熱點(九)球1．(正方體外接球)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為()A．4eq\r(3)πB．8eq\r(3)πC．12eq\r(3)πD．6eq\r(3)π2．(四棱柱外接球體積)已知底面邊長為1，側棱長為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為()A．eq\f(32π,3)B．4πC．2πD．eq\f(4π,3)3．[2023·山西臨汾摸底](三棱柱外接球)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E為AB1上任意一點，BC1⊥CE，則三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為()A．3eq\r(3)πB．3πC．2eq\r(2)πD．2π4．(球與三視圖)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．eq\f(16π,3)B．4πC．3D．以上都不對5.(球體＋體積)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，現將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A．eq\f(500π,3)cm3B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3D．eq\f(2048π,3)cm36．(三視圖＋球)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球的表面積為()A．eq\f(32\r(3)π,3)B．32πC．36πD．48π7．(圓錐＋外接球的表面積)已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(4,9)C．eq\f(2\r(6),9)D．eq\f(8,27)8．(三棱錐外接球＋最值)在三棱錐P-ABC中，AB＝2，AC⊥BC，若該三棱錐的體積為eq\f(2,3)，則其外接球表面積的最小值為()A．5πB．eq\f(49π,22)C．eq\f(64π,9)D．eq\f(25π,4)9．[2023·四川南充市高三模擬]在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，若∠A＝60°，BC＝eq\r(3)，PA＝2，則此三棱錐的外接球的體積為()A．8πB．4eq\r(3)πC．eq\f(4\r(2),3)πD．eq\f(8\r(2),3)π10．(三棱錐＋球)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別為AB，A1B1的中點，則三棱錐F-ECD的外接球的體積為()A．eq\f(41,4)πB．eq\f(4,3)πC．eq\f(41\r(41),64)πD．eq\f(41\r(41),48)π11．(正方體內切球＋體積)設球O是正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，若平面ACD1截球O所得的截面面積為6π，則球O的半徑為()A．eq\f(3,2)B．3C．eq\f(\r(3),2)D．eq\r(3)12．[2023·鄭州市第二次質量預測](三棱錐外接球＋表面積)已知三棱錐P-ABC的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點，且AD＝5DB.過點D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為()A．128πB．132πC．144πD．156π[答題區]題號123456789101112答案13.[2023·昆明市“三診一模”教學質量檢測](三棱臺外接球＋表面積)由正三棱錐P-ABC截得的三棱臺ABC-A1B1C1的高為eq\r(3)，AB＝6，A1B1＝3.若三棱臺ABC-A1B1C1的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為________．14．(三棱柱＋外接球＋內切球)已知底面邊長為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點均在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個面都相切，則球O1與球O2的半徑之比為________，表面積之比為________．15．(四面體外接球＋半徑)在四面體ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，則當四面體的體積最大時，它的外接球半徑R＝________．16．(三棱錐＋外接球＋最值)在三棱錐A-BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜邊BD上的高為1，三棱錐A-BCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐A-BCD體積的最大值為________．

熱點（九）球1．A由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對角線為其外接球的直徑，所以其外接球的半徑R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，則外接球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.故選A.2．D因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋（\r(2)）2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故選D.3．B因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以CC1⊥AC.因為E為AB1上任意一點，BC1⊥CE，所以BC1⊥AC.又CC1∩BC1＝C1，所以AC⊥平面BB1C1C.又AC＝BC＝1，所以直三棱柱的底面為等腰直角三角形．又AA1＝1，故可構造一個正方體，即把直三棱柱ABC-A1B1C1放入正方體中，則三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半徑R＝eq\f(1,2)×eq\r(12＋12＋12)＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝3π.故選B.4．A由題意可知該幾何體是軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為eq\r(3)，∴外接球的半徑r＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴外接球的表面積為4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,3)π，故選A.5．A設球半徑為Rcm，根據已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為（R－2）cm，所以由42＋（R－2）2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3，故選A.6．D由三視圖可知該四面體為PBCD，如圖，將它補成棱長為4的正方體，則正方體的體對角線PC就是該四面體的外接球的直徑，所以外接球的直徑2R＝eq\r(3×42)，所以R＝2eq\r(3)，則該四面體的外接球的表面積為4πR2＝4×π×（2eq\r(3)）2＝48π，故選D.7．B設圓錐底面圓的半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內切圓，如圖所示，所以r＝eq\f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)R))eq\s\up12(2)＝eq\f(4π,3)R2，S圓錐＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球與圓錐的表面積之比eq\f(S球,S圓錐)＝eq\f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq\f(4,9)，故選B.8．D如圖，由于AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心O1是AB的中點，因此三棱錐P-ABC外接球的球心O在過O1且與底面ABC垂直的直線上，設AC＝b，BC＝a，三棱錐的高為h，則有eq\f(1,3)·eq\f(1,2)abh＝eq\f(2,3)，所以abh＝4.設過點P且與底面ABC平行的平面為α，直線OO1與平面α交于點M，連接PM，設外接球半徑為R，OO1＝x，連接OA，OP，求外接球表面積的最小值時，球心O應在底面ABC的上方，O1A＝O1B＝1，所以OA2＝OP2＝R2＝1＋x2＝（h－x）2＋PM2，因此x＝eq\f(h2＋PM2－1,2h).要使R最小，應使x最小，因此PM應最小．當P與M重合時，PM＝0，此時x＝eq\f(h2－1,2h)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h－\f(1,h)))，易知y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))在（0，＋∞）上單調遞增．由于abh＝4，所以h＝eq\f(4,ab)，因為a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，于是h＝eq\f(4,ab)≥2，因此x的最小值為eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)，R2的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(25,16)，所以外接球的表面積的最小值為4π·eq\f(25,16)＝eq\f(25π,4).故選D.9．D設△ABC的外接圓半徑為r，三棱錐的外接球半徑為R，由題意，根據正弦定理可得2r＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2，所以r＝1，記外接球的球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，根據球的性質，可得OO1⊥平面ABC，則因為PA⊥平面ABC，所以OO1∥PA；又OA＝OP＝R，所以OO1＝eq\f(1,2)PA＝1，因此R＝eq\r(r2＋OO12)＝eq\r(2)，所以此三棱錐的外接球的體積為eq\f(4π,3)R3＝eq\f(8\r(2),3)π.故選D.10．D如圖所示，連接FC1，FD1.三棱錐F-ECD的外接球為三棱柱FC1D1-ECD的外接球．在三角形ECD中，取CD的中點H，連接EH，則EH垂直平分CD，所以△ECD的外心在EH上，設△ECD的外心為點M.同理可得△FC1D1的外心N.連接MN，則三棱柱外接球的球心為MN的中點，設為點O.連接CM，易得EM2＝CM2＝CH2＋MH2.又MH＝2－EM，CH＝1，所以EM＝CM＝eq\f(5,4)，連接OC，則OC2＝MO2＋CM2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(2)，解得OC＝eq\f(\r(41),4)，即三棱錐F-ECD的外接球的半徑R＝eq\f(\r(41),4).所以三棱錐F-ECD的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(41),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(41\r(41),48)π.故選D.11．B如圖，易知直線B1D過球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨設垂足為點M，正方體棱長為a，則球半徑R＝eq\f(a,2)，易知DM＝eq\f(1,3)DB1，所以OM＝eq\f(1,6)DB1＝eq\f(\r(3),6)a，所以截面圓半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)－OM2)＝eq\f(\r(6),6)a，由截面圓面積S＝πr2＝6π，得r＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\r(6)，即a＝6，所以球O的半徑R＝eq\f(a,2)＝3，故選B.12．B因為AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10，設平面ABC截球O所得的截面圓的圓心為O′，則O′為BC的中點，如圖，連接O′A，O′D，則O′A＝O′B＝O′C＝eq\f(1,2)BC＝5，連接OA，OD，OO′，則OO′⊥平面ABC，取AB的中點E，連接O′E，則O′E⊥AB且O′E＝4，又AD＝5BD，AB＝6，所以BD＝eq\f(1,6)AB＝1，DE＝BE－BD＝eq\f(1,2)AB－BD＝3－1＝2，在Rt△O′DE中，O′D＝eq\r(O′E2＋DE2)＝2eq\r(5)，設OO′＝x，則OD2＝O′D2＋OO′2＝20＋x2，設球O的半徑為R，則R2＝OA2＝O′A2＋x2＝25＋x2，又與OD垂直的截面圓的半徑r＝eq\r(R2－OD2)＝eq\r(25＋x2－（20＋x2）)＝eq\r(5)，所以所得截面圓面積的最小值為πr2＝5π，截面圓的面積的最大值為πR2，由題意可知πR2－πr2＝πR2－5π＝28π，解得R2＝33，所以球O的表面積S＝4πR2＝132π.故選B.13．答案：60π解析：如圖，易知三棱臺的上、下底面均是正三角形，球心在三棱臺上、下底面中心的連線段O1O2所在的直線上，因為AB＝6，A1B1＝3，所以AO1＝2eq\r(3)，A1O2＝eq\r(3).在Rt△OAO1和Rt△OA1O2中，球的半徑R＝OA＝eq\r(AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，R＝OA1＝eq\r(A1Oeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，驗證知O在O2O1的延長線上，設OO1＝x，則OO2＝x＋eq\r(3)，所以x2＋（2eq\r(3)）2＝（x＋eq\r(3)）2＋（eq\r(3)）2，解得x＝eq\r(3)，所以R＝OA＝eq\r(AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(15)，所以S球＝4πR2＝60π.14．答案：eq\r(5)∶15∶1解析：設球O1、球O2的半徑分別為R，r，由于正三棱柱的六個頂點均在同一個球面上，所以球心O1在上、下底面中心連線段的中點處，又球O2與正三棱柱的5個面都相切，所以點O2與O1重合．如圖，取上、下底面的中心分別為F，E，BC的中點為D，EF的中點為O1，連接EF，AD，O1A，則E在AD上，O1A＝R，O1E＝r，在△O1EA中，AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，O1E＝r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，由于O1A2＝O1E2＋AE2，所以R2＝eq\f(5,12)a2，r2＝eq\f(1,12)a2，則球O1與球O2的半徑之比為eq\r(5)∶1，所以球O1與球O2的表面積之比為eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝eq\f(\f(5,12)a2,\f(1,12)a2)＝5∶1.15．答案：eq\f(\r(15),6)解析：當平面ADC與平面BCD垂直時，四面體ABCD的體積最大，因為AD＝AC＝1，所以可設等腰三角形ACD的底邊CD＝2x，高為h，則x2＋h2＝1，此時四面體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2x×h2＝eq\f(1,3)x（1－x2