專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（基礎(chǔ)9種題型+能力提升題）-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（新高考專用）專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一．變化的快慢與變化率（共3小題）1．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+2，則該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022秋?晉城期末）有一機(jī)器人的運(yùn)動方程為s（t）＝t2+6t，（t是時間，s是位移），則該機(jī)器人在時刻t＝2時的瞬時速度為（）A．5 B．7 C．10 D．133．（2022秋?武漢期末）2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在北京隆重舉行，中國代表團(tuán)獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強(qiáng)國的底蘊(yùn)和綜合國力．設(shè)某高山滑雪運(yùn)動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則當(dāng)t＝3s時，該運(yùn)動員的滑雪瞬時速度為（m/s）．二．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義（共2小題）4．（2022秋?東城區(qū)校級期末）函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程y＝2x+1，則等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（2021秋?南昌期末）曲線y＝f（x）在x＝1處的切線如圖所示，則f′（1）＝（）A．1 B． C． D．﹣1三．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共7小題）6．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A．[（1﹣2x）2]′＝2﹣4x B．（cos）′＝﹣sin C． D．（x?cosx）'＝cosx﹣xsinx7．（2022秋?香坊區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且，則＝（）A． B． C． D．8．（2022秋?咸陽期末）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（2022秋?咸陽期末）已知函數(shù)可導(dǎo)，且f'（x0）＝3，＝（）A．﹣3 B．0 C．3 D．610．（2022秋?南平期末）函數(shù)，則f'（x）＝（）A．﹣2sin（2x） B．﹣﹣sin（2x） C．+sin（2x） D．﹣﹣2sin（2x）11．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)是（）個①若f（x）＝x2e2x﹣1，則f'（x）＝2xe2x﹣1（x+1）；②若，則③若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），則f'（x）＝2sin（2x+5）+（2x﹣3）cos（2x+5）．④若f（x）＝log2（3x﹣2），則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2022秋?安丘市期末）已知f（x）＝x2+2f'（1）x，則f'（1）＝．四．簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（共2小題）13．（2021秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若，則＝．14．（2021秋?合作市校級期末）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）y＝x2sinx；（2）y＝．五．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共13小題）15．（2022秋?未央?yún)^(qū)期末）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′（x）的圖象如圖所示，則y＝f（x）的圖象最有可能是圖中的（）A． B． C． D．16．（2023春?房山區(qū)期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增 B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減 C．函數(shù)f（x）在x＝1處取得極大值 D．函數(shù)f（x）在x＝0處取得極大值17．（2021秋?烏蘭察布期末）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＞0，且有f（3）＝3，則f（x）＞3e3﹣x的解集為（）A．（3，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，1）18．（2021秋?鄭州期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[e﹣2，+∞） B．（e﹣2，+∞） C． D．19．（2022春?賀蘭縣校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù) B．f（﹣1）＜f（3） C．f'（3）＜f'（5） D．x＝3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)20．（2022秋?長安區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的定義域為（﹣，），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）（多選）21．（2022秋?連云港期末）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖像如圖所示，則（）A．為函數(shù)f（x）的零點(diǎn) B．x＝2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn) C．函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減 D．f（﹣2）是函數(shù)f（x）的最小值22．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．23．（2022秋?秦淮區(qū)校級期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．24．（2022秋?榆林期末）已知函數(shù)F（x）＝xex﹣（a＞0）．（1）若f（x）＝F（x）﹣3ax，a＝，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若g（x）＝F（x）﹣ax3有三個極值點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍．25．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）設(shè)a為實數(shù)，已知函數(shù)f（x）＝+9．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若過點(diǎn)（0，10）有且只有兩條直線與曲線y＝+ax+1相切，求a的值．26．（2022秋?漢中期末）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣lnx﹣2．（1）當(dāng)a＝1時，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．27．（2022秋?碑林區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣1．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：．六．函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件（共2小題）28．（2021秋?南昌期末）設(shè)f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則下面的結(jié)論中正確的是（）A．f（x）的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn) B．f（x）的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn) C．f（x）在此區(qū)間上可能沒有極值點(diǎn) D．f（x）在此區(qū)間上可能沒有最值點(diǎn)29．（2021秋?仙游縣校級期末）函數(shù)的最大值為（）A． B．e2 C．e D．e﹣1七．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共5小題）30．（2022秋?香坊區(qū)校級期末）對于函數(shù)f（x）＝sinx+x﹣ex，x∈[0，π]，下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）有唯一的極大值點(diǎn) B．函數(shù)f（x）有唯一的極小值點(diǎn) C．函數(shù)f（x）有最大值沒有最小值 D．函數(shù)f（x）有最小值沒有最大值31．（2022秋?興慶區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣8x+6lnx+1，則f（x）的極大值為．32．（2022秋?大同期末）已知函數(shù)f（x）＝x（x﹣m）2在x＝2處取得極小值，則m＝．33．（2022秋?大通縣期末）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+c在及x＝1處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）＝0有三個不同的實根，求c的取值范圍．34．（2022秋?江都區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x﹣2．（1）求f（x）在x＝﹣2處的切線方程；（2）求f（x）的極值點(diǎn)和極值．八．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共2小題）35．（2022秋?碑林區(qū)期末）已知對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2）36．（2022秋?淮安期末）已知函數(shù)f（x）＝．（1）若f（x）在（0，e2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．九．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共7小題）37．（2022秋?宿遷期末）若直線l：x+y+a＝0是曲線C：y＝x﹣2lnx的一條切線，則實數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．238．（2022秋?鄠邑區(qū)期末）若曲線y＝x2+ax+b在點(diǎn)（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣239．（2022秋?麗水期末）若曲線y＝lnx+ax在x＝1處的切線經(jīng)過點(diǎn)P（2，0），則實數(shù)a＝．40．（2022秋?天心區(qū)校級期末）函數(shù)在其圖象上的點(diǎn)（1，e+1）處的切線方程為．41．（2022秋?長沙期末）曲線的曲率就是針對曲線上某個點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，工程規(guī)劃中常需要計算曲率，如高鐵的彎道設(shè)計．曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x，f（x））曲率的計算公式是，其中y″是y'的導(dǎo)函數(shù)．則曲線xy＝1上點(diǎn)的曲率的最大值是．42．（2022秋?東城區(qū)校級期末）（Ⅰ）已知函數(shù)，求f′（1）；43．（2022秋?臨澧縣校級期末）已知曲線．（1）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；（2）求滿足斜率為1的曲線的切線方程．一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）已知f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且對于任意實數(shù)x都有f'（x）＝ex（2x﹣1）+f（x），f（0）＝﹣1，則不等式f（x）＞5ex的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）二．填空題（共1小題）2．（2022秋?天寧區(qū)校級期末）已知正實數(shù)x，y滿足lnx＝y(tǒng)ex+lny，則y﹣e﹣x的最大值為．三．解答題（共13小題）3．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時，是否存在實數(shù)m，使得方程有三個不等實根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．4．（2022秋?城廂區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x+ax2+blnx，曲線y＝f（x）過P（1，0），且在P處的切線斜率為2．（1）求a，b的值；（2）證明：f（x）≤2x﹣2．5．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求曲線y＝f（x）與直線y＝x﹣1的公共點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若對于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜ax+2恒成立，直接寫出實數(shù)a的取值范圍．6．（2022秋?平江縣期末）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ln（x+m）．（1）已知點(diǎn)P（1，e）在函數(shù)f（x）的圖象上，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線方程．（2）當(dāng)m≤2時，求證f（x）＞0．7．（2022秋?宿城區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）．（1）若?x∈[e，e2]，f（x）＜g′（x），求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)F（x）＝f（x）+g（x），討論F（x）的零點(diǎn)個數(shù)．8．（2022秋?梁園區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ex+m﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）求證：m≥﹣2時，f（x）＞0．9．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+alnx．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．10．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x﹣2）（a∈R）．（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：x1+3x2＞﹣a+2．11．（2022秋?濱江區(qū)校級期末）設(shè)f（x）＝aex（x+1），g（x）＝x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在處有相同的切線．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）求f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（3）若對?x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．12．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a．（1）若a＜1且僅存在兩個的整數(shù)，使得f（x）＜0，求a的取值范圍；（2）討論f（x）零點(diǎn)的個數(shù)；（3）證明，?t∈（0，1），有f（tx1+（1﹣t）x2）≤tf（x1）+（1﹣t）f（x2）．13．（2022秋?六合區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax2﹣（a+1）x（a∈R）．（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)y＝f（x）的極值；（2）求當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值Q（a）；（3）若關(guān)于x的方程f（x）＝ax2有兩個不同實根x1，x2，求實數(shù)a的取值范圍并證明：x1?x2＞e2．14．（2022秋?長沙期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，曲線y＝f（x）在原點(diǎn)處的切線為x軸．（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）證明：．15．（2022秋?藍(lán)田縣期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a＝1時，證明：對任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一．變化的快慢與變化率（共3小題）1．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+2，則該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用函數(shù)的解析式求出區(qū)間兩個端點(diǎn)的函數(shù)值；利用平均變化率公式求出該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率．【解答】解：∵f（3）＝11，f（1）＝3∴該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率公式：平均變化率＝2．（2022秋?晉城期末）有一機(jī)器人的運(yùn)動方程為s（t）＝t2+6t，（t是時間，s是位移），則該機(jī)器人在時刻t＝2時的瞬時速度為（）A．5 B．7 C．10 D．13【分析】利用導(dǎo)數(shù)的計算公式，導(dǎo)數(shù)的定義，求解即可．【解答】解：∵s（t）＝t2+6t，∴s′（t）＝2t+6，∴s′（2）＝2×2+6＝10，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計算公式，導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?武漢期末）2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在北京隆重舉行，中國代表團(tuán)獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強(qiáng)國的底蘊(yùn)和綜合國力．設(shè)某高山滑雪運(yùn)動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則當(dāng)t＝3s時，該運(yùn)動員的滑雪瞬時速度為13.5（m/s）．【分析】先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵，∴l(xiāng)′（t）＝4t+，則當(dāng)t＝3s時，該運(yùn)動員的滑雪瞬時速度為4×3+＝13.5，故答案為：13.5．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計算公式和定義，屬于基礎(chǔ)題．二．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義（共2小題）4．（2022秋?東城區(qū)校級期末）函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程y＝2x+1，則等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得f′（x0）＝2，由導(dǎo)數(shù)的定義知f′（x0）＝，由此配出分母上的數(shù)字2能夠求出的值．【解答】解：∵f′（x0）＝2，f′（x0）＝＝2∴＝2＝4故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和極限的運(yùn)算，解題時要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是湊出符合導(dǎo)數(shù)定義的極限形式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021秋?南昌期末）曲線y＝f（x）在x＝1處的切線如圖所示，則f′（1）＝（）A．1 B． C． D．﹣1【分析】根據(jù)圖象可看出切線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，﹣1），然后即可求出切線的斜率，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出f′（1）的值．【解答】解：根據(jù)圖象，切線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（2，0），（0，﹣1），∴切線的斜率為：k＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線斜率的計算公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了計算能力，屬于中檔題．三．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共7小題）6．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A．[（1﹣2x）2]′＝2﹣4x B．（cos）′＝﹣sin C． D．（x?cosx）'＝cosx﹣xsinx【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可．【解答】解：[（1﹣2x）2]′＝2（1﹣2x）?（﹣2）＝8x﹣4，，，（x?cosx）′＝cosx﹣xsinx，∴求導(dǎo)結(jié)果正確的是：D．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022秋?香坊區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且，則＝（）A． B． C． D．【分析】可求出，進(jìn)而可求出的值，從而得出f（x）的解析式，從而可求出的值．【解答】解：，∴，∴，∴f（x）＝x+cosx，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，已知函數(shù)求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022秋?咸陽期末）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系即可找出f′（x）可能的圖象．【解答】解：根據(jù)原函數(shù)為減函數(shù)時，f′（x）＜0，增函數(shù)時，f′（x）＞0，從而可判斷只有選項D的圖象符合．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022秋?咸陽期末）已知函數(shù)可導(dǎo)，且f'（x0）＝3，＝（）A．﹣3 B．0 C．3 D．6【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f'（x0）＝3，∴＝2＝2f'（x0）＝6，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，比較基礎(chǔ)．10．（2022秋?南平期末）函數(shù)，則f'（x）＝（）A．﹣2sin（2x） B．﹣﹣sin（2x） C．+sin（2x） D．﹣﹣2sin（2x）【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵，∴f'（x）＝﹣2sin2x＝﹣﹣2sin2x，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．11．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)是（）個①若f（x）＝x2e2x﹣1，則f'（x）＝2xe2x﹣1（x+1）；②若，則③若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），則f'（x）＝2sin（2x+5）+（2x﹣3）cos（2x+5）．④若f（x）＝log2（3x﹣2），則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐一分析四個命題得答案．【解答】解：①若f（x）＝x2e2x﹣1，則f'（x）＝2xe2x﹣1+2x2e2x﹣1＝2xe2x﹣1（x+1），故①正確；②若，則f′（x）＝＝，故②正確；③若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），則f'（x）＝2sin（2x+5）+2（2x﹣3）cos（2x+5），故③錯誤；④若f（x）＝log2（3x﹣2），則，故④正確．∴正確的個數(shù)是3個．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（2022秋?安丘市期末）已知f（x）＝x2+2f'（1）x，則f'（1）＝﹣2．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）＝x2+2f'（1）x，∴f′（x）＝2x+2f'（1），∴f'（1）＝2+2f'（1），∴f'（1）＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．四．簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（共2小題）13．（2021秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若，則＝．【分析】由題意可得f′（x）＝?3cos3x﹣3sin3x，令x＝可得＝3cos﹣3sin＝﹣3，由此解得的值．【解答】解：∵，∴f′（x）＝?3cos3x﹣3sin3x，∴令x＝可得＝3cos﹣3sin＝﹣3，解得＝，故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查簡單符合三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2021秋?合作市校級期末）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）y＝x2sinx；（2）y＝．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）y′＝（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx（2）y′＝＝＝【點(diǎn)評】本題主要考查了和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式：（f（x）g（x））′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x），的應(yīng)用．五．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共13小題）15．（2022秋?未央?yún)^(qū)期末）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′（x）的圖象如圖所示，則y＝f（x）的圖象最有可能是圖中的（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．【解答】解：由y＝f'（x）的圖象易得當(dāng)x＜0或x＞2時，f'（x）＞0，故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜2時，f'（x）＜0，故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減；故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．16．（2023春?房山區(qū)期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增 B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減 C．函數(shù)f（x）在x＝1處取得極大值 D．函數(shù)f（x）在x＝0處取得極大值【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【解答】解：在區(qū)間（1，4）上f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間（1，3）上f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，故B錯誤；當(dāng)x∈（0，4）時，f'（x）＞0，可知函數(shù)f（x）在（0，4）上單調(diào)遞增，故x＝1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，故C錯誤；當(dāng)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，4）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在x＝0處取得極小值，故D錯誤，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．17．（2021秋?烏蘭察布期末）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＞0，且有f（3）＝3，則f（x）＞3e3﹣x的解集為（）A．（3，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，1）【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）ex，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷F（x）的單調(diào)性，將f（x）＞3e3﹣x轉(zhuǎn)化為F（x）＞F（3）即可得解．【解答】解：設(shè)F（x）＝f（x）ex，則F′（x）＝f′（x）ex+f（x）ex＝ex[f（x）+f′（x）]＞0，所以F（x）在R上單調(diào)遞增，又f（3）＝3，則F（3）＝f（3）?e3＝3e3，所以f（x）＞3e3﹣x等價于f（x）ex＞3e3，即F（x）＞F（3），所以x＞3，即不等式的解集為（3，+∞）．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．（2021秋?鄭州期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[e﹣2，+∞） B．（e﹣2，+∞） C． D．【分析】由f′（x）＝x++a﹣e≥0（x＞），分離參數(shù)a，可得﹣a+e≤，利用基本不等式求得＝2，從而可得答案【解答】解：∵在上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＞時，f′（x）＝x++a﹣e≥0恒成立?﹣a+e≤，由基本不等式得：x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取“＝”），∴＝2，∴﹣a+e≤2，解得a≥e﹣2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（2022春?賀蘭縣校級期末）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù) B．f（﹣1）＜f（3） C．f'（3）＜f'（5） D．x＝3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象，逐項分析即可求得結(jié)論．【解答】解：對于A，由f′（x）圖象知，當(dāng)x＜﹣1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故A錯誤；對于B，當(dāng)﹣1＜x＜3時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，則f（﹣1）＜f（3）成立，故B正確；對于C，由圖象可知f′（3）＝f′（5），故C錯誤；對于D，當(dāng)﹣1＜x＜3時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)3＜x＜5時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，則x＝3是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故D錯誤，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．20．（2022秋?長安區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）的定義域為（﹣，），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【分析】令g（x）＝，結(jié)合題意求導(dǎo)可得函數(shù)g（x）（﹣，）上單調(diào)遞減，進(jìn)而將不等式f（x）＜2f（）cosx轉(zhuǎn)化為g（x）＜g（），結(jié)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性即可求得答案．【解答】解：令g（x）＝，x∈（﹣，），則g′（x）＝，因為f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣，）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜2f（）cosx等價于＜，即g（x）＜g（），所以＜x＜，即不等式的解集為（，）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．（多選）21．（2022秋?連云港期末）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖像如圖所示，則（）A．為函數(shù)f（x）的零點(diǎn) B．x＝2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn) C．函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減 D．f（﹣2）是函數(shù)f（x）的最小值【分析】由f'（x）的圖像可知，在（﹣∞，﹣2），（，2）單調(diào)遞減，在（﹣2，）單調(diào)遞增，從而可得答案．【解答】解：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖像可知，在（﹣∞，﹣2），（，2）單調(diào)遞減，在（﹣2，）單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝﹣2或x＝2時，f（x）取得極小值，但f（﹣2）與f（2）的大小關(guān)系不確定，故BC正確，AD錯誤，故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查識圖能力與邏輯思維能力，屬于中檔題．22．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷x＜0時，函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)；然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解x＞0時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，推出a的范圍即可．【解答】解：當(dāng)x＜0時，f（x）＝x﹣ex+2，f′（x）＝1﹣ex＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f（0）＞0，f（﹣2）＜0，所以函數(shù)f（x）＝x﹣ex+2，在x≤0時，只有一個零點(diǎn)；由題意可知x＞0時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，x＞0時，f（x）＝無零點(diǎn)，f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），f′（x）＝0，可得x＝2，x∈（0，2）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，可得fmin（x）＝f（2）＝，解得a＞．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，函數(shù)與方程的應(yīng)用，是中檔題．23．（2022秋?秦淮區(qū)校級期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[e﹣2，+∞）．【分析】由f′（x）＝x++a﹣e≥0（x＞），分離參數(shù)a，可得﹣a+e≤，利用基本不等式求得＝2，從而可得答案．【解答】解：∵在上是增函數(shù)，∴f′（x）＝x++a﹣e≥0（x＞），∴﹣a+e≤，由基本不等式得：x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取“＝”），∴＝2，∴﹣a+e≤2，解得a≥e﹣2，故答案為：[e﹣2，+∞），【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．（2022秋?榆林期末）已知函數(shù)F（x）＝xex﹣（a＞0）．（1）若f（x）＝F（x）﹣3ax，a＝，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若g（x）＝F（x）﹣ax3有三個極值點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）先求出導(dǎo)數(shù)，再解不等式即可．（2）先得到h（x）＝ex﹣3ax有兩個不同的零點(diǎn)，求出h（x）的最小值，再令h（x）的最小值小于0，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝時，則f（x）＝F（x）﹣3ax＝xex﹣x2﹣x，∴f′（x）＝ex+xex﹣x﹣1＝（x+1）（ex﹣1），令f′（x）＜0，則﹣1＜x＜0，令f′（x）＞0，則x＜﹣1或x＞0，則函數(shù)f（x）的單減區(qū)間為（﹣1，0），單增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；（2）∵g（x）＝F（x）﹣ax3＝xex﹣ax2﹣ax3，∴g′（x）＝ex+xex﹣3ax﹣3ax2＝（x+1）（ex﹣3ax），若g（x）有三個極值點(diǎn)，則h（x）＝ex﹣3ax有兩個不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)不為﹣1，∵h(yuǎn)（﹣1）＝+3a＞0，∴﹣1不為h（x）的零點(diǎn)，h′（x）＝ex﹣3a，令h′（x）＞0，則x＞ln（3a），h（x）單調(diào)遞增，令h′（x）＜0，則x＜ln（3a），h（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝ln（3a）時，函數(shù)h（x）取得極小值也為最小值為3a﹣3aln（3a）＜0，∴a＞，又∵x→﹣∞，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→+∞，∴當(dāng)a＞時，h（x）＝ex﹣3ax有兩個不同的零點(diǎn)，∴實數(shù)a的取值范圍為（，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）設(shè)a為實數(shù)，已知函數(shù)f（x）＝+9．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若過點(diǎn)（0，10）有且只有兩條直線與曲線y＝+ax+1相切，求a的值．【分析】（1）先求導(dǎo)，再分a＝﹣1，a＞﹣1及a＜﹣1，討論導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，即可得出單調(diào)性情況；（2）先設(shè)切點(diǎn)，再求出切線的方程，得到f（t）＝t3﹣（a+1）t2+9＝0有兩個不等的實根，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝+9，∴f′（x）＝2x2﹣（a+1）x，令f′（x）＝0，則x＝0或x＝，①當(dāng)＝0，即a＝﹣1時，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；②當(dāng)＜0，即a＜﹣1時，由f′（x）＜0，則＜x＜0，由f′（x）＞0，則x＜或x＞0，∴函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，），（0，+∞），單減區(qū)間為（，0）；②當(dāng)＞0，即a＞﹣1時，由f′（x）＜0，則0＜x＜，由f′（x）＞0，則x＞或x＜0，∴函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（，+∞），（﹣∞，0），單減區(qū)間為（0，）．綜上，當(dāng)a＝﹣1時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，+∞），當(dāng)a＜﹣1時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，），（0，+∞），單減區(qū)間為（，0），當(dāng)a＞﹣1時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，0），（，+∞），單減區(qū)間為（0，）．（2）設(shè)切點(diǎn)為（t，t3﹣（a+1）t2+at+1），∵y＝+ax+1，∴y′＝x2﹣（a+1）x+a，∴切線方程為y﹣[t3﹣（a+1）t2+at+1）]＝[t2﹣（a+1）t+a]（x﹣t），將（0，10）代入整理得，t3﹣（a+1）t2+9＝0，則f（t）＝t3﹣（a+1）t2+9＝0有兩個不等的實根，①當(dāng)a＝﹣1時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（﹣∞，+∞），則f（t）＝0最多只有一個實根，不合題意，②當(dāng)a＜﹣1時，函數(shù)f（x）的極小值為f（0）＝9＞0，則f（t）＝0最多只有一個實根，不合題意，③當(dāng)a＞﹣1時，函數(shù)f（x）的極大值為f（0）＝9＞0，f（x）的極小值為f（）＝9﹣＝0，∴a＝5．綜上，a＝5．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及方程根的個數(shù)問題，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．26．（2022秋?漢中期末）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣lnx﹣2．（1）當(dāng)a＝1時，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝x2﹣lnx﹣2，f′（x）＝x﹣，∴f′（1）＝0，f（1）＝﹣，∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣；（2）∵f′（x）＝（x＞0），a≤0時，f′（x）＜0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，+∞），a＞0時，f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是一道基礎(chǔ)題．27．（2022秋?碑林區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣1．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：．【分析】（1）由題意可得在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，所以a≥（）max，由單調(diào)性可得最大值，即可得到a的范圍；（2）取a＝1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，可得當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）＝0即lnx＜x﹣1，因為，所以，即，運(yùn)用累加法，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得證．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．（1）由題意可得在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，所以a≥（）max，又y＝在區(qū)間[1，+∞）上遞減，所以（）max＝1，即實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．（2）證明：取a＝1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，所以，當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）＝0即lnx＜x﹣1，因為，所以，即，所以：，，ln＜，…，，ln＜，所以：，ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn+ln（n+2）﹣ln（n+1）＜1+++…+，即，得證．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及參數(shù)分離，考查不等式的證明，注意運(yùn)用已知不等式，以及累加法和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．六．函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件（共2小題）28．（2021秋?南昌期末）設(shè)f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則下面的結(jié)論中正確的是（）A．f（x）的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn) B．f（x）的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn) C．f（x）在此區(qū)間上可能沒有極值點(diǎn) D．f（x）在此區(qū)間上可能沒有最值點(diǎn)【分析】導(dǎo)數(shù)為0時，若方程無解，或方程有解時，在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號不改變，則函數(shù)無極值點(diǎn)；若方程有解時，在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號改變，則函數(shù)有極值點(diǎn)，與端點(diǎn)函數(shù)值比較，可知是否為最值點(diǎn)；從而可以判斷．【解答】解：設(shè)f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為0時，若方程無解，或方程有解時，在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號不改變，則函數(shù)無極值點(diǎn)；若方程有解時，在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號改變，則函數(shù)有極值點(diǎn)，與端點(diǎn)函數(shù)值比較，可知是否為最值點(diǎn)；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的極值與最值，解題的關(guān)鍵是利用極值的判斷方法，容易誤認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)．29．（2021秋?仙游縣校級期末）函數(shù)的最大值為（）A． B．e2 C．e D．e﹣1【分析】利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，注意函數(shù)的定義域，極大值在本題中也是最大值；【解答】解：∵函數(shù)，（x＞0）∴y′＝，令y′＝0，得x＝e，當(dāng)x＞e時，y′＜0，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜e時，y′＞0，f（x）為增函數(shù)，∴f（x）在x＝e處取極大值，也是最大值，∴y最大值為f（e）＝＝e﹣1，故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，是一道基礎(chǔ)題；七．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共5小題）30．（2022秋?香坊區(qū)校級期末）對于函數(shù)f（x）＝sinx+x﹣ex，x∈[0，π]，下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）有唯一的極大值點(diǎn) B．函數(shù)f（x）有唯一的極小值點(diǎn) C．函數(shù)f（x）有最大值沒有最小值 D．函數(shù)f（x）有最小值沒有最大值【分析】通過對原函數(shù)兩次求導(dǎo)，考查原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步分析四個選項得答案．【解答】解：∵f（x）＝sinx+x﹣ex，x∈[0，π]，∴f′（x）＝cosx+1﹣ex，x∈[0，π]，f″（x）＝﹣sinx﹣ex＜0在[0，π]上恒成立，則f′（x）＝cosx+1﹣ex在x∈[0，π]上單調(diào)遞減，而f′（0）＝1＞0，f′（π）＝﹣eπ＜0，∴存在x0∈（0，π），使得x∈（0，x0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（x0，π）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，又f（0）＝﹣1，f（π）π﹣eπ＜﹣1，則函數(shù)f（x）有唯一的極大值點(diǎn)，且函數(shù)f（x）有最大值和最小值．故A正確，BCD錯誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．31．（2022秋?興慶區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣8x+6lnx+1，則f（x）的極大值為﹣6．【分析】函數(shù)f（x）＝x2﹣8x+6lnx+1，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），令f′（x）＝0，解得x，通過研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出極值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2﹣8x+6lnx+1，x∈（0，+∞），f′（x）＝2x﹣8+＝，令f′（x）＝0，解得x＝1或3，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈（1，3）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（3，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴x＝1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（1）＝﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．32．（2022秋?大同期末）已知函數(shù)f（x）＝x（x﹣m）2在x＝2處取得極小值，則m＝2．【分析】通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x＝2處有極值，可知f'（2）＝0，解得m的值，再驗證可得結(jié)論．【解答】解：由f（x）＝x（x﹣m）2，得f′（x）＝（x﹣m）2+2x（x﹣m），∵在x＝2處取得的極小值，∴f′（2）＝（2﹣m）2+4（2﹣m）＝0，解得m＝2或6，當(dāng)m＝2時，f′（x）＝（3x﹣2）（x﹣2），當(dāng)x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（）時，f′（x）＜0，∴f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，），（2，+∞），減區(qū)間為（），在x＝2處，取得極小值，m＝2符合題意；當(dāng)m＝6時，f′（x）＝3（x﹣2）（x﹣6），當(dāng)x∈（﹣∞，2）∪（6，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，6）時，f′（x）＜0，∴f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，2），（6，+∞），減區(qū)間為（2，6），在x＝2處，取得極大值，m＝6不符合題意．綜上所述m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．33．（2022秋?大通縣期末）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+c在及x＝1處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）＝0有三個不同的實根，求c的取值范圍．【分析】（1）由極值的性質(zhì)可知是f′（x）＝0的兩個根，再根據(jù)韋達(dá)定理求出a，b；（2）求出兩個極值，利用極大值大于零，極小值小于零列出c的不等式組求解．【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx+c，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，（1）由已知得，1是3x2+2ax+b＝0的兩個根，故，解得a＝﹣2，b＝1；（2）由（1）得f（x）＝x3﹣2x2+x+c，f′（x）＝3x2﹣4x+1，結(jié)合（1）可知，該函數(shù)的零點(diǎn)為，f′（x）＜0?，f′（x）＞0?或x＞1，∴f（x）的極小值為f（1）＝c，極大值為f（）＝，若方程f（x）＝0有三個不同的實根，只需，解得，∴a的范圍是（）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)極值點(diǎn)處的性質(zhì)，以及利用利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)零點(diǎn)的方法，屬于中檔題．34．（2022秋?江都區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x﹣2．（1）求f（x）在x＝﹣2處的切線方程；（2）求f（x）的極值點(diǎn)和極值．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，（2）令f'（x）＝0，求得x1＝，x2＝﹣1，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性可求出f（x）的極值點(diǎn)和極值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x﹣2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3x2+2x﹣1，（1）f'（﹣2）＝12﹣4﹣1＝7，f（﹣2）＝﹣8+4+2﹣2＝﹣4，f（x）在x＝﹣2處的切線方程：y+4＝7（x+2），即7x﹣y+10＝0；（2）令f'（x）＝0，3x2+2x﹣1＝0，解得，x2＝﹣1，當(dāng)時，可得f'（x）＜0，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，x＜﹣1或，可得f'（x）＞0，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（﹣∞，﹣1），，所以f（x）的極大值點(diǎn)x＝﹣1，極小值點(diǎn)，因為f（﹣1）＝（﹣1）3+（﹣1）2﹣（﹣1）﹣2＝﹣1，，所以極大值是﹣1，極小值是．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)極值的判斷和計算，屬于中檔題．八．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共2小題）35．（2022秋?碑林區(qū)期末）已知對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2）【分析】研究函數(shù)f（x）＝，的最小值，即可解決問題．【解答】解：令f（x）＝，，f′（x）＝＝，，x時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈[1，2]，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增，f（x）min＝f（1）＝0，所以要使原式成立，只需a≤f（x）min＝0，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查不等式恒成立問題的解題思路以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于中檔題．36．（2022秋?淮安期末）已知函數(shù)f（x）＝．（1）若f（x）在（0，e2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）先將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）＝≥0在（0，e2]恒成立，再分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)研究其最值即可；（2）先分離參數(shù)a，然后結(jié)合隱零點(diǎn)問題的處理方法，求出分離參數(shù)后，對應(yīng)函數(shù)的最值解決問題．【解答】解：（1）f（x）在（0，e2]上單調(diào)遞增，即f′（x）＝≥0在（0，e2]恒成立，即a≤2﹣2lnx，顯然函數(shù)y＝2﹣2lnx在（0，e2]上是減函數(shù)，故ymin＝y(tǒng)＝﹣2，故a≤﹣2即為所求，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]；（2）f（x）≤xex+﹣1恒成立，顯然x＞0，故原式可化為a≤x2ex﹣2lnx﹣x+1恒成立，令g（x）＝x2ex﹣2lnx﹣x+1，則g′（x）＝（x+2）（xex），（x＞0），令h（x）＝x2ex﹣1，x＞0，可得h′（x）＝（2x+x2）ex＞0，即有h（x）在（0，+∞）遞增，且h（1）＝e﹣1＞0，h（）＝﹣1＜0，故存在x0＞0，使得h（x0）＝0，即ex0＝1，x∈（0，x0）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，故x0是g（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，g（x0）＝ex0+1﹣2lnx0﹣x0＝2﹣ln（ex0）＝2﹣ln1＝2，故a≤2即為所求，所以a的取值范圍是（﹣∞，2]．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合隱零點(diǎn)問題的處理方法解決不等式恒成立問題的思路，屬于中檔題．九．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共7小題）37．（2022秋?宿遷期末）若直線l：x+y+a＝0是曲線C：y＝x﹣2lnx的一條切線，則實數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出y＝x﹣2lnx的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)值為﹣1求解切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求得a值．【解答】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)P（m，n），直線x+y+a＝0斜率為﹣1，由題意可得，，得m＝1，∴n＝1﹣2ln1＝1，則切點(diǎn)為（1，1），切線方程為y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0．∴a＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查已知切線方程求參數(shù)，是基礎(chǔ)題．38．（2022秋?鄠邑區(qū)期末）若曲線y＝x2+ax+b在點(diǎn)（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合已知切線方程列式求解a與b的值，則答案可求．【解答】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，由題意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．∴a+b＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．39．（2022秋?麗水期末）若曲線y＝lnx+ax在x＝1處的切線經(jīng)過點(diǎn)P（2，0），則實數(shù)a＝﹣．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得曲線y＝lnx+ax在x＝1處的切線方程，代入P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到實數(shù)a的值．【解答】解：由y＝lnx+ax，得y′＝+a，∴y′|x＝1＝1+a，又x＝1時，y＝a，∴曲線y＝lnx+ax在x＝1處的切線方程為y＝（1+a）（x﹣1）+a，把點(diǎn)P（2，0）代入，可得0＝1+2a，即a＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．40．（2022秋?天心區(qū)校級期末）函數(shù)在其圖象上的點(diǎn)（1，e+1）處的切線方程為y＝（e﹣1）x+2．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：由，得f′（x）＝，∴f′（1）＝e﹣1，則函數(shù)在其圖象上的點(diǎn)（1，e+1）處的切線方程為y＝（e﹣1）（x﹣1）+e+1，即y＝（e﹣1）x+2．故答案為：y＝（e﹣1）x+2．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．41．（2022秋?長沙期末）曲線的曲率就是針對曲線上某個點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，工程規(guī)劃中常需要計算曲率，如高鐵的彎道設(shè)計．曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x，f（x））曲率的計算公式是，其中y″是y'的導(dǎo)函數(shù)．則曲線xy＝1上點(diǎn)的曲率的最大值是．【分析】由題意求得k的表達(dá)式，再由基本不等式求最值即可．【解答】解：由xy＝1，得y＝，y′＝，可得y″＝，∴＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1時等號成立．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．42．（2022秋?東城區(qū)校級期末）（Ⅰ）已知函數(shù)，求f′（1）；（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）＝x3+ax，若曲線g（x）在x＝0處的切線也與曲線h（x）＝﹣lnx相切，求a的值．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得f′（1）；（Ⅱ）求出切線方程，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的方程組，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f′（x）＝＝，則f′（1）＝0；（Ⅱ）由f（x）＝x3+ax，得f′（x）＝3x2+a，f′（0）＝a，又f（0）＝0，∴曲線y＝f（x）在x＝0處的切線方程是：y＝ax，設(shè)直線y＝ax與曲線g（x）＝﹣lnx相切于點(diǎn)（x0，﹣lnx0），g′（x）＝﹣，故，解得：x0＝e，a＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．43．（2022秋?臨澧縣校級期末）已知曲線．（1）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；（2）求滿足斜率為1的曲線的切線方程．【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切線的方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的方程；（2）設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．【解答】解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′＝x2，可得切線的斜率為k＝m2，切線的方程為y﹣n＝m2（x﹣m），即為y﹣m3﹣＝m2（x﹣m），代入點(diǎn)P，可得4﹣m3﹣＝m2（2﹣m），化簡為m3﹣3m2+4＝0，解得m＝﹣1或2，即有切線的斜率為1或4，可得切線的方程為y＝4x﹣4或y＝x+2：（2）設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），可得切線的斜率為k＝x02＝1，解得x0＝±1，切點(diǎn)為（1，），（﹣1，1），所求切線的方程為y﹣＝x﹣1或y﹣1＝x+1，即有3x﹣3y+2＝0或x﹣y+2＝0．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）已知f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且對于任意實數(shù)x都有f'（x）＝ex（2x﹣1）+f（x），f（0）＝﹣1，則不等式f（x）＞5ex的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）＝，依題意可得g′（x）＝2x﹣1?g（x）＝x2﹣x+c＝，再利用f（0）＝﹣1，可求得c＝﹣1，從而可求得不等式f（x）＞5ex的解集．【解答】解：令g（x）＝，①則g′（x）＝，∵f'（x）＝ex（2x﹣1）+f（x），∴＝2x﹣1，即g′（x）＝2x﹣1，∴g（x）＝x2﹣x+c，②由①②知，＝x2﹣x+c，∴f（x）＝ex（x2﹣x+c），又f（0）＝﹣1，∴e0?c＝﹣1，即c＝﹣1，∴＝x2﹣x﹣1，∴不等式f（x）＞5ex?＝x2﹣x﹣1＞5，∴x＜﹣2或x＞3，即不等式f（x）＞5ex的解集為（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造法的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題．二．填空題（共1小題）2．（2022秋?天寧區(qū)校級期末）已知正實數(shù)x，y滿足lnx＝y(tǒng)ex+lny，則y﹣e﹣x的最大值為．【分析】由正實數(shù)x，y滿足lnx＝y(tǒng)ex+lny，變形為ln＝xex，ln＝xex，令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得ln＝x，y＝，可得y﹣e﹣x＝，令g（x）＝，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得出結(jié)論．【解答】解：由正實數(shù)x，y滿足lnx＝y(tǒng)ex+lny，變形為ln＝xex，∴l(xiāng)n＝xex，令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），f′（x）＝（x+1）ex＞0，∴函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．∴l(xiāng)n＝x，∴y＝，∴y﹣e﹣x＝，令g（x）＝，x∈（0，+∞），g′（x）＝，∴x∈（0，2）時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（2，+∞）時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴x＝2時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（2）＝．即y﹣e﹣x的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、構(gòu)造法，考查了變形的重要性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．三．解答題（共13小題）3．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時，是否存在實數(shù)m，使得方程有三個不等實根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得極值點(diǎn)；（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2﹣x（x＞0），所以ax≥lnx+1，即a≥對任意x＞0恒成立，求出右邊的最大值，即可求使f（x）≤g（x）恒成立的實數(shù)a的取值范圍；（3）假設(shè)存在實數(shù)m，使得方程有三個不等實根，即方程6lnx+8m+x2﹣8x＝0有三個不等實根，令φ（x）＝6lnx+8m+x2﹣8x，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求出m的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1，由f′（x）＞0得，f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增，f（x）的極小值點(diǎn)為x＝．（注：極值點(diǎn)未正確指出扣1分）（3分）（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2﹣x（x＞0），∴ax≥lnx+1，即a≥對任意x＞0恒成立，令h（x）＝，則h′（x）＝，由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1，∴h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，∴h（x）max＝h（1）＝1，∴a≥1，∴當(dāng)a≥1時f（x）≤g（x）恒成立．（3）假設(shè)存在實數(shù)m，使得方程有三個不等實根，即方程6lnx+8m+x2﹣8x＝0有三個不等實根，令φ（x）＝6lnx+8m+x2﹣8x，，由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3，∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ（x）的極大值為φ（1）＝﹣7+8m，φ（x）的極小值為φ（3）＝﹣15+6ln3+8m．（11分）要使方程6lnx+8m+x2﹣8x＝0有三個不等實根，則函數(shù)φ（x）的圖象與x軸要有三個交點(diǎn)，根據(jù)φ（x）的圖象可知必須滿足，解得，（13分）∴存在實數(shù)m，使得方程有三個不等實根，實數(shù)m的取值范圍是．（14分）【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．4．（2022秋?城廂區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x+ax2+blnx，曲線y＝f（x）過P（1，0），且在P處的切線斜率為2．（1）求a，b的值；（2）證明：f（x）≤2x﹣2．【分析】（1）由f（x）＝x+ax2+blnx，知f′（x）＝1+2ax+，由y＝f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2，知，由此能求出a，b．（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（I）知f（x）＝x﹣x2+3lnx，設(shè)g（x）＝f（x）﹣（2x﹣2）＝2﹣x﹣x2+3lnx，則g′（x）＝﹣，由此能證明f（x）≤2x﹣2．【解答】解：（1）∵f（x）＝x+ax2+blnx，∴f′（x）＝1+2ax+，∵y＝f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2，∴，解得a＝﹣1，b＝3．（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）知f（x）＝x﹣x2+3lnx，設(shè)g（x）＝f（x）﹣（2x﹣2）＝2﹣x﹣x2+3lnx，則g′（x）＝﹣，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）′＞0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）單調(diào)增加，在（1，+∞）單調(diào)減少．∴g（x）max＝g（1）＝0．∴g（x）＝f（x）﹣（2x﹣2）≤0，∴f（x）≤2x﹣2．【點(diǎn)評】本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查不等式的證明．解題要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．5．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求曲線y＝f（x）與直線y＝x﹣1的公共點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若對于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜ax+2恒成立，直接寫出實數(shù)a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出x＝1時的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值，再利用點(diǎn)斜式求出切線；（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為lnx＝x2﹣x根的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝lnx﹣2+x，x＞0，研究其單調(diào)性、極值情況即可；（Ⅲ）分離參數(shù)a，然后研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：x＞0，，（Ⅰ）f（1）＝0，f′（1）＝1，故切線為y＝x﹣1；（Ⅱ）只有一個公共點(diǎn)，理由：由題意得，即lnx﹣x2+x＝0，令g（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，g′（x）＝﹣（x﹣1）（2x+1），0＜x＜1時，g′（x）＞0，x＞1時，g′（x）＜0，故g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，故g（x）max＝g（1）＝0，所以g（x）只有一個零點(diǎn)1，即曲線y＝f（x）與直線y＝x﹣1只有一個公共點(diǎn)；（Ⅲ）x∈（0，+∞），不等式f（x）＜ax+2恒成立，可化為ax＞，即a＞，令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，再令φ（x）＝2x﹣2lnx+1，x＞0，，0＜x＜1時，φ′（x）＜0，x＞1時，φ′（x）＞0，故φ（1）＝3是φ（x）的極小值，也是最小值，故g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而＝﹣0＝0﹣0＝0，故a≥0即為所求，所以a的取值范圍是[0，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，進(jìn)而解決不等式恒成立問題、函數(shù)的零點(diǎn)問題等，屬于較難的題目．6．（2022秋?平江縣期末）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ln（x+m）．（1）已知點(diǎn)P（1，e）在函數(shù)f（x）的圖象上，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線方程．（2）當(dāng)m≤2時，求證f（x）＞0．【分析】（1）先利用已知求出m的值，然后求出x＝1時的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的極小值，也是最小值，然后利用基本不等式證明最小值大于零即可．【解答】解：（1）由f（1）＝e﹣ln（1+m）＝e解得m＝0，所以f（x）＝ex﹣lnx，，所以f（1）＝e，f′（1）＝e﹣1，切線方程為y﹣e＝（e﹣1）（x﹣1），即所求切線方程為（e﹣1）x﹣y+1＝0；（2）證明：f（x）得定義域為（﹣m，+∞），f′（x）＝ex，因為f″（x）＝ex＞0，故f′（x）是增函數(shù)，當(dāng)x→﹣m時，f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→+∞，所以存在x0∈（﹣m，+∞），使得①，且x∈（﹣m，x0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（x0）＝﹣ln（x0+m）②，由①式得x0＝﹣ln（x0+m）③，將①③兩式代入②式，結(jié)合m≤2得：f（x）min＝+x0＝+x0+m﹣m﹣m＝2﹣m≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝1﹣m時取等號，結(jié)合②式可知，此時f（x0）＝＞0，故f（x）＞0恒成立．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，進(jìn)而解決不等式恒成立的解題思路，屬于較難的題目．7．（2022秋?宿城區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）．（1）若?x∈[e，e2]，f（x）＜g′（x），求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)F（x）＝f（x）+g（x），討論F（x）的零點(diǎn)個數(shù)．【分析】（1）由參變量分離法可得出a＞﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）＝﹣1在[e，e2]上的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍；（2）對實數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)F（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)F（．x）的零點(diǎn)個數(shù)．【解答】解：（1）因為g（x）＝（x﹣1）2，則g（x）＝a（x﹣1），對?x∈[e，e2]，由f（x）＜g（x）可得lnx﹣x+1＜a（x﹣1），則a＞﹣1，構(gòu)造函數(shù)h（x）＝﹣1，其中x∈[e，e2]，則h′（x）＝，令t（x）＝1﹣lnx﹣，其中x∈[e，e2]，則t′（x）＝﹣＝＜0．所以，函數(shù)f（x）在[e，e2]上為減函數(shù)，則t（x）≤t（e）＝﹣＜0，故h′（x）＜0．所以，函數(shù)h（x）在[e，e2]上為減函數(shù)，h（x）max＝h（e）＝﹣1＝，故a＞，即實數(shù)a的取值范圍為（，+∞）；（2）F（x）＝f（x）+g（x）＝lnx﹣x+1+（x﹣1）2，該函數(shù)的定義域為（0，+∞），且F（1）﹣0，F(xiàn)′（x）＝﹣1+a（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣），①當(dāng)a≤0時，若0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，此時函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，若x＞1時，F(xiàn)′（x）＜0，此時函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，所以，F(xiàn)（x）≤F（1）＝0，即函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1；②當(dāng)a＞0時，由F′（x）＝＝0，可得x＝1或x＝，若＝1時，即當(dāng)a＝1時，對任意的x＞0，F(xiàn)′（x）≥0且F′（x）不恒為零，則F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由于F（1）＝0，此時函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1；若0＜＜1時，即當(dāng)a＞1時，列表如下：所以，F(xiàn)（）＞F（1）＝0，設(shè)p（x）＝ex﹣x，其中x＞0，則p′（x）＝ex﹣1＞0，所以p（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以，p（a）＝ea﹣a＞p（0）＞0，即ea＞a，所以0＜e﹣2﹣a＜e﹣a＜，所以F（e﹣2﹣a）＝﹣2﹣a﹣e﹣2﹣a+1+（e﹣2﹣a﹣1）2＜﹣1﹣a﹣e﹣2﹣a+＜0，此時函數(shù)F（x）有且只有2個零點(diǎn)，一個為1，另一個在區(qū)間（e﹣2﹣a，）內(nèi)；若＞1時，即當(dāng)0＜a＜1時，列表如下：所以，F(xiàn)（）＜F（1）＝0，因為F（+1）＝ln（+1）﹣+×（）2＝ln（+1）＞0，此時函數(shù)F（x）有兩個零點(diǎn)，一個為1，另一個在區(qū)間（，）內(nèi)，綜上所述，當(dāng)a≤0或a＝1時，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1，當(dāng)a＞1或0＜a＜1時，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為2．【點(diǎn)評】本題考查分離參數(shù)法處理不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于難題．8．（2022秋?梁園區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ex+m﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）求證：m≥﹣2時，f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立解之；（Ⅱ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)若m≥﹣2，則ex+m≥ex﹣2，轉(zhuǎn)化要證不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即ex+m﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，令g（x）＝ex+m﹣，x≥1，∴g′（x）＝ex+m+＞0，則g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）min＝g（1）＝e1+m﹣1≥0，∴m≥﹣1，∴m的取值范圍為[﹣1，+∞）；（Ⅱ）要證m≥﹣2時，f（x）＞0，只需證明ex﹣2﹣lnx＞0，令h（x）＝ex﹣2﹣lnx（x＞0），則h′（x）＝ex﹣2﹣＝，令φ（x）＝xex﹣2﹣1（x＞0），∴φ′（x）＝ex﹣2（1+x）＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上增函數(shù)，且φ（1）＝＜0，φ（2）＝2e﹣1＞0，∴?x0∈（1，2）使得φ（x）＝0，即當(dāng)x∈（0，x0）時，h′（x）＜0，h（x）減函數(shù)，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）增函數(shù)，∴h（x）min＝h（x0）＝e﹣lnx0①，而x0e﹣1＝0，∴e＝，x0﹣2＝﹣lnx0，代入①得，h（x）min＝≥0，∴m≥﹣2時，f（x）＞0．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用及轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的運(yùn)用，是高檔題．9．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+alnx．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意得g'（x）＝2x+﹣，分函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)與單調(diào)減函數(shù)討論，即可確定實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得＝（x＞0）令f′（x）＞0，則﹣1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，則x＜﹣1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．（Ⅱ）由題意得g'（x）＝2x+﹣，①若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則2x+﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，設(shè)Φ（x）＝﹣2x2，∵Φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴Φ（x）≤Φ（1）＝0，∴a≥0②若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．∴實數(shù)a的取值范圍[0，+∞）【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確運(yùn)用分離參數(shù)法是關(guān)鍵．10．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x﹣2）（a∈R）．（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：x1+3x2＞﹣a+2．【分析】（1）函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x﹣2）（a∈R），x∈（0，+∞）．f′（x）＝﹣a，對a分類討論，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時，不滿足題意，可知當(dāng)a＞0，要使得函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2，滿