兩角和與差的正弦、余弦、正切公式5.5.1第二課時學習目標1.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內在聯系.(邏輯推理)2.能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的化簡、求值.(數學運算)思維導圖復習回顧上節課我們利用圓的選轉對稱性推導出兩角差的余弦公式，請同學們在回顧推導過程的基礎上寫出差角的余弦公式.

此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關系.思考由兩角差的余弦出發，你能不能推導出兩角和的余弦公式？探究新知

它們都是角的余弦，知識角的形式不同.

基于上述差異與聯系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式

依照上述解決問題的思路，你能直接寫出兩角和的正弦公式和正切公式嗎？

知識梳理名稱簡記符號公式使用條件兩角和的余弦α，β∈R兩角差的余弦α，β∈R兩角和的正弦α，β∈R兩角差的正弦α，β∈R兩角和的正切兩角差的正切

兩角和與差的正弦公式記憶口訣: 正余余正,符號相同.正余余正表示展開后的兩項分別是兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;符號相同表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同,即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.

兩角和與差的正切公式公式的右邊為分式形式,其中分子為tan

α,tan

β的和或差.分母為1與tan

αtan

β的差或和.公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同,與分母上的加減號相反.符號變化規律可簡記為“分子同,分母反”.當α,β,α±β角的正切值不存在時,不能使用上述公式,但可以用誘導公式或其他方法解題.題型探究題型一.給角求值(5)∵(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,∴原式=2×2=4.兩角和與差的正弦公式的一般使用方法(1)正用：把sin(α±β)從左向右展開．(2)逆用：公式的右邊化簡成左邊的形式，當結構不具備條件時，要用相關公式調節后再逆用．(3)變形應用：它涉及兩個方面，一是公式本身的變形；二是角的變形，也稱為角的拆分變換，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．題型探究題型二.給值求值∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)給值求值的解題策略在解決此類題目時,一定要注意已知角與所求角之間的關系,恰當地運用拆角、拼角技巧,同時分析角之間的關系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當條件中有兩角時,一般把“所求角”表示為“已知兩角”的和或差.(2)當已知角有一個時,可利用誘導公式把“所求角”轉化為“已知角”.題型探究題型三.給值求角所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα兩角和與差的正切公式的變形及常見結論1.公式的變形(1)兩角和的正切公式的變形

③tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α