2.2用樣本估計總體2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布整體設計教學分析教科書通過探究欄目引導學生思考居民生活用水定額管理問題,引出總體分布的估計問題,該案例貫穿于本節始終.通過對該問題的探究,使學生學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.教科書在這里主要介紹有關頻率分布的列表和畫圖的方法,而關于頻率分布的隨機性和規律性方面則給教師留下了較大的發揮空間.教師可以通過初中有關隨機事件的知識,也可以利用計算機多媒體技術,引導學生進一步體會由樣本確定的頻率分布表和頻率分布直方圖的隨機性；通過初中有關頻率與概率之間的關系,了解頻率分布直方圖的規律性,即頻率分布與總體分布之間的關系,進一步體會用樣本估計總體的思想.由于樣本頻率分布直方圖可以估計總體分布,因此可以用樣本頻率分布特征來估計相應的總體分布特征,這就提供了估計總體特征的另一種途徑,其意義在于：在沒有原始數據而僅有頻率分布的情況下,此方法可以估計總體的分布特征.三維目標1.通過實例體會分布的意義和作用,通過對現實生活的探究,感知應用數學知識解決問題的方法.2.在表示樣本數據的過程中,學會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法.3.通過對樣本分析和總體估計的過程,感受數學對實際生活的需要,通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當地選擇上述方法分析樣本的分布,準確地作出總體估計,認識到數學知識源于生活并指導生活的事實,體會數學知識與現實世界的聯系.重點難點教學重點：會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.教學難點:能通過樣本的頻率分布估計總佒的分布.課時安排1課時教學過程導入新課思路1在NBA的2006賽季中,甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下﹕甲運動員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙運動員得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33請問從上面的數據中你能否看出甲、乙兩名運動員哪一位發揮比較穩定？如何根據這些數據作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學習的主要內容——用樣本的頻率分布估計總體分布（板書課題）.思路2如下樣本是隨機抽取近年來北京地區7月25日至8月24日的日最高氣溫.7月25日至8月10日41．937．535．735．437．238．134．733．733．332．534．633．030．831．028．631．528．88月8日至8月24日28．631．528．833．232．530．330．229．833．132．829．825．624．730．030．129．530．3怎樣通過上表中的數據,分析比較兩時間段內的高溫（≥33℃）狀況？這就是我們這堂課要研究、學習的主要內容——用樣本的頻率分布估計總體分布.思路3討論：我們要了解我校學生每月零花錢的情況,應該怎樣進行抽樣？提問：學習了哪些抽樣方法？一般在什么時候選取什么樣的抽樣方法呢?討論：通過抽樣方法收集數據的目的是什么？（從中尋找所包含的信息,用樣本去估計總體）指出兩種估計手段：一是用樣本的頻率分布估計總體的分布,二是用樣本的數字特征（平均數、標準差等）估計總體的數字特征.這就是我們這堂課要研究、學習的主要內容——用樣本的頻率分布估計總體分布.推進新課新知探究提出問題（1）我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節約生活用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個居民月用水量標準a,用水量不超過a的部分按平價收費,超出a的部分按議價收費.如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標準a定為多少比較合理呢？你認為,為了較合理地確定出這個標準,需要做哪些工作？（讓學生展開討論）（2）什么是頻率分布？（3）畫頻率分布直方圖有哪些步驟？（4）頻率分布直方圖的特征是什么？討論結果：（1）為了制定一個較為合理的標準a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調查的方式,通過分析樣本數據來估計全市居民用水量的分布情況.分析數據的一種基本方法是用圖將它們畫出來,或者用緊湊的表格改變數據的排列方式,作圖可以達到兩個目的,一是從數據中提取信息,二是利用圖形傳遞信息.表格則是通過改變數據的構成形式,為我們提供解釋數據的新方式.下面我們學習的頻率分布表和頻率分布圖,則是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數據分布的規律.可以讓我們更清楚地看到整個樣本數據的頻率分布情況.（2）頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小；一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.（3）其一般步驟為：①計算一組數據中最大值與最小值的差,即求極差；②決定組距與組數；③將數據分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖.（4）頻率分布直方圖的特征：①從頻率分布直方圖可以清楚地看出數據分布的總體趨勢.②從頻率分布直方圖得不出原始的數據內容,把數據表示成直方圖后,原有的具體數據信息就被抹掉了.同樣一組數據,如果組距不同,橫軸、縱軸的單位不同,得到的圖和形狀也會不同.不同的形狀給人以不同的印象,這種印象有時會影響我們對總體的判斷,分別以0.1和1為組距重新作圖,然后談談你對圖的印象.提出問題（1）什么是頻率分布折線圖？（2）什么是總體密度曲線？（3）對于任何一個總體，它的密度曲線是否一定存在？是否可以被非常準確地畫出來？（4）什么叫莖葉圖？畫莖葉圖的步驟有哪些？（5）莖葉圖有什么特征？討論結果：（1）連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.（2）在樣本頻率分布直方圖中,相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠精確地反映總體在各個范圍內取值的百分比,它能給我們提供更加精細的信息.（3）實際上,盡管有些總體密度曲線是客觀存在的,但一般很難像函數圖象那樣準確地畫出來,我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計,一般來說,樣本容量越大,這種估計就越精確．（4）當數據是兩位有效數字時,用中間的數字表示十位數,即第一個有效數字,兩邊的數字表示個位數,即第二個有效數字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長出來的葉子,因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.畫莖葉圖的步驟如下：①將每個數據分為莖(高位)和葉(低位)兩部分,在此例中,莖為十位上的數字,葉為個位上的數字;②將最小莖和最大莖之間的數按大小次序排成一列,寫在左(右)側;③將各個數據的葉按大小次序寫在其莖右(左)側.（5）①用莖葉圖表示數據有兩個優點：一是從統計圖上沒有原始數據信息的損失,所有數據信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數據可以隨時記錄,隨時添加,方便記錄與表示.②莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據,而且莖葉圖只方便記錄兩組的數據,兩個以上的數據雖然能夠記錄,但是沒有表示兩個記錄那么直觀,清晰.莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數據的分布情況的.莖葉圖由所有樣本數據構成,沒有損失任何樣本信息,可以在抽樣的過程中隨時記錄(這對于教練員發現運動員現場狀態特別有用);而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息,必須在完成抽樣后才能制作.正確利用三種分布的描述方法，都能得到一些有關分布的主要特點(如分布是否具有單峰性、是否具有對稱性、樣本點落在各分組中的頻率等),這些主要特點受樣本的隨機性的影響比較小,更接近于總體分布的相應的特點.頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關系是顯然的,它們只不過是相同的數據的兩種不同的表達方式,莖葉圖和頻率分布表極為類似,事實上,莖相當于頻率分布表中的分組;莖上葉的數目相當于頻率分布表中指定區間組的頻數.應用示例思路1例1有100名學生,每人只能參加一個運動隊,其中參加足球隊的有30人,參加籃球隊的有27人,參加排球隊的有23人,參加乒乓球隊的有20人.(1)列出學生參加運動隊的頻率分布表.(2)畫出頻率分布條形圖.解：(1)參加足球隊記為1,參加籃球隊記為2,參加排球隊記為3,參加乒乓球隊記為4,得頻率分布表如下：試驗結果頻數頻率參加足球隊（記為1）300.30參加籃球隊（記為2）270.27參加排球隊（記為3）230.23參加乒乓球隊（記為4）200.20合計1001.00(2)由上表可知頻率分布條形圖如下：例2為了了解中學生的身體發育情況,對某中學17歲的60名女生的身高進行了測量,結果如下：（單位：cm）154159166169159156166162158156166160164160157151157161158153158164158163158153157162159154165166157151146151160165158163163162161154165162159157159149164168159153列出樣本的頻率分布表；繪出頻率分布直方圖.解：第一步,求極差：上述60個數據中最大為169,最小為146.故極差為：169－146＝23cm.第二步,確定組距和組數,可取組距為3cm,則組數為,可將全部數據分為8組.第三步,確定組限：［145.5,148.5),［148.5,151.5),［151.5,154.5),［154.5,157.5),［157.5,160.5),［160.5,163.5),［163.5,166.5),［166.5,169.5).第四步,列頻率分布表：分組個數累計頻數頻率［145.5,148.5)10.017［148.5,151.5)30.050［151.5,154.5)60.100［154.5,157.5)80.133［157.5,160.5)180.300［160.5,163.5)110.183［163.5,166.5)100.167［166.5,169.5)30.050合計601.000第五步,根據上述數據繪制頻率分布直方圖如下圖：以上例1和例2兩種情況的不同之處在于,前者的頻率分布表列出的是幾個不同數值的頻率,相應的條形圖是用其高度表示取各個值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在不同區間內取值的頻率,相應的直方圖是用圖表面積的大小來表示在各個區間內取值的頻率.我們在處理一個數理問題時可以采用樣本的頻率分布估計總體分布的方法,這是因為,頻率分布隨著樣本容量的增大更加接近于總體分布,當樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時,頻率分布的直方圖就演變成一條光滑的曲線——總體密度曲線.這條曲線是客觀存在的,但是我們卻很難將它準確地畫出,我們只能用樣本的頻率分布去對它進行估計.基于頻率分布與相應的總體分布有這種關系,再加上我們通常并不知道一個總體的分布,我們往往是從一個總體中抽取一個樣本,用樣本的頻率去估計相應的總體分布.一般說來,樣本的容量越大,這種估計就越精確.例3從某校高一年級的1002名新生中用系統抽樣的方法抽取一個容量為100的身高樣本,如下（單位：cm）．作出該樣本的頻率分布表，并估計身高不小于170(cm)的同學所占的百分率．168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166解：（1）在全部數據中找出最大值180與最小值151,它們相差（極差）29,決定組距為3；（2）將區間［150.5,180.5］分成10組；分別是［150.5,153.5),［153.5,156.5),…,［177.5,180.5)；（3）從第一組［150.5,153.5)開始分別統計各組的頻數,再計算各組的頻率,列頻率分布表：分組頻數累計頻數頻率［150.5,153.5)440．04［153.5,156.5)1280．08［156.5,159.5)2080．08［159.5,162.5)31110．11［162.5,165.5)53220．22［165.5,168.5)72190．19［168.5,171.5)86140．14［171.5,174.5)9370．07［174.5,177.5)9740．04［177.5,180.5)10030．03合計1001根據頻率分布表可以估計,估計身高不小于170的同學所占的百分率為：［0.14×+0.07+0.04+0.03］×100%=21%．點評：一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求極差,決定組數和組距；（2）分組,通常對組內的數值所在的區間取左閉右開區間；（3）登記頻數,計算頻率,列出頻率分布表．思路2例1下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高(單位：cm).區間界限［122,126)［126,130)［130,134)［134,138)［138,142)人數58102233區間界限［142,146)［146,150)［150,154)［154,158)人數116520(1)列出樣本頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計身高小于134cm的人數占總人數的百分比.分析：根據樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題.解：（1）樣本頻率分布表如下：分組頻數頻率［122,126)50.04［126,130)80.07［130,134)100.08［134,138)220.18［138,142)330.28［142,146)200.17［146,150)110.09［150,154)60.05［154,158)50.04合計1201（2）其頻率分布直方圖如下：（3）由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所以我們估計身高小于134cm的人數占總人數的19%.例2為了了解高一學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后,畫出頻率分布直方圖(如下圖),圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數在110以上（含110次）為達標,試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？分析：在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應各組的頻率,小長方形的高與頻數成正比,各組頻數之和等于樣本容量,頻率之和等于1.解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各小組內的頻率大小,因此第二小組的頻率為：=0.08；又因為頻率=，所以樣本容量==150.（2）由圖可估計該學校高一學生的達標率約為×100%=88%.例3甲、乙兩籃球運動員在上賽季每場比賽的得分如下,試比較這兩位運動員的得分水平．甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.解：畫出兩人得分的莖葉圖如下：從這個莖葉圖可以看出甲運動員的得分大致對稱,平均得分及中位數、眾數都是30多分；乙運動員的得分除一個51外,也大致對稱,平均得分及中位數、眾數都是20多分,因此甲運動員發揮比較穩定,總體得分情況比乙好．知能訓練1.下面是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖,據下圖可知（）A.甲運動員的成績好于乙運動員B.乙運動員的成績好于甲運動員C.甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異D.甲運動員的最低得分為0分答案：A2.有一個容量為45的樣本數據,分組后各組的頻數如下：(12.5,15.5］,3;(15.5,18.5］,8;(18.5,21.5］,9;(21.5,24.5］,11;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估計,不大于27.5的數據約為總體的（）A.91%B.92%C.95%D.30%答案：A3.一個容量為20的樣本數據,數據的分組及各組的頻數如下：（10,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.則樣本在區間（10,50）上的頻率為（）A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05答案：B4.一個高中研究性學習小組對本地區2000年至2002年快餐公司發展情況進行了調查,制成了該地區快餐公司個數情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數情況條形圖（如下圖）,根據圖中提供的信息可以得出這三年中該地區每年平均銷售盒飯____________萬盒．快餐公司個數情況圖快餐公司盒飯年銷售量的平均數情況圖答案：85拓展提升為了了解一大片經濟林生長情況,隨機測量其中的100株的底部周長,得到如下數據表（單位：cm）.135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；（3）估計該片經濟林中底部周長小于100cm的樹木約占多少？周長不小于120cm的樹木約占多少？解：（1）這組數據的最大值為135,最小值為80,極差為55,可將其分為11組,組距為5．頻率分布表如下：分組頻數頻率頻率/組距［80,85)10.010.002［85,90)20.020.004［90,95)40.040.008［95,100)140.140.028［100,105)240.240.048［105,110)150.150.030［110,115)120.120.024［115,120)90.090.018［120,125)110.110.022［125,130)60.060.012［130,135］20.020.004合計10010.2（2）直方圖如下圖：（3）從頻率分布表得,樣本中小于100的頻率為0.01+0.02+0.04+0.14=0.21,樣本中不小于120的頻率為0.11+0.06+0.02=0.19,估計該片經濟林中底部周長小于100cm的樹木約占21%,周長不小于120cm的樹木約占19%．課堂小結總體分布指的是總體取值的頻率分布規律,由于總體分布不易知道,因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布.總體的分布分兩種情況：當總體中的個體取值很少時,用莖葉圖估計總體的分布；當總體中的個體取值較多時,將樣本數據恰當分組,用各組的頻率分布描述總體的分布,方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖.作業習題2.2A組1、2.設計感想本節課是高一新課程必修三第二章《統計》中的第二節《用樣本估計總體》的第一節課,盡管用樣本估計總體是一種實用性很強,操作煩瑣、麻煩的工作,但卻是統計學中常用的方法,在生產、生活中應用非常廣泛.用樣本估計總體,其實就是一種“以偏概全”“以部分代替全部”的思想.雖然有貶義的成分,但我們還是要認真去教好學好,而且,這也是平時考試和高考中的重點內容之一.本節要解決的問題就是:為何要用樣本估計總體——社會生產、生活的實際需要(必要性),如比賽、競技中預測結果,評判質量誰好誰差,水平誰高誰低經常要用到.如何去用樣本估計總體——用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布；怎樣用樣本估計總體——作出樣本頻率分布表或頻率分布直方圖，懂得用“數據”語言說話.另外,本節課通過選取一些學生特別關心的身邊事例,對學生進行思想情操教育、意志教育并增強學生的自信心,使學生養成良好的學習態度.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發現水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節約用水就等于保護我們人類自己。

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節約用水的道理，浪費