第十節變化率與導數、定積分與微積分基本定理(2)導數的幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的__________(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數).相應地，切線方程為_______________________．(3)函數f(x)的導函數：稱函數f′(x)＝_________________為f(x)的導函數．切線的斜率

y－y0＝f′(x0)(x－x0)

2．基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_________0αxα－1

cos

x

f(x)＝cosxf′(x)＝___________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝__－sin

x

ax

ln

a

ex

續表3.導數的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝______________________．(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________________________．f′(x)±g′(x)

f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

4．定積分的概念、幾何意義和性質(1)定積分的幾何意義：x＝a

x＝b

f(x)＜0表示由直線______，______，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數f(x)在[a，b]上有正有負表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積x＝a

x＝b

續表F(b)－F(a)

2．(1)f′(x0)代表函數f(x)在x＝x0處的導數值；(f(x0))′是函數值f(x0)的導數，而函數值f(x0)是一個常量，其導數一定為0，即(f(x0))′＝0.(2)f′(x)是一個函數，與f′(x0)不同．3．(1)“過”與“在”：曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點．(2)“切點”與“公共點”：曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．4．復合函數的導數：復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．1．(基礎知識：求導數值)若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(

)A．0 B．eC．2e D．e2CD3．(基本應用：求切線)函數f(x)＝x3在(0，0)處的切線為(

)A．不存在 B．x＝0C．y＝0 D．y＝xC

4．(基本應用：求斜率)曲線y＝ex過點(0，0)的切線的斜率為________．答案：e答案：21．已知函數f(x)＝x(2020＋lnx)，且f′(x0)＝2021，則x0＝(

)A．e2 B．1C．ln2 D．eB答案：－2

3．若函數f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，則f′(1)＝________．答案：8

方法總結

1．求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；(2)分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；(3)對數形式：先化為和、差的形式，再求導；(4)根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；(5)三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導．2．求導公式或求導法則中，要注意“＋”“－”的變化，如(cosx)′＝－sinx．區分f′(x)與f′(x0).3．復合函數的求導，要分清復合的層次．

[典例剖析]類型1求斜率、切線方程[例1]

(1)(2021·吉林白山模擬)已知函數f(x)＝(2x－a)·ex，且f′(1)＝3e，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為(

)A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0B解析：∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，則f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.(2)已知函數f(x)＝xlnx，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為______________．答案：x－y－1＝0

D

(2)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1，3)，則2a＋b＝________．答案：1

類型3導數與原函數圖象關系[例3]已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是(

)B

解析：由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數y＝f(x)圖象的切線的斜率先增大后減小．方法總結

1．求曲線的切線方程，注意已知點是否為切點，其關鍵點為：(1)當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0).

(2)當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程，為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．2．有關切線問題求參數：對于此類問題，首先明確參數存在何處．其關鍵點為：(1)利用切點，求f′(x0)，利用斜率建立關系k＝f′(x0).(2)利用切點的雙重性，既在切線上又在曲線上建立關系．(3)聯立方程組求解．[題組突破]1．(2021·福建福州質檢)如圖所示，y＝f(x)是可導函數，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝(

)A．－1 B．0C．2 D．4BAD答案：0

方法總結求定積分的常用方法方法解讀適合題型定理法利用微積分基本定理求定積分，其關鍵是求出被積函數的原函數，求一個函數的原函數與求一個函數的導數是互逆運算，可利用此結論檢驗被積函數的正確性函數較簡單幾何法用定積分的幾何意義來求，即通過圖形中面積的計算來求定積分值的大小函數較復雜且有明顯的幾何意義續表

續表

2．如圖所示，求由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(0，－3)和點B(3，0)處的切線所圍成圖形的面積．1．(2019·高考全國卷Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(

)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1D2．(2018·高考全國卷Ⅰ)設函數?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若?(x)為奇函數，則曲線y＝?(x)在點(0，0)處的切線方程為(

)A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD解析：法一：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又?(x)為奇函數，∴?(－x)＝－?(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，∴曲線y＝?(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x.法二：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數，∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a為偶函數，∴a＝1，即?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，∴曲線y＝?(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x.3．(2019·高考全國卷Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為________.解析：y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切線方程為y＝3x.答案：y＝3x