初中數學銳角函數的增減項強化練習

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一、單選題

1.若0。<□/<45。，那么sin/1-cosJ的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

2.角a,夕滿足0。<。<夕<45。，下列是關于角a,夕的命題，其中垂送的是

()

A.0<sina<—B.0<tan〃<lC.cos尸<sinaD.sin4<cosa

2

銳角滿足二■,且，則的取值范圍為(

3.asina>tana<6a)

2

A.30°<a<45°B.45°<a<60°C.60°<a<90°D.30°<a<60°

4.已知sina>cosa,那么銳角a的取值范圍是（）

A.30<a<45"B.0<a<45C.45<a<60D.450<cr<90

5.當銳角A的cosA>也時，NA的值為()

2

A.小于45。B.小于30。C.大于45。D.大于60。

6.若銳角A、8滿足條件4SVAV8V90時，下列式子中正確的是（）

A.sinA>sinBB.cotB>cotAC.tanA>tanBD.cosA>cosB

7.如圖，梯子地面的夾角為NA,關于NA的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關

系，下列敘述正確的是（）

A.sinA的值越小，梯子越陡

B.COSA的值越小，梯子越陡

C.梯子的長度決定傾斜程度

D.梯子傾斜程度與ZA的函數值無關

8.若NA為銳角，且cosA=g,貝（

)

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.450<zL4<60°D.60°<ZA<90°

二、填空題

9.用不等號連接下面的式子.

(l)cos50°cos20°(2)tan18°tan21°

10.用“V”連接下列各題中的銳角a,P，Y

(1)若sina=0.123,sin「=0.8456,siny=0.5678,則a,0,丫的大小關系為_；

(2)若cosa=0.0123,cosp=0.3879,cosy=0.1024,則a,。，丫的大小關系為

11.比較大小：sin40°cos500(填“>"、"<”或"=")

12.如圖，在正方形網格中，Nl、Z2、N3的大小關系是.

13.比較大小：sin54°cos35°(填

14.比較大小：sin80°_tan50°(填“〉”或“V”).

15.比較大小：sin35°cos45。.

16.若三個銳角a,/?,y滿足sin48」=a,cos4+=4,tan4&=y,則a,/?,y由小到大的順

序為.

三、解答題

17.如圖，已知/ABC和射線BD上一點尸(點P與點B不重合)，且點尸到BA、

BC的距離為PE、PF.

(1)若NEBP=40',NFBP=20",PB=m,試比較PE、PF的大小；

(2)若/EBP=a,”FBP=B，a,B都是銳角，且a>(3.試判斷PE、PF的大小,

并給出證明.

18.如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點8與梯架之間的距離BC=4m.

(1)現在某一時刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m,滑梯最高處/

在陽光下的影長為1m,求滑梯的高AC；

(2)若規定滑梯的傾斜角(NABC)不超過30。屬于安全范圍，請通過計算說明這架

滑梯的傾斜角是否符合安全要求？

19.(1)計算：卜拉|+(《)-l-2sin45°+(病后)°

(2)先化筒，再求值：(叱24+1+1)+一二，其中a=0.

a-1aa+\

20.如圖所示，在RrAACB中，ZC=90\AC=3,BC=2,AD為中線.

(1)比較DBAD和C2DAC的大小.

(2)求sinDBAD

21.已知：如圖，AOB=90°,AO=OB,C、D是弧AB上的兩點，AOD>

ZAOC,

(1)0<sinZAOC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)銳角的正弦函數值隨角度的增大而；

(4)銳角的余弦函數值隨角度的增大而.

22.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC的三個頂點坐標分別是A(L1),

B(4,l),C(3,3).

(1)將A4?C向下平移4個單位后得到MBG，請畫出AABG；

(2)將AABC繞原點。逆時針旋轉90。后得到△aqg,請畫出△&鳥G，并直接寫

出sinNA282G的值；

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

cosJ=sin（90。-4）,再根據銳角的正弦隨角度增大而增大進行分析即可.

【詳解】

□0°<a^<45°,□450<900-ny4<900,□□ZV90°一□/.

匚cos/=sin（90。-/）,銳角的正弦隨角度增大而增大,siMVsin（90。-Z）,□sin4V

cos/,即sinJ-cosZVO.

故選B.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數的增減性，了解銳角三角函數的增減性是解題的關鍵.

2.C

【解析】

【分析】

由角a,夕滿足0。<。</<45。，確定銳角三角函數的增減性，sina隨a的增大而增大,

cos6隨夕的增大而減小，tan4隨夕的增大而增大，利用45。函數值的分點即可確定答案.

【詳解】

解：角a,夕滿足0。<。</<45。，sine隨a的增大而增大，隨夕的增大而減小，

tan4隨夕的增大而增大，

人.」5m45。=1口0〈$m。<二,選項人正確，不合題意；

22

B.匚31145。=1,口0<1211"<1,選項8正確，不合題意；

C.sin45°=?cos45°=^^?cos夕>，^,sina</■,cos^>sina,選項C不正確，

2222

符合題意；

D.sin45°=^-,cos45°=^->cosa>-^-,sinB<,sin/?<cosat,選項D正確，不

2222

符合題意.

故選擇：C.

【點睛】

本題考查銳角三角函數值的大小比較問題，掌握函數的增減性質利用45。函數值的特殊關

答案第1頁，共12頁

系是解題關鍵.

3.B

【解析】

【分析】

根據特殊角的三角函數值和正弦函數隨銳角的增大而增大、正切函數隨銳角的增大而增大

即可解答.

【詳解】

解：sina>,且sin45

22

□450<a<90°

□tana<6且tan6O=百

□0°<a<60°

□45°<a<60°.

故選：B.

【點睛】

本題考查特殊角的三角函數值、銳角三角函數的增減性，熟記特殊角的三角函數值，掌握

銳角三角函數的增減性是解答的關鍵.

4.D

【解析】

【分析】

根據當a=45。時sina=cosa和正弦函數和余弦函數的增減性即可得出答案.

【詳解】

解：口0：=45。時sina=cosa,當a是銳角時sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減

小，

□45°<a<90°.

故選D.

【點睛】

考查了銳角三角函數的增減性，當角度在0°?90。間變化時，正弦值隨著角度的增大而增

大，余弦值隨著角度的增大而減小.

5.A

答案第2頁，共12頁

【解析】

【分析】

明確cos45o=①，余弦函數隨角增大而減小進行分析.

2

【詳解】

解：根據cos45o=巫，余弦函數隨角增大而減小，則口4一定小于45。.

2

故選：A.

【點睛】

熟記特殊角的三角函數值，了解銳角三角函數的增減性是解題的關鍵.

6.D

【解析】

【分析】

根據銳角三角函數的增減性進行判斷即可.

【詳解】

□45<A<B<90\

匚’siix4<sinB，cotB<cob4,tanA<tanB,cosA>cosB.

故只有D選項正確.

故選D.

【點睛】

本題考查銳角三角函數的增減性，銳角的余弦值和余切值是隨著角度的增大而減小，銳角

的正弦值和正切值隨著角度的增大而增大.

7.B

【解析】

【分析】

根據銳角三角函數的增減性即可得到答案.

【詳解】

解：A選項，siM的值越小，□/越小，梯子越平緩，故錯誤；

B選項，co必的值越小，就越大，梯子越陡，故正確；

C選項，梯子的長度不能決定傾斜程度，故錯誤；

D選項，梯子傾斜程度與的函數值有關，故錯誤；

答案第3頁，共12頁

故選：B.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數的增減性：對于正弦和正切函數，函數值隨角度的增大而增大；

對于余弦函數，函數值隨角度的增大而減小.

8.D

【解析】

【分析】

首先根據銳角余弦函數值，隨角度的增大而減小，然后根據特殊角的三角函數值，確定:

在哪兩個特殊值之間即可.

【詳解】

解：口cos60°=!，cos90°=0,

2

32

cos900<cosA<cos600,

□60°<A<90°.

故選D.

【點睛】

本題考查了余弦函數的增減性，熟記特殊角的三角函數值，了解銳角三角函數的增減性是

解題的關鍵.

9.<<

【解析】

【分析】

根據余弦函數在0到90。之間是遞減的，正切函數在0到90。之間是遞增的解答即可.

【詳解】

當a為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，口cos50°<cos20°;

當a為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，口tanl8°<tan210.

故答案為V;<.

【點睛】

本題考查了三角函數的大小比較，熟知三角函數值的變化規律是解決問題的關鍵.

10.a<y<pp<y<a

答案第4頁，共12頁

【解析】

【分析】

(1)根據正弦值隨度數的增大函數值越來越大得出即可；

(2)根據余弦值隨度數的增大函數值越來越小得出即可.

【詳解】

解：(1)□sina=0.123,sinp=0.8456,siny=0.5678,

□sina<siny<sinp,

□a<y<p；

(2)Lcosa=0.0123,cosp=0.3879,cosy=0.1024,

□cosa<cosy<cosp,

□p<y<a.

故答案為：a<y<P；P<Y<a.

【點睛】

此題主要考查了銳角三角函數的增減性，關鍵在于知道正弦值隨角度的增大而增大，余弦

值隨角度的增大而減小.

11.=

【解析】

【分析】

直接利用銳角三角函數關系得出答案.

【詳解】

解：□cos50°=sin(90°-50°)=sin40°,

Csin40°=cos50°.

故答案為：=.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數關系，正確轉換正余弦關系是解題的關鍵.

12.Z1<Z2=Z3

【解析】

【分析】

由平行線的性質可知：LCBD=BDE,UEDF=」DFG,然后根據銳角三角形函數的定義可

答案第5頁，共12頁

:2i

知：tanOABC=-,tanUEDF=|,tanUBDE=tanJGFH=y,從而可判定出DABC<

□EDF,□BDE=DGFH.然后即可比較它們的大小.

【詳解】

解：如圖所示：

□CBD=BDE,tanABC=-

3

2

,tanDEDF=-,

□DABC<DEDF

□DABC+aCBD<nEDF+DBDE,即口1〈口2.

2

根據圖形可知：□EDF=DDFG,tanDBDE=—=,tannGFH=^-,

422

□□BDE=DGFH.

□□EDF+OBDE=DDFG+DGFH,即：D2=D3.

故答案為：Z1<Z2=Z3

【點睛】

本題主要考查的是銳角三角函數的增減性和平行線的性質，根據正切函數的增減性判定出

□ABC<DEDF,匚BDE7GFH是解題的關鍵.

13.<

【解析】

【分析】

把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可.

【詳解】

cos35°=sin(90°-35°)=sin55°.

在銳角范圍內，sina隨a的增大而增大，

□sin540<sin55°,

答案第6頁，共12頁

sin540<cos35°.

故答案為：<.

【點睛】

本題考查三角函數值的大小比較，利用正弦余弦的關系進行大小比較即可.

14.<

【解析】

【分析】

正弦函數值小于1,而tan5(T>tan45。，故tan50。〉1即可比較二者大小.

【詳解】

解：tan50°>tan450,/an450=l,

□tan50°>l,

又sin80°<l,

□sin800<tan50°；

故答案為：V.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數，正弦函數值，正切函數值，熟練掌握三角函數的性質是解題的關

鍵.

15.<

【解析】

【分析】

由cos45o=si〃45。，根據正弦在0。到90。內，函數值隨角度的增大而增大，比較角度的大小

即可.

【詳解】

□cos45o=s譏45。，正弦在0。到90。內，函數值隨角度的增大而增大，

Qsin35°<sin45°,

Qsin35°<cos45°,

故答案為：<.

【點睛】

本題考查了三角函數值的大小比較，化不同名函數為同名函數，并運用同名函數的性質是

解題的關鍵.

答案第7頁，共12頁

16./3<a<y

【解析】

【分析】

根據銳角三角函數的性質解答.

【詳解】

解：根據銳角三角函數的性質可得：

Cos48°=sin42°,sin42°〈sin48°<l,tan45°<tan48°,tan45°=l,

□cos480<sin48o<l<tan48°,

□p<a<y,

故答案為P<a<y.

【點睛】

本題考查銳角三角函數的應用，熟練掌握銳角三角函數的性質及特殊的銳角三角函數值是

解題關鍵.

17.(1)PE>PF;(2)PE>PF.

【解析】

【分析】

(1)利用三角函數的定義，根據兩個角的正弦的大小進行比較即可得到結果；

(2)運用兩個角的正弦函數，根據正弦值的變化規律進行比較.

【詳解】

PF

解：(1)在RABPE中，sinZEBP=^=sin40

BP

PF

在Rt^BPF中，sinZFBP==sin20

Xsin40°>sin20°

???PE>PF；

(2)根據⑴得

sinNEBP==sina,sinZFBP==sin￡

BPBP

又□0>尸

sincr>sin/?

???PE>PF.

答案第8頁，共12頁

【點睛】

考查了銳角的正弦值的變化規律：在銳角的范圍內，正弦值隨著角的增大而增大.

18.(1)2米;(2)符合

【解析】

【分析】

(1)利用影長物高成比例求解即可；

(2)先求出銳角三角函數值，再利用銳角三角函數值求出角的范圍即可.

【詳解】

解：(1)7=麗’

/.AC=2m,

答：滑梯高AC為2米；

(2)UAC=2m^C=4m,

□tanZABC=—=-=i<—=tan300,

BC423

□正切值隨著角的增大函數值增大，

ZABC<30°,

這架滑梯的傾斜角符合安全要求.

【點睛】

本題考查影長物高成比例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性，掌握影長物

高成比例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性是解題關鍵.

19.(1)-1；(2)—.

2

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用負整數指數累法則計

算，第三項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用零指數塞法則計算即可得到結

果；

(2)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約

分得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值.

試題解析：(1)原式=&-2-2x也式=-1；

2

答案第9頁，共12頁

(2)原式=[("]J"+'卜(〃+1)

/。―1Z

=(+—)?(a+1)

。+1a

Cl~+1

----------m+D

/+1

當"0時‘原式警考?

考點：1.分式的化簡求值,2.實數的運算,3.零指數基,4.特殊角的三角函數值

20.（1）ZBAD<ZDAC<90";（2）sinZBAD=

130

【解析】

【詳解】

試題分析：⑴、過點D做AB的垂線，垂足記為E,分別求出sinEIBAD和sinDAC的

值，然后根據三角函數進行比較大小得出答案；（2）、根據勾股定理求出AB和AD的長

度，然后根據DBAD的面積法得出DE的長度，最后求出sin口BAD的大小.

FD

試題解析：（1）過點D做AB的垂線，垂足記為E,則sin/BAD=）

AD

DC

sin/DAC=—,???ED<BD=DC,sin/BAD<sin/DAC,/./BAD<NDAC<90°.

AD

（2）由勾股定理求出AB=JI5,AD=Jid,而晞AD=、IB.D?=；

即：-^xDE3=^x>/13?,DE=-y=,...sin/BAD=

22VI3130

21.（1）見解析（2）見詳解；（3）增大；（4）減小.

【解析】

【分析】

第（1）（2）問作輔助線,分別在RtZJOEC和RtEZDFO中利用三角函數定義表示出所求三角

函數，再利用不等式的性質：不等號兩邊同時除以同一個不為零的正數時不等號仍成立即可