2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數/（x）=一'一2"+3，”4］若關于丫的方程"0=入一!恰有4個不相等的實數根，則實數4的取值范圍

Inx,x>12

是（）

2.若復數二滿足zi=l-i（i為虛數單位），則其共甄復數1的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120。，并在扇形弧上正面等距安裝7個發彩色光的小燈泡且在

背面用導線相連（弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度

為（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

，、111，,

4.已知等差數列｛4｝的公差不為零，且一，一，一構成新的等差數列，S“為｛4｝的前〃項和，若存在“使得S“=0,

d?Cl3^^4

則71=（）

A.10B.11C.12D.13

03

5.設a=k）g3（）.5,b=log020.3,c=2,則4,dc的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

6.祖眼原理：“幕勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設A、

3為兩個同高的幾何體，P：A、B的體積不相等，q：A、B在等高處的截面積不恒相等.根據祖晅原理可知，P是q

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TT

7.函數y=Asin（＜yx+e）（?y＞0,I例＜］，xGR）的部分圖象如圖所示，則函數表達式為（）

..7171

B.y=4sin(—%-—)

D.y=4sin《x+?)

8.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）.

萬元

A.收入最高值與收入最低值的比是3:1

B.結余最高的月份是7月份

C.1與2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個月的平均收入為4（）萬元

9.已知銳角a滿足2sin2a=l-cos2a,則tana=（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

10.設“、bwR*,數列｛a“｝滿足q=2,an+i=a-a^+b,〃eN*，則（）

A.對于任意都存在實數使得4＜M恒成立

B.對于任意/?,都存在實數使得＜M恒成立

C.對于任意匕e（2-4a,+8）,都存在實數使得q恒成立

D.對于任意be（0,2-4a）,都存在實數A7,使得/＜用恒成立

11.集合｛2,0,1,9｝的真子集的個數是()

A.13B.14C.15D.16

12.若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統計圖如下面的條形圖.該教師退休后加

強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫費比剛退休時少100元，則目

前該教師的月退休金為().

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2\x<l,

13.已知函數/(尤)=log>1,則/(/⑵)=——.

、2

14.已知函數/(%)=%-〃211nxi恰好有3個不同的零點，則實數〃2的取值范圍為一

y>x

15.若實數x,N滿足,x+yN6,則z=-2x+y的最小值為.

y<6

16.《九章算術》第七章“盈不足”中第一題：“今有共買物，人出八，盈三錢；人出七，不足四，問人數物價各幾何？”

借用我們現在的說法可以表述為：有幾個人合買一件物品，每人出8元，則付完錢后還多3元；若每人出7元，則還

差4元才夠付款.問他們的人數和物品價格？答：一共有人；所合買的物品價格為______元.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=(x-a)2-2xlnx,其導函數為/'(x),

⑴若a=0,求不等式/(幻>1的解集；

(2)證明：對任意的0<s<，<2,恒有⑺<1.

s-t

18.(12分)設函數/(x)=|2x+a|+|2x-3|.

(D當時,求不等式〃x)W6的解集；

(2)若不等式“X)24恒成立，求實數a的取值范圍.

19.(12分)己知等差數列｛4｝的公差d/0,q=25,且q,%,八成等比數列.

(1)求使不等式4,NO成立的最大自然數小

11312

(2)記數列------的前”項和為小求證：~—<Tn<—.

aa

,nn+i2525

20.(12分)已知數列｛q｝為公差為d的等差數列，d>Q,%=4,且％,%，。9依次成等比數列，2=2"".

(1)求數列也｝的前"項和S,；

(2)若c,=y—,求數列｛%｝的前〃項和為T”.

21.(12分)如圖，三棱臺ABC-EEG的底面是正三角形，平面ABC_L平面8CGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求證：AB±CG；

(2)若BC=CF,求直線AE與平面BEG所成角的正弦值.

x=1+cosa

22.(10分)曲線G的參數方程為<(&為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標

y=sina

系，曲線G的極坐標方程為0cos2e=4sin6.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線G的直角坐標方程；

(2)過原點且傾斜角為。(?<a<《)的射線/與曲線G，G分別交于A8兩點(異于原點)，求|。4卜|0目的取值

范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由已知可將問題轉化為：y=/(x)的圖象和直線y=丘一;有4個交點，作出圖象，由圖可得：點(1,0)必須在直線>=丘

一71的下方，即可求得：*>1-；再求得直線)=履一1；和)=/〃X相切時，k=上；結合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關于X的方程大幻=在一；恰有4個不相等的實數根，

則y=/(x)的圖象和直線》=丘一；有4個交點.作出函數y=1/(x)的圖象，如圖,

故點(1,0)在直線y=kx-1的下方.

.,.Axl-l>0,解得A>」.

22

當直線y=Ax—；和相切時，設切點橫坐標為機,

,11

,\nm+—1.r

則ntI4=2=—，??m=Ne?

m

m

此時，4='=立，八*)的圖象和直線>=履一,有3個交點，不滿足條件,

me2

故所求A的取值范圍是

故選D..

【點睛】

本題主要考查了函數與方程思想及轉化能力，還考查了導數的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題.

2.D

【解析】

由已知等式求出z,再由共枕復數的概念求得2,即可得之的虛部.

【詳解】

1—z—i(1—i).

由zi=l-i,...z=^^=./=-1,所以共扼復數2=-l+i,虛部為1

il\-l)

故選D.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算和共匏復數的基本概念，屬于基礎題.

3.B

【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.

【詳解】

因為弧長比較短的情況下分成6等分，

所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，

27r

故導線長度約為7X30=20〃=63(厘米).

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.

4.D

【解析】

利用等差數列的通項公式可得4=-64,再利用等差數列的前〃項和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構成等差數列可得

1%

J__J____1_

%%%。3

即=&=色*=3=超=%=24

aa

%生。3。4\4

又4=4+3〃=4=2(a,+3d)

解得：a}=-6d

又S“=s2?1+(H-1)^/]=|(-12J+(n-1)J)=J(n-13)

所以S“=0時，”=13.

故選：D

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、等差數列的前〃項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.

5.A

【解析】

選取中間值o和1,利用對數函數y=log3x,y=log°.2無和指數函數y=2*的單調性即可求解.

【詳解】

因為對數函數y=log3x在(0,+8)上單調遞增，

所以Iog30.5<log31=0,

因為對數函數y=log02x在(0,+“)上單調遞減，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因為指數函數y=2'在R上單調遞增，

所以2°3>2°=1,

綜上可知,a<〃<c.

故選:A

【點睛】

本題考查利用對數函數和指數函數的單調性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是

求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.

6.A

【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.

【詳解】

解：由題意，若A、3的體積不相等，則A、3在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，A、3在等高處的

截面積不恒相等，但A、B的體積可能相等，例如A是一個正放的正四面體，8一個倒放的正四面體，必要性不成立,

所以，是4的充分不必要條件，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.

7.A

【解析】

TT

根據圖像的最值求出A，由周期求出“，可得y=4sin(qx+。)，再代入特殊點求出。，化簡即得所求.

O

【詳解】

T27r7i

由圖像知A=4,彳=6—(—2)=8,T=16=—,解得口=工，

2co8

TTJI

因為函數y=4sin(wx+e)過點(2,-4),所以4sin(《x2+e)=-4,

OO

TTJTTT

sin(—x2+°)=-l,即一x2+e=---卜2k兀(kGZ),

882

37ryr

解得°=一二+2%乃(左eZ),因為|如<一,所以。,

424

..7L5乃"、,7T兀、

y=4sin(—xd---)=-4sin(—x+—).

■8484

故選：A

【點睛】

本題考查根據圖像求正弦型函數的解析式，三角函數誘導公式，屬于基礎題.

8.D

【解析】

由圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為3()萬元，其比是3:1,故A項正確；

結余最高為7月份，為8()—20=6(),故B項正確；

1至2月份的收入的變化率為4至5月份的收入的變化率相同，故C項正確；

前6個月的平均收入為'(40+60+30+30+50+60)=45萬元，故D項錯誤.

6

綜上，故選D.

9.C

【解析】

利用sin2e=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入計算即可.

【詳解】

由已知，4sin?cos<2=2sin2??因e為銳角，所以sinawO,2cosa=sina,

即tana=2.

故選：c.

【點睛】

本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.

10.D

【解析】

取。=8=1,可排除AB；由蛛網圖可得數列｛4｝的單調情況，進而得到要使只需2〈匕也三逛，由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取。=/?=1,a?+1=a；+l,數列｛4｝恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項;

因為當0＜%＜不時，數列｛““｝單調遞增，則為＜%；

當玉＜4＜%時，數列｛??）單調遞減，則玉＜??W?,；

所以要使。“＜用，只需要0＜%＜々，故2＜1+5二4也,化簡得匕＜2—4。且力＞0.

2a

故選：D.

【點睛】

本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

11.C

【解析】

根據含有〃個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子集，計算可得；

【詳解】

解：集合集,0,1,9｝含有4個元素,則集合｛2,0,1,9｝的真子集有2-1=15（個），

故選：c

【點睛】

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有〃個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子

集，屬于基礎題.

12.D

【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可.

【詳解】

設目前該教師的退休金為X元，則由題意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故選D.

【點睛】

本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

I

13.一

2

【解析】

先由解析式求得了(2),再求/(/(2)).

【詳解】

f⑵R2=T,/(-1)=2-'=1,

所以/(7(2))=/(-D=p

故答案為：—

2

【點睛】

本題考查對數、指數的運算性質，分段函數求值關鍵是“對號入座”,屬于容易題.

14.(e,+oo)

【解析】

/(x)=x-相|InxI恰好有3個不同的零點=〃?一府=0(*=1)恰有三個根，然后轉化成求函數值域即可.

【詳解】

解：/(x)=x-m|lnx|恰好有3個不同的零點=加-畫=°(XH1)恰有三個根,

-■—，%w(0,1)

令g("=扃'("力8(小扁Inx

”,xw(l,+8)

IInx

■xe(O,l),g，(x)=］盧〉()，g(x)在xe(O』)遞增

xe(1,8),g，(x)=1>0,

Inx

xe(l,e),g<x)=皆」<°，g(x)遞減，

xe(e,8),g<x)=l：11>0,g(x)遞增,

Inx

g(%n=g(e)=e

，m〉e時，/(x)在xw(O,l)有一個零點，在工€(1,小)。)有2個零點;

故答案為：〃?e(e,+8).

【點睛】

已知函數的零點個數求參數的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數的方法，中檔題.

15.-6

【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數的最小值.

【詳解】

y=6

由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由z=-2x+y,即y=2x+z,當平行線經過點A時z取到最小值，由

y=x

可得A(6,6),此時z=-2x+y=-2x6+6=-6,所以z=-2x+)，的最小值為一6.

故答案為-6.

【點睛】

本題考查了線性規劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數，結合圖形求出最值，需要掌握解

題方法.

16.753

【解析】

根據物品價格不變，可設共有x人，列出方程求解即可

【詳解】

設共有x人，

由題意知8x—3=7x+4,

解得x=7,可知商品價格為53元.

即共有7人，商品價格為53元.

【點睛】

本題主要考查了數學文化及一元一次方程的應用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){x|x>l}(2)證明見解析

【解析】

(1)求出“X)的導數，根據導函數的性質判斷函數/(x)的單調性，再利用函數單調性解函數型不等式；

(2)構造函數夕(x)=f(x)-x,利用導數判斷。(x)在區間(0,2)上單調遞減，結合0<s<，<2可得結果.

【詳解】

(1)若。=0,則/(x)=/-2xlnx,/'(x)=2x-2(l+lnx).

,2

設〃(x)=2x—2(l+lnx),則/(無)=2—一,

x

所以〃(工)在(0,1)上單調遞減，在(1,丑。)上單調遞增.

又當x—0時，%(x)f+8；當X=1時，h(x)=0；當Xf+oo時，/?(x)f+ao,

所以〃(x)NO

所以fM在(0,+/)上單調遞增，

又/(D=1,所以不等式又x)>1的解集為{x|x>1}.

(2)設g(x)=r(x),再令夕(x)=g(x)-x=x-2-21nx-2a,

0(x)在(0,2)上單調遞減，

又；0<s<t<2,

???(p(s)<(p(t),

???g(s)-gQ)>s-f，

/.s—r<0,

.g(s)-g⑺<[

s—t

/(.?)-/(r).

即BnJ__J<1

s-t

【點睛】

本題考查利用函數的導數來判斷函數的單調性，再利用函數的單調性來解決不等式問題，屬于較難題.

18.(1){x|-l<%<2}(2)(―

【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值，結合圖象，從而求得不等式/(x)<6的解集；

⑵求出函數/(X)的最小值，把問題化為/(x)min24,從而求得4的取值范圍.

【詳解】

(1)當“=1時，

—4x+2,x<—,

2

i3

則〃力二彳4,一萬<工<2,

4-x-2,x>—,

所以不等式/(X)<6的解集為｛x|-l<x<2].

(2)/(x)24等價于|2x+a|+|2x-3|",

jfff|2x+?|+|2x-3|>|?+3|,

故/(x)24等價于|a+3]N4,

所以。+324或。+3W-4,

即。21或a4-7,

所以實數a的取值范圍為(-8,一刀U[l,”).

【點睛】

本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏

輯推理能力、運算求解能力，難度一般.

19.(1)n=13；(2)證明見解析

【解析】

(1)根據囚，為，《3成等比數列，有結合公差"HO，q=25,求得通項，再解不等式4,20.

111(11、

⑵根據⑴^；=(-2〃+27)(一2〃+25)=一5^^一^^｝用裂項相消法求和'然后研究其單調

性即可.

【詳解】

(1)由題意，可知a：=q?q3,

即(4+10d)~=4?(4+12d),

工d(2q+254)=0.

又4=25,dwO,:?d=—2,

/?an=-2/1+27.

A-2n+27>0,

:.n<13.5,

故滿足題意的最大自然數為〃=13.

111(11)

anan+{(-2〃+27)(-2“+25)2(-2〃+27-2n+25)

?|?2〃2a3?3?4

懸一^MT+志

從而當時，北=一'-+—'—單調遞增，且1,>0，

5050-4n

當〃213時，7；,=-—+—1—單調遞增，且北<0,

5()50-4n

所以九幾，

1213

由工2=一，==-，知不等式成立?

2525

【點睛】

本題主要考查等差數列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

20.(1)5“=2e-2(2)-——'—

“22,,+2-2

【解析】

(1)利用等差數列的通項公式以及等比中項求出公差d=l,從而求出a=2""=2",再利用等比數列的前“項和公

式即可求解.

（2）由（1）求出c,,再利用裂項求和法即可求解.

【詳解】

（1）4=4,且外,。3，依次成等比數列，

即：（4—d『=（4—3d）（4+5d）,vJ>0,:.d=\,

■'a”=〃，：.b“=2a"-2",

20-2")

向S,

SjSz%SS?-S?+1S?

---------1-----------------FLH--------

s.S,

【點睛】

本題考查了等差數列、等比數列的通項公式、等比數列的前“項和公式、裂項求和法，需熟記公式，屬于基礎題.

21.（I）見證明；（H）如

【解析】

（I）取8C的中點為O,連結。尸，易證四邊形C0FG為平行四邊形，即CG///*,由于=D為BC的

中點,可得到DFA.BC,從而得到CGA.BC,即可證明CG，平面ABC,從而得到CG_LAB；（II）易證。8,DF,

D4兩兩垂直，以。8,DF,D4分別為x,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。一肛z,求出平面BEG的

一個法向量為萬=（x,〉,z）,設AE與平面BEG所成角為,即可得到答案.

【詳解】

解：（I）取8c的中點為。，連結。尸.

由ABC-EFG是三棱臺得，平面ABC//平面EFG,從而3C//FG.

,:CB=2GF,：.CDgF,

...四邊形CDFG為平行四邊形，...CG//DF.

,:BF=CF,。為8c的中點，

ADF1BC,：.CG±BC.

?平面平面BCGE,