x0的左右鄰域內f(x)不改變符號，那么函數f(x)在x0處沒有極值．取得極值的第一充分條件：編輯課件取得極值的第一充分條件的幾何意義：x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0在極小值點附近在極大值點附近編輯課件例1

求函數f(x)

1

(x

2)2/3的極值．解(1)當x

2時，(2)函數無駐點，x

2是不可導點；

(3)列表判斷：x

f

(x)

f(x)(-，2)2(2，+)+-不存在1極大值函數f(x)在x

2取得極大值，極大值為f(2)

1．編輯課件確定極值點和極值的步驟：(1)求出導數f(x)；(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點；(3)列表判斷〔考察f(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況，以便確定該點是否是極值點，如果是極值點，還要按定理2確定對應的函數值是極大值還是極小值〕；(4)確定出函數的所有極值點和極值．編輯課件函數f(x)的極大值為f(

1)

10，極小值為f(3)

22．

例2

求函數f(x)

x3

3x2

9x

5的極值．

解(1)f

(x)

3x2

6x

9

3(x

1)(x

3)．(2)令3(x

1)(x

3)

0，

得駐點x

1

1，x

2

3．(3)列表判斷：(3,

)

22(

,

1)

1(

1,3)3

f

(x)

00

f(x)10極大極小x編輯課件應注意的問題：

如果函數f(x)在駐點x0處的二階導數f

(x

0)

0，那么點x0一定是極值點，并且可以按二階導數f

(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值．但如果f

(x0)

0，定理3就不能應用．定理2(第二充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f

(x0)

0，f

(x0)

0，那么(1)當f

(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值；(2)當f

(x0)>0時，函數f(x)在x0處取得極小值．編輯課件討論：函數f1(x)

x4，f2(x)

x3在點x

0是否有極值？

f

1(x)4x3，f

1(0)

0，

f

1(x)12x2，f

1(0)

0．當x<0時，f

1(x)<0；當x>0時，f

1(x)>0．f1(0)為極小值．

f

2(x)3x2，f

2(0)

0，

f

2(x)6x

，f

2(0)

0．

f

2(x)

0，f2(0)不是極值．1012112xy101x1234y編輯課件(2)令f

(x)

0，求得駐點x1

1，x2

0，x3

1．(3)f

(x)

6(x

2

1)(5x2

1)．(4)因f

(0)

6>0，所以x

0為極小值點，極小值為f(0)

0．(5)因f

(

1)

f

(1)

0，用定理3無法判別．

例3求函數f(x)

(x2

1)3

1的極值．

解法一(1)f

(x)

6x(x2

1)2．同理，f(x)在1處也沒有極值．因為在

1的左右鄰域內f

(x)<0，所以f(x)在

1處沒有極值；2101x12y

f(x)

(x2

1)3

1編輯課件

f

(x)

f(x)(1)f

(x)

6x(x2

1)2．(2)令f

(x)

0，求得駐點x1

1，x2

0，x3

1．(3)列表判斷：x(-，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)-0-0++00無極值無極值極小值

f(x)在x

0處取得極小值，極小值為f(0)

0．

解法二編輯課件極值與最值的關系：x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(b)，最小值：f(x3)．觀察：三、函數的最大值、最小值編輯課件x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(x4)，最小值：f(x3)．觀察：編輯課件設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，那么函數的最大值和最小值一定存在．函數的最大值和最小值有可能在區間的端點取得，如果最大值不在區間的端點取得，那么必在開區間(a，b)內取得，在這種情況下，最大值一定是函數的極大值．因此，函數在閉區間[a，b]上的最大值一定是函數的所有極大值和函數在區間端點的函數值中最大者．同理，函數在閉區間[a，b]上的最小值一定是函數的所有極小值和函數在區間端點的函數值中最小者．極值與最值的關系：編輯課件設f(x)在(a，b)內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點)為x1，x2，···，xn，那么比較f(a)，f(x1)，f(x2)，···，f(xn)，f(b)的大小，其中最大的便是函數f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是函數f(x)在[a，b]上的最小值．求最大值和最小值的步驟：(1)求出f(x)在(a，b)內的所有駐點和不可導點；(2)求出函數在上述點處和區間端點處的函數值；(3)比較上述函數值，找出最大的和最小的．最大值和最小值的求法：編輯課件

例4

求函數y

2x3

3x2

12x

14在[

3,4]上的最大值與最小值．解f(x)2x33x212x14，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程f(x)0，得x12，x21，由于f(3)2(3)33(3)212(3)1423；f(2)2(2)33(2)212(2)1434；f(1)2312147；f(4)2·433·4212·414142，比較可得f(x)在x4取得它在[3，4]上的最大值f(4)142,在x1取得它在[3，4]上的最小值f(1)7．編輯課件例5鐵路線上AB段的距離為100km．工廠C距A處為20km，AC垂直于AB．為了運輸需要，要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路．鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5．為了使貨物從供給站B運到工廠C的運費最省，問D點應選在何處？100kmDABC20km最大值和最小值的應用：編輯課件解設ADx(km)，那么DB100x，100kmDABC20km設從B點到C點需要的總運費為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是正數)，即編輯課件先求y對x的導數：，解方程y

0，得x

15．其中以y|x

15

380k為最小，因此當AD

x

15km時，總運費為最省．解設ADx(km)，那么DB100x，設從B點到C點需要的總運費為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某個正數)，即編輯課件

如果f(x)在一個區間(有限或無限，開或閉)內可導且只有一個駐點x0，并且這個駐點x0是函數f(x)的極值點，那么，當f(x0)是極大值時，f(x0)就是f(x)在該區間上的最大值；當f(x0)是極小值時，f(x0)就是f(x)在該區間上的最小值．特殊情況下的最大值與最小值：

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y編輯課件應當指出，實際問題中，往往根據問題的性質就可以斷定函數f(x)確有最大值或最小值，這時如果f(x)在定義區間內部只有一個駐點x0，那么不必討論f(x0)是否是極值，就可以斷定

f(x0)是最大值或最小值．編輯課件把一根直徑為d

的圓木鋸成截面為矩形的梁．問矩形截面的高h和寬b應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W

最大?其中d

hb

解

b

與h

有下面的關系：

h2

d2

b2，

例6由于梁的最大抗彎截面模量在(0，d)內一定存在，而函數W在(0，d)內只有一個駐點，W的值最大．這時，，于是有編輯課件

f

(x)<0，曲線是凸的．1、函數的單調性與曲線的凹凸性xyO函數單調增加．曲線是凹的．

y=f(x)

f

(x)>0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函數單調增加．

f

(x)>0，復習：§3.6與函數圖像的描繪編輯課件xyO函數單調減少．曲線是凹的．

y=f(x)

f

(x)<0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函數單調減少．曲線是凸的．

f

(x)<0，

f

(x)<0，編輯課件xyOx1x2x3

f(x3)(x2,f(x2))極大值極小值極小值點極大值點拐點

y=f(x)

f(x1)

f

(x1)=0f

(x2)=0

f

(x3)=02、極值點、極值與拐點編輯課件觀察函數的圖形，在圖形上有哪些關鍵的點？關鍵點的兩側(或兩點間)曲線有什么特點？函數的圖形有無漸近線？有無對稱性？21012xy觀察與思考：編輯課件21012xy觀察函數的圖形，在圖形上有哪些關鍵的點？關鍵點的兩側(或兩點間)曲線有什么特點？函數的圖形有無漸近線？有無對稱性？觀察與思考：編輯課件21012123xy編輯課件321O1234532112345xyx=1是函數的間斷點，無極值點和拐點．畫函數的圖形都要考慮什么？,lim1-￥=-?yx,lim1+￥=+?yx編輯課件(1)確定函數的定義域；(2)觀察函數y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；(3)求出一階、二階導數為零的點和一階、二階導數不存在的點；(4)列表，確定曲線的單調性、極值點和極值，確定曲線的凹凸性和拐點；(5)確定曲線有無漸近線；(6)確定一些特殊點(曲線與坐標軸的交點等);(7)在直角坐標系中，描出所有關鍵性的點，畫出漸近線，最后按照曲線的性態逐段描繪．描繪函數圖形的一般步驟：編輯課件(4)計算特殊點：f(0)

1；f(

1)

0.

解(1)函數的定義域為(

，

)，(2)f

(x)

3x2

2x

1

(3x

1)(x

1)，f

(x)

6x

2

2(3x

1)．駐點為x

1/3和x

1；二階導數為零的點為x

1/3．(3)列表分析：

f

(x)f

(x)

f(x)(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3，1)(1，)1++---00---0+++x32/27極大0極小16/27拐點(5)描點連線畫出圖形：例1畫出函數y

x3

x2

x

1的圖形．編輯課件補充：

f(3/2)

5/8．(5)描點連線畫出圖形：(4)計算特殊點：f(0)

1；f(±1)

0．拐點極大值極小值y

x3

x2

x

1編輯課件(3)列表：解(1)所給函數的定義域為(-，-3)(-3，+)；(2)當x=3時，f(x)=0，當x=6時，f(x)=0；(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004極大11/3拐點例2編輯課件

y=1Oxy63912-3-6-9-12-153-3x=-3(3,4)(-9,-8)(-1,-8)(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004極大11/3拐點(4)x=-3是曲線的鉛直漸近線，y=1是曲線的水平漸近線；(5)特殊點：f(0)=1．(6)繪圖．補充f(-1)=-8，f(-9)=-8，f(-15)=-11/4；編輯課件例3解偶函數,圖形關于y軸對稱.(1)(2)(3)編輯課件拐點極大值列表確定函數升降區間,凹凸區間及極值點與拐點:拐點(4)編輯課件§3.7曲率

s的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0，相反時s<0．有向弧段的值s(簡稱為弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0顯然弧s是x的函數：s

s(x)，而且s(x)是x的單調增加函數．一、弧微分編輯課件設x,x+Dx

為(a，b)內兩個鄰近的點，它們