上海市理工大附中2024屆高三元月月考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．2．已知函數f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．43．已知是定義在上的奇函數，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．4．已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．6．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．637．在中，，則=（）A． B．C． D．8．設直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．19．在平面直角坐標系中，經過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．函數的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．14．已知在等差數列中，，，前n項和為，則________.15．已知橢圓，，若橢圓上存在點使得為等邊三角形（為原點），則橢圓的離心率為_________．16．曲線在點處的切線方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標；（2）設P是橢圓上的動點，求面積的最大值.18．（12分）已知函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數x的取值范圍．19．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數f(x)的最大值m；（2）正數a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：20．（12分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）設，且當時，不等式有解，求實數的取值范圍．21．（12分）某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規定問卷得分不低于70分的市民稱為“環保關注者”，請完成答題卡中的列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環保關注者”與性別有關？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環保達人”．視頻率為概率．①在我市所有“環保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環保達人”又有女“環保達人”的概率；②為了鼓勵市民關注環保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現某市民要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分析函數的奇偶性，以及該函數在區間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【題目詳解】令，可得，即函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，則函數為奇函數，排除C、D選項；當時，，，則，排除B選項.故選：A.【題目點撥】本題考查利用函數解析式選擇函數圖象，一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、C【解題分析】

根據對稱性即可求出答案．【題目詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【題目點撥】本題主要考查函數的對稱性的應用，屬于中檔題．3、B【解題分析】

利用函數奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【題目詳解】為定義在上的奇函數，.當時，，，為奇函數，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【題目點撥】本題考查函數奇偶性的應用，涉及到利用函數奇偶性求解對稱區間的解析式；易錯點是忽略奇函數在處有意義時，的情況.4、B【解題分析】

根據所給函數解析式，畫出函數圖像.結合圖像，分段討論函數的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結合即可求得的范圍；對于當時，結合導函數，結合導數的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【題目詳解】根據題意，畫出函數圖像如下圖所示：函數的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【題目點撥】本題考查了函數圖像的畫法，函數零點定義及應用，根據零點個數求參數的取值范圍，導數的幾何意義應用，屬于中檔題.5、B【解題分析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【題目詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．6、B【解題分析】

根據程序框圖中的循環結構的運算，直至滿足條件退出循環體，即可得出結果.【題目詳解】執行程序框；；；；；，滿足，退出循環，因此輸出，故選:B.【題目點撥】本題考查循環結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.7、B【解題分析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【題目詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【題目詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【題目點撥】本小題主要考查向量數量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【題目詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【題目點撥】本題主要考查用待定系數法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．10、D【解題分析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【題目詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【題目點撥】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.11、B【解題分析】

根據函數奇偶性，可排除D；求得及，由導函數符號可判斷在上單調遞增，即可排除AC選項.【題目詳解】函數易知為奇函數，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調遞增，所以，綜上，時，，即單調遞增.又為奇函數，所以在上單調遞增，故排除A，C.故選：B【題目點撥】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，導函數性質與函數圖象關系，屬于中檔題.12、B【解題分析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內是增函數即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數函數與對數函數的性質【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數的單調性進行比較；若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進而由雙曲線的幾何性質可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【題目詳解】根據題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是分析a、b之間的關系，屬于基礎題．14、39【解題分析】

設等差數列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進而求得即可.【題目詳解】設等差數列公差為d,首項為,根據題意可得,解得,所以.故答案為：39【題目點撥】本題考查等差數列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎題.15、【解題分析】

根據題意求出點N的坐標，將其代入橢圓的方程，求出參數m的值，再根據離心率的定義求值.【題目詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質，屬于中檔題.16、【解題分析】

求導，得到和，利用點斜式即可求得結果.【題目詳解】由于，，所以，由點斜式可得切線方程為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解題分析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標方程；聯立直線和曲線的極坐標方程，即可求得交點坐標；（2）設出點坐標的參數形式，將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.【題目詳解】（1）曲線的極坐標方程：聯立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線.設點，則點到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【題目點撥】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化，涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.18、≤x≤【解題分析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當且僅當(a＋b)·(a－b)≥0時取等號，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結合基本不等式證得不等式成立.【題目詳解】（1）由絕對值不等式性質得當且僅當即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當且僅當時等號成立，即，所以.法2：由得，，當且僅當時“=”成立.【題目點撥】本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結果；（2）將不等式整理為，根據能成立思想可知，由此構造不等式求得結果.【題目詳解】（1）當時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數的取值范圍是．【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、根據不等式有解求解參數范圍的問題；關鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉化為所求參數與函數最值之間的比較問題.21、