第1頁/共1頁2026屆高一年級聯考數學一、單項選擇題：1.已知全集，集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】，解得或，所以或，所以，所以.故選：C2.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數的單調性以及零點存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調遞增，，所以的零點在區間.故選：B3.已知，，則“關于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若關于的不等式有解，當時，關于的不等式一定有解，此時無法確定判別式是否大于零，當時，則，則關于的不等式有解不能推出，若，當時，關于的不等式一定有解，當時，關于的不等式有解，所以能推出關于的不等式有解，所以“關于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據三角函數的定義得到，再根據誘導公式求解即可.【詳解】已知角終邊經過，所以，所以.故選：D5.已知函數，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據分段函數解析式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：D6.已知，則的大小關系為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數函數與對數函數的單調性判斷．【詳解】因為，，，所以．故選：A．7.已知，則函數的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡的解析式，利用換元法，結合二次函數的性質求得最大值.【詳解】，設，則的開口向下，對稱軸，所以函數在上單調遞增，所以，也即的最大值為.故選：A8.若關于的方程恰有三個不同的實數解，，，且，其中，則的值為（）A.-6 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用換元法化簡題目所給方程，結合二次函數零點分布、對勾函數的性質等知識求得正確答案.【詳解】依題意可知，由整理得①，即關于的方程恰有三個不同的實數解，，，且，令，則或，則①轉化為，即，根據對勾函數的性質可知是方程的一個根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【點睛】對于復雜方程的跟有關的問題求解，可根據題目所給已知方程進行轉化，轉化的方向是熟悉的函數類型，即將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題來進行求解.對鉤函數是函數題目中常見的函數，對其性質要注意總結.二、多項選擇題：9.下列說法正確的有（）A.若是銳角，則是第一象限角B.C.若，則為第一或第二象限角D.若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】ABD【解析】【分析】根據象限角、弧度制、三角函數值等知識確定正確答案.【詳解】A選項，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項正確.B選項，根據弧度制的定義可知，B選項正確.C選項，當時，，但不是象限角，C選項錯誤.D選項，為第二象限角，即，所以為第一或第三象限角，D選項正確.故選：ABD10.關于函數，下列說法正確的是（）A.函數定義域為 B.函數是偶函數C.函數是周期函數 D.函數在區間上單調遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據函數的定義域、奇偶性、周期性、單調性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項錯誤.由得，所以，所以的定義域是，的定義域關于原點對稱，，所以是偶函數，B選項正確.，所以是周期函數，C選項正確.當時，恒成立，在上單調遞增，所以在區間上單調遞減，D選項正確.故選：BCD11.已知，都是定義在上的函數，其中是奇函數，為偶函數，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數B.C.為定值D.【答案】ACD【解析】【分析】可利用奇偶性定義求出兩個解析式，A項根據奇偶性定義判斷；B項可利用解析式求解；C項利用解析式計算可求解；D項分析正負情況，化簡求解.【詳解】令為得即解得，對于A.，故為偶函數對于B.，故B錯C.，故C對D.當時，，當時，，故D對故選：ACD12.已知在定義在上的奇函數，滿足，當時，，則下列說法正確的是（）A.B.C.，D.方程在的各根之和為-6【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得是以4為周期的周期函數，再由，可判斷選項A;當時,求出可判斷選項B；根據題意可得出從而可判斷性選項C；作出的示意圖，由圖象的對稱性數形結合可判斷選項D.【詳解】由在定義在上的奇函數，則由，所以，即則，即是以4為周期的周期函數.由題意，所以又，則，所以所以，故選項A正確.選項B.當時，故選項B不正確.選項C.所以當時，均為增函數，則為增函數.所以在上為增函數，又為奇函數，且所以在單調遞增，所以，由所以，所以必存在，使得，故選項C正確.選項D.因為為偶函數，根據題意先作出在上的示意圖，然后由對稱性作出在上的圖象，如圖所示.根據對稱性可知方程在的各根之和為，故選項D正確.故選：ACD三、填空題：13.化簡求值：______.【答案】##0.75【解析】【分析】根據對數的運算法則、性質，換底公式求解.【詳解】.故答案為：14.函數的最小值是______.【答案】9【解析】【分析】利用同角三角函數的平方關系，結合基本不等式求函數最小值.【詳解】由，，當，即時等號成立.所以函數的最小值是9.故答案為：9.15.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發現，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉機等都有應用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是___________.【答案】【解析】【分析】計算出一個弓形的面積，由題意可知，勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構成，利用弓形和正三角形的面積可求得結果.【詳解】由弧長公式可得，可得，所以，由和線段所圍成的弓形的面積為，而勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構成，因此，該勒洛三角形的面積為.故答案為：.16.已知函數，對任意兩個不等實數，都有，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】，則在上單調遞增，據此可得答案.【詳解】對任意兩個不等實數，由可得即，則在上單調遞增，則取任意，，有，又.則，即，對任意恒成立，注意到，則.故答案為：.四、解答題：17.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）4；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指數冪的運算性質化簡求值；（2）利用誘導公式和同角三角函數的基本關系化簡求值.【詳解】（1），，原式.（2），，.18.從①；②③，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解.已知集合__________，集合.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據對數函數，指數函數的性質或二次不等式解得，再求交集即可；（2）結合（1）得，根據題意得，進而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：選①時：，解得：，即，又因為，故，綜上：.選②時：，解得：，所以.選③時：，解得：，所以.當時，綜上，.【小問2詳解】因為，所以，由第一問可知：選①時，當時，，解得：，滿足題意；當時，要滿足，解得：，綜上：實數的取值范圍為選②③時，答案與①一致，均為實數的取值范圍為.19.已知（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）運用換元法及誘導公式即可得；（2）運用換元法及誘導公式，結合題目條件計算即可得.【小問1詳解】令，則，，則；【小問2詳解】令，有，，則，由，則，由，則，則，，故舍去，，故，即，即.20.為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；（2）現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.【答案】（1）4米，28800元（2）【解析】【分析】(1)建立函數模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據不等式的恒成立問題求參數的取值范圍.【小問1詳解】設甲工程隊的總造價為元，則.當且僅當，即時等號成立.即當左右兩側墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元.【小問2詳解】由題意可得，對任意的恒成立.即，從而恒成立，令，又在為單調增函數，故.所以.21.已知.（1）證明：；（2）若函數，當定義域為時，值域為，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過變形得，利用函數的單調性即可；（2）首先求出，則得到方程組，轉化成是上兩個大于4的根，即上有兩個大于4的根，列出不等式組，解出即可.小問1詳解】設，設，易得在上為增函數，則為增函數，而，即【小問2詳解】由題意知：,，，解得或設，，因為反比例函數在和上單調遞增，通過向左平移4個單位，再向上平移1個單位即可得到，則函數在和上單調遞增，根據復合函數單調性知在和范圍內各自單調遞減，而，且，故，因為定義域為，故，根據在上單調遞減，，是方程上兩個大于4的根，上有兩個大于4的根，則有，.22.已知函數.（1）求證：①；②函數的零點個數為奇數；（2）記函數的值域為A，若至少有兩個不同的，使得，求正數的取值范圍.【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析（2）【