使用時間：姓名：小組：評價等級：高一數學導學案編制人：審核人：高一數學競賽輔導六（向量應用）求解平面向量中的數量積問題，主要有這樣幾種方法：利用向量線性運算，施行向量的轉化；建立坐標系轉化為代數問題；利用向量數量積的幾何意義解決數量積的求解問題。公式法：（極化法）例1（1）已知平面向量，滿足|+|=3,|-|=1,則=_____.（2）已知平面向量，，滿足||=1,=1,=2,則|-|的最小值為______.（3）已知平面向量與不共線，若對任意的實數t，都有|t+(1-t)|≥||，則()A.⊥B.⊥(-)C.⊥(-)D.⊥(+)變式1已知兩個向量，的夾角為30°，，為單位向量，,則的最小值為．若=0，則=.變式2變式3[14浙江文9]設θ為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數t，|＋t|的最小值為1，則（）A．若θ確定，則||唯一確定 B．若θ確定，則||唯一確定C．若||確定，則θ唯一確定 D．若||確定，則θ唯一確定變式4[競賽題]已知，若對任意，，則一定為（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.答案不確定例2已知平面向量,滿足||=1,||=2,且=1,若(-)(-)=0,則|c|的取值范圍為變式一：已知平面向量,滿足||=1,||=2,且=1,若(-)(-)=,則|滿足||=1,||=2,且=1|的最大值為______.變式二：已知平面向量,滿足|滿足||=1,||=2,且=1，,則對任一平面向量，(-)(-)的取值范圍是________變式三：已知平面向量,滿足|滿足||=1,||=2,且=1，,若(-)(-)=,記=<-,->，則cos的最小值為_____.變式四：已知平面向量,滿足|滿足||=1,||=2,且=1，若<-,->=,則||的最大值為_______.例3在中，M是BC的中點，AM=3，BC=10,則變式：設,是邊AB上一定點，滿足,且對于邊AB上任一點P，恒有，則（）Ａ．Ｂ．Ｃ．AB＝ACＤ．AC=BC例4已知平面向量a,b滿足||=1,||=2,且=1,若單位向量e=+(≥0),則的最大值為_____.變式1四邊形OABC是邊長為1的正方形，點D在OA的延長線上，OD=3，點P為BOD內（含邊界）的動點，，則的最大值為變式2【2013高考】設為單位向量，非零向量。若的夾角為，則的最大值等于。變式3在中，．若點在的角平分線上，滿足，且，則的取值范圍是．OACB變式4.如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個動點，且，若存在最大值，則的取值范圍為（）OACBA．B．C．D．變式5（2016年浙江高考）已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若對任意單位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜,則a·b的最大值是．例5【求面積比問題】設D為ABC邊AB上一點，P為ABC內一點，且滿足則2、設O點在ABC的內部，且有則4、[2014省賽]若平面上四點A,B,C,D，滿足任意三點不共線，且,則訓練題：1、[14浙江理7]設，為平面向量，則（）A．min{|＋|，|－|}≤min{||，||}B．min{|＋|，|－|}≥min{||，||}C．max{|＋|2，|－|2}≤||2＋||2D．max{|＋|2，|－|2}≥||2＋||2

2、已知，是平面只兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是。3、如圖所示，為△ABC部一點，且滿足，，且，則的面積為（）A．B．C．D．4、向量滿足，，則的最小值為（）B．C．D．5、已知非零向量滿足，，則的最小值是，最大值是6．已知O是內一點，，且，若，則=________；的值是________.7、設點是的重心，若，，則的最小值是8\中，,上的高，,則.11.設，，，且，則在上的投影的取值范圍是.12、已知向量的夾角為，，向量，的夾角為，，則與的夾角為__________，的最大值為．（15年省賽16題改編）必修4第二章第1課時向量概念及物理意義【學習目標】1.了解向量的實際背景，理解向量的概念.2.理解零向量、單位向量、共線向量、相等向量等概念。【教學重點】向量、零向量、單位向量、平行向量的概念.【教學難點】向量及相關概念的理解，零向量、單位向量、平行向量的判斷【教材助讀】1.我們把____________的量叫做向量；把____________的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作____，線段AB的長度叫做有向線段的長度，記作_____，有向線段包括三要素__、____、___；向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量。2.向量可以用有向線段表示，向量的長度（或稱____）記作_____，長度為零的向量叫做____向量，記作，長度等于1個單位的向量，叫做__向量；3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量與平行，記作______，規定與任一向量平行，即對任意向量都有___；4._______的向量叫做相等向量；若與相等，記作__；5.由于任一組平行向量可以移動到同一直線上，平行向量也叫_______向量【預習自測】1.下列各量中不是向量的是（）（考察向量的概念）A.浮力B.風速C.位移D.密度E.溫度F.體積2.下列說法中錯誤的是（）（A）零向量是沒有方向的；（B）零向量的長度為0；(C)零向量與任一向量平行；(D)零向量的方向是任意的。3.給出下列命題：eq\o\ac(○,1)向量和向量的長度相等；eq\o\ac(○,2)方向不相同的兩個向量一定不平行；eq\o\ac(○,3)向量就是有向線段；eq\o\ac(○,4)向量=0；eq\o\ac(○,5)向量大于向量。其中正確的個數是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【我的疑惑】【學始于疑】探究一：判斷下列命題是否正確：（1）若//，則與的方向相同或相反；（2）與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；（3）||=||，，不一定平行；若，||不一定等于||；（4）共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。（5）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量．（6）若與平行同向,且＞，則＞探究二：給出下列六個命題：eq\o\ac(○,1)兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；eq\o\ac(○,2)若||=||，則=；eq\o\ac(○,3)若=，則四邊形ABCD是平行四邊形；eq\o\ac(○,4)平行四邊形ABCD中，一定有=；eq\o\ac(○,5)若，，則；其中不正確的是命題個數是（）（A）2（B）3（C）4（D）5探究三：如右圖，D、E、F分別是△ABC的三邊AB、BC、AC的中點，寫出與相等的向量．【能力拓展】1．單位向量是否唯一？有多少個單位向量？若將所有單位向量的起點歸結在同一起點，則其終點構成的圖形是什么？2．溫度有零上零下之分，“溫度”是否為向量？3．關于零向量，下列說法中正確的有（1）零向量是沒有方向的。（2）零向量的長度是0（3）零向量與任一向量平行（4）零向量的方向是任意的。4．若，,則嗎？【我的小結】零向量是，共線（平行）向量是單位向量是，相等向量是必修4第二章第2課時向量加法及幾何意義【學習目標】掌握向量的加法運算并能進行化簡，同時理解其幾何意義。【教學重點】會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.【教學難點】三角形不等式【教材助讀】1，回答以下問題:（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：+=（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和：+=（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移+=2、兩個加法法則：已知非零向量和，做出（1）三角形法則：（2）平行四邊形法則aaｂ向量的加法其實是一種圖形運算：把兩個向量首尾相接，把一個向量的為起點，另一個向量的為終點所得到的向量叫做這兩個向量的，記為。3.規定：對于零向量與任一向量，都有4.加法交換律和加法結合律（1）向量加法的交換律：（2）向量加法的結合律：(+)+=【預習自測】1.化簡：（1）(2)2．已知在平行四邊形ABCD中,【我的疑惑】【學始于疑】探究一：梯形ABCD，AD//BC,O為對角線交點，則++=探究二：已知平行四邊形ABCD中，，試用表示探究三：在矩形ABCD中，，則向量的長度等于探究四：一艘船從點出發以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，求船實際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。探究五：在四邊形ABCD中，，則此四邊形肯定為形。【能力拓展】1.用>,<,=符號填空：當向量與不共線時，+、、的方向不同向，則|+|___||+||;當與同向時，則+、、同向，則|+|___||+||;當與反向時，若||>||,則+的方向與相同，則|+|___||-||;若||<||,則+的方向與相同，則|+|___||-||.一般地︱+︱≤︱︱+︱︱2．是否一定成立？？【我的小結】1、已知非零向量，在平面內任取一點A，作，則向量_____叫做與的和，記作____，即=_____=_____這個法則就叫做向量求和的三角形法則。2、向量加法的平行四邊形法則：以同一點O為起點的兩個已知向量，（）為鄰邊作四邊形OACB，則以O為起點對角線___________，就是與的和。這個法則就叫做兩個向量求和的平行四邊形法則。必修4第二章第3課時向量減法及幾何意義【學習目標】掌握向量的減法運算并能進行化簡、理解幾何意義，培養運用數形結合的思想解決問題的能力。【教學重點】會用向量減法的三角形法則作兩個向量的差向量.【教學難點】三角形不等式【教材助讀】1.相反向量的定義：________________________規定：零向量的相反向量是____向量,任一向量與它的相反向量的和是______向量。＋(－)=0.2、兩個減法法則：已知非零向量和，做出三角形法則：3.向量的減法其實是一種圖形運算：把兩個向量起點重合，把一個向量的為起點，另一個向量的為終點所得到的向量叫做這兩個向量的，記為。如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是____，差向量方向指向一般地，對于任意三點O，A，B，=—4.若，怎樣作出？向量可以看成是嗎？【預習自測】1．化簡:(1)(2)(3)(4)=__________2．平行四邊形中，，，用，表示向量、【我的疑惑】【學始于疑】探究一：已知正方形，，，，求作向量：（1）（2）探究二：如圖，已知平行四邊形的對角線，交于點，若，，，求證．【能力拓展】1．已知向量，的模分別是3，4，求的取值范圍2.討論：與、與有何關系？對任意向量，都有嗎？3．化簡-++的結果等于4若a、b共線且|a+b|＜|a-b|成立,則a與b的關系為．【我的小結】若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab或者：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法向量減法是加法的逆運算一般地，對于任意三點O，A，B，=必修4第二章第4課時向量數乘運算【學習目標】1.理解向量的數乘運算及其幾何意義，會進行向量的數乘運算.2.通過自主學習、合作討論探究出向量數乘運算的規律與方法.【教學重點】數乘向量的定義與共線向量定理【教學難點】三點共線的條件【教材助讀】向量的數乘定義：一般地，它的長度和方向規定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向與的方向；當時，λ的方向與的方向；當時，，方向是。2、向量的數乘運算律：（1）（）=（2）（+）=（3）（+）=（4）（1±2）=3、定理：向量與共線，當且僅當【預習自測】1．任畫一向量,分別求作向量=2，=—32．點p在線段AB上，且=,則=,=3．計算：0=06=3（—4）=4．利用向量的數乘運算律變形：7+7=5(—)=(—3)(+)=5．化簡（1）7(+)—3(—)+2（2）(5—2+3)—2(+3—)（3）(—2)(4+—3)—4(—+2—5)【我的疑惑】【學始于疑】探究一：已知、是兩個不共線的向量，若、、，求證：、、三點在一條直線上。探究二：求證：M是線段AB的中點，對于任意一點O，都有探究三：判斷下列各小題中的向量與向量是否共線？（1）=2,=—8（2）=—，=2—2探究四：在ABCD中，設對角線=，=試用,表示與【能力拓展】（1）確定與共線的單位向量（2）含義是什么？2．已知四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F，求證＝(+).3.設，是兩個不共線向量，則與共線的條件是什么？4．求證：A，B，C三點共線存在使=存在【我的小結】1．向量的模是方向2．兩個向量共線的條件：向量與非零向量共線的條件是有且僅有一個實數，使得3．M是AB的中點必修4第二章第5課時平面向量的基本定理【學習目標】1.掌握平面向量基本定理的內容.2.理解基底及夾角的概念，并能運用基底表示平面內任一向量.【教學重點】平面向量基本定理，【教學難點】利用平面向量基本定理，將任意向量用基向量表示【教材助讀】1、平面向量的基本定理：2、向量的夾角：3.當時，向量與向量同向，當時，向量與向量反向，當時，.【預習自測】1．若非零向量滿足，求與所成角的大小2．如圖,平行四邊行ABCD的對角線AC和BD交于點M,,.,試用基底,表示,,和.3．在正六邊形ABCDEF中，=,=用,表示向量、、、、、.4．確定下列各圖中向量與向量的夾角的大小：【我的疑惑】【學始于疑】探究一：設,是平面內的一組基底，如果=,=,OACB=OACB探究二如圖，已知不共線，點C滿足，試以為基底表示.探究三：已知梯形中，，，分別是、的中點，若，，用，表示、、．探究四：設兩非零向量，不共線，且，求實數k的值。【能力拓展】1.設,是兩個不共線向量，已知=2+k,=+3,=2-,若三點A,B,D共線，求k的值2．點C在線段AB上，且，則3.三角形ABC中，D是AB邊的中點，E是AC邊靠近A的三點分點，，，CD，BE相交于P，試用。【我的小結】平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使得必修4第二章第6課時平面向量的坐標表示與運算【學習目標】1、掌握平面向量的坐標表示方法。2、理解、記憶平面向量坐標表示的加法、減法及數乘公式。【教學重點】掌握平面向量坐標的加法、減法、數乘運算及其應用。【教學難點】理解平面向量的正交分解及坐標比表示方法的理解。【教材助讀】1、什么叫向量的正交分解？2、向量的坐標表示：（1）在直角坐標系中，分別取與軸、軸同方向的單位向量、，則對于平面內任意向量，有且只有一對實數、使得=，這樣，平面內的任一向量都可以由實數、唯一確定。我們把有序實數對叫做記作=其中叫做在的坐標，叫做的坐標。（2）在平面直角坐標系中，若設，則向量的坐標就是終點A的坐標，反過來，終點A的坐標就是向量的坐標。因此，在平面直角坐標系中，每一個向量都可以用一有序實數對唯一表示，即每一個向量與其坐標之間具有的關系。（3）平面向量坐標表示的加法、減法及數乘公式：，，，【預習自測】1、分別用坐標表示出下列平面向量：=，=，=2、寫出如圖所示的向量,,,的坐標.3、已知A、B兩點的坐標，求向量及的坐標：（1）(2)(3)4、已知，求，及的坐標.【我的疑惑】【學始于疑】探究一：已知表示向量的有向線段始點A的坐標，求它的終點B的坐標.（1）；（2）；（3）探究二：已知A,,，，若,求的值.探究三：已知平行四邊形ABCD中,,求點C的坐標.探究四：設則=_________________【能力拓展】1．已知點A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),試判斷AB與CD的位置關系2．已知求坐標3．已知點A（2，2）B（-2，2）C（4，6）D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）在平面直角坐標系中，分別作出向量并求向量的坐標。【我的小結】1．，為一實數，=____。=______=_______2．若已知,，則=_____________=___________________即一個向量的坐標等于此向量的有向線段的________________________。必修4第二章第7課時平面向量共線的坐標表示【學習目標】1.理解向量共線的概念，并會應用坐標表示向量共線。2.通過自主學習、合作討論、探究出向量共線的坐標條件、等分點坐標及應用。【教學重點】平面向量共線的坐標表示及其應用。【教學難點】向量關系與坐標關系的轉化【教材助讀】1、兩向量平行（共線）的條件：若則存在唯一實數使，反之，存在唯一實數使，則2、設，則與共線的充要條件為3、設，則線段AB的中點坐標為，兩個三等分點坐標為，【預習自測】1、設若則實數p=q=2、已知則P點的坐標為3、已知和向量若，則點B的坐標為4、如果共線且方向相反，則k=5、矩形ABCD中，兩條對角線交點在x軸上，則C點坐標為，D點坐標為。6、已知，重心為則x,y的值分為【我的疑惑】【學始于疑】探究一：求證：設線段AB兩端點的坐標分別為，，則其中點M（x,y）的坐標公式是：探究二：當P是線段P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的三點分點時，求P點的坐標。探究三：已知求適合下列條件的點P的坐標：（1）點P在線段上；（2）點P在線段延長線上；【能力拓展】1、中，直線PQ平行于BC分別交AB，AC于P，Q兩點且三角形APQ與四邊形BCQP的面積的比為4比5。求P，Q坐標。2、P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，P（x,y）,,試確定P點的坐標。3、三個頂點分別為A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),求的重心G的坐標。4、三個頂點分別為的平分線交BC于D，求D點的坐標及之值。【我的小結】設，則與共線的充要條件為必修4第二章第8課時平面向量的數量積【學習目標】理解平面向量數量積的概念，并會應用平面向量數量積。【教學重點】平面向量數量積的定義。【教學難點】一個向量在另一個向量上的投影的概念【教材助讀】1、數量積=，其中θ是，θ的范圍。2、數量積的幾何意義：。3、4、5、6、【預習自測】1、判斷正誤，并簡要說明理由:①·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤對任意向量，，都有（·）＝（·）；⑥與是兩個單位向量，則２＝２.2、已知｜｜＝３，｜｜＝３，在下列條件下分別求·.①與的夾角是60°②⊥③∥3、已知a,b,c分別為△ABC的三邊BC，AC，AB.，，求·.4、已知，｜｜＝３，｜｜＝4，求向量在方向上的投影，并求在方向上的投影。【我的疑惑】【學始于疑】探究一：若，且，求的值探究二：平面上三個向量、、的模均為1，他們之間的夾角均為120°，求證：探究三：已知||=6,||=4,與的夾角為60°，求(+2)·(—3)探究四：已知||=2,||=3,與的夾角為120°，求【能力拓展】1、已知||=4,||=3，，求與的夾角。2、已知||=5,||=4,與的夾角為60°，求k為何值時，向量與垂直。3、已知正方形ABCD的邊長為1，設，，，求的模。4、向量夾角為600，的值。【我的小結】1．數量積=，其中θ是，θ的范圍2．在上的投影為，在上的投影為必修4第二章第9課時平面向量數量積的坐標表示【學習目標】通過自主學習、合作討論、探究出平面向量數量積的坐標表示及其應用。【教學重點】向量垂直的坐標表示，夾角公式。【教學難點】向量垂直的坐標表示，夾角公式。【教材助讀】1、設，，則=2、設，則或3、設，，則 4、兩向量夾角的余弦（），cos==【預習自測】1、.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影2、=(2,3),=(—2,4),求(+)·(—);3、已知=(4,3),向量是單位向量，求4、已知＝（１，），＝（＋１，－１），則與的夾角是多少?5、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且=,=,則與的夾角6、平面上三點不共線，設,則的面積等于【我的疑惑】【學始于疑】探究一：已知=(λ，２)，=(-3,5)且與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍探究二：已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求證：△ABC是直角三角形.探究三：知＝（3，4），＝（4，3），若(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.求x,y探究四：已知判斷與是否共線？【能力拓展】1、給定兩個向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(—),求x2、設向量滿足及求夾角的大小及的值。3、已知，，，且，求實數的值。4、已知向量滿足求【我的小結】1、設，，則=2、=3、設，，則必修4第二章第10課時平面幾何中的向量方法【學習目標】1．掌握平面向量研究幾何圖形中的部分性質，求線段長度及垂直與平行的證明2．通過自主學習，合作討論，研究出平面向量在幾何中的運用【教學重點】平面向量在幾何形中的運用。【教學難點】平面向量在幾何形中的運用。【教材助讀】1．向量的模：向量的數量積公式：2．設，，則3．兩向量夾角的余弦（），cos==4．平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”：1），2），3）。【預習自測】1、四邊形ABCD中，若，四邊行ABCD是（）A．平行四邊行B梯形C．菱形D矩形2、動點P在A、B、C三點確定的平面內，O為平面內一定點，且滿足（—）（—=0，則P點的軌跡一定過ABC的（）A．外心B內心C．重心D垂心3、．在四邊形ABCD中，若，則（）A．ABCD是矩形B.ABCD是菱形C．ABCD是正方形D.ABCD是平行四邊形4．已知三點A（1，2），B（4，1），C（0，-1）則△ABC的形狀為（）A、正三角形B、鈍角三角形C、等腰直角三角形D、等腰銳角三角形5．已知A、B、C為三個不共線的點，P為△ABC所在平面內一點，若，則點P與△ABC的位置關系是（）A、點P在△ABC內部B、點P在△ABC外部C、點P在直線AB上D、點P在AC邊上【我的疑惑】【學始于疑】探究一：用向量的方法證明：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊