：數學歸納法【考點梳理】考點一：數學歸納法1．數學歸納法：一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以當“n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．這種證明方法叫做數學歸納法．2．數學歸納法的證明形式記P(n)是一個關于正整數n的命題．我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結論：P(n)為真．3.數學歸納法中的兩個步驟在數學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．【題型歸納】題型一：數學歸納法的定義1．（2023下·陜西西安·高二期中）用數學歸納法證明“”時，第二步應假設（

）A．當時，成立B．當時，成立C．當時，成立D．當時，成立2．（2023下·河南駐馬店·高二統考期中）用數學歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．3．（2023下·四川成都·高二校考階段練習）用數學歸納法證明“對任意的，都有，第一步應該驗證的等式是（

）A． B．C． D．題型二：數學歸納法證明恒等式4．（2021·高二課時練習）用數學歸納法證明的過程中，第二步假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，則當n＝k＋1時應得到的式子為.5．（2022·高二課時練習）用數學歸納法證明“”時，當時，應證明的等式為．6．（2023上·高二課時練習）用數學歸納法證明以下恒等式：(1)；(2).題型三：數學歸納法證明整除問題7．（2022·高二課時練習）已知，存在自然數，使得對任意，都能使整除，則最大的的值為．8．（2023·全國·高二隨堂練習）設，用數學歸納法證明：是64的倍數．9．（2022·四川眉山·統考三模）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數列前n項和，___________.(1)求的通項公式；(2)證明：對一切，能被3整除.題型四：數學歸納法證明數列問題10．（2023上·高二課時練習）已知數列：，，，…，，…，設為該數列的前，，，的值；根據計算的結果，猜想（為正整數）的表達式，并用數學歸納法加以證明.11．（2023上·高二課時練習）設數列的各項均為正整數，且．記．如果對于所有的正整數均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．12．（2023下·北京房山·高二統考期末）已知數列的通項公式為，記該數列的前n項和為．(1)計算，，，的值；(2)根據計算結果，猜想的表達式，并進行證明．題型五：數學歸納法證明不等式13．（2019·上海寶山·統考二模）用數學歸納法證明對任意的自然數都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．414．（2022下·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學校考階段練習）已知，用數學歸納法證明時，比多了項．15．（2022下·廣西玉林·高二校聯考期中）（1）請用分析法證明：；（2）用數學歸納法證明不等式：．題型六：數學歸納法解決探究性問題16．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考階段練習）已知函數.(1)依次求，，的值；(2)對任意正整數n，記，即.猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明.17．（2022·高二課時練習）請觀察下列三個式子：①；②；③．歸納出一般的結論，并用數學歸納法證明．18．（2022·高二課時練習）（1）分別計算：，，的值；（2）根據（1）的計算，猜想的表達式；（3）用數學歸納法證明你的猜想．【雙基達標】一、單選題19．（2023下·上海·高二期中）用數學歸納法證明“當為正奇數時，能被整除”，第二步歸納假設應寫成（）A．假設正確，再推正確B．假設正確，再推正確C．假設正確，再推正確D．假設正確，再推正確20．（2023下·上海·高二期末）用數學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數式為（）A． B． C． D．21．（2023下·北京豐臺·高二統考期中）用數學歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應當增加的項為（

）A． B．C． D．22．（2023下·高二課時練習）用數學歸納法證明時，由的假設證明時，不等式左端的變化是（

）A．增加項 B．增加和兩項C．增加和兩項，減少項 D．以上結論均不正確23．（2023下·北京·高二北京八中校考期中）在用數學歸納法證明的過程中，從“到”左邊需增乘的代數式為（

）A． B．C． D．24．（2023·全國·高二隨堂練習）用數學歸納法證明：．25．（2023上·高二課時練習）用數學歸納法證明：(1)；(2)．26．（2023·全國·高二課堂例題）設，．(1)當時，計算的值；(2)你對的值有何猜想？用數學歸納法證明你的猜想．【高分突破】一：選擇題27．（2023·高二課時練習）用數學歸納法證明（，，是正整數），在驗證時，左邊所得的項為（

）A．1 B． C． D．28．（2022下·上海徐匯·高二上海市西南位育中學校考期末）用數學歸納法證明：“”，設，從到時（

）A． B．C． D．29．（2022·上海·高二專題練習）已知為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設（，且為偶數）時等式成立，則還需利用假設再證（）A．時不等式成立 B．時不等式成立C．時不等式成立 D．時不等式成立30．（2022上·上海·高二期中）已知是關于正整數n的命題，現在小杰為了證明該命題，已經證明了命題、、均成立，并對任意的且，在假設成立的前提下，證明了成立，其中m為某個固定的整數，若要用上述證明說明對一切且均成立，則m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．不存在31．（2022上·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期中）我們學習了數學歸納法的相關知識，知道數學歸納法可以用來證明與正整數n相關的命題.下列三個證明方法中，可以證明某個命題對一切正整數n都成立的是（

）①成立，且對任意正整數k，“當時，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且對任意正整數k，“成立”可以推出“成立”③成立，且對任意正整數，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③二、多選題32．（2023下·廣東珠海·高二珠海市斗門區第一中學校考期中）以下四個命題，其中滿足“假設當時命題成立，則當時命題也成立”，但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內角和為D．凸n邊形的對角線條數33．（2022上·山東淄博·高三校聯考階段練習）小明和小童兩位同學玩構造數列小游戲,規則是:首先給出兩個數字1,10,然后小明把兩數之積插入這兩數之間得到第一個新數列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項的積插入此兩項之間,得到第二個新數列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數列．假設第n個新數列是:記:,則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．34．（2022·高二課時練習）下列結論能用數學歸納法證明的是（

）A．B．C．D．35．（2021下·江蘇無錫·高二校考期中）對于不等式，某學生用數學歸納法的證明過程如下：①當時，，不等式成立②假設，時，不等式成立，即，則時，，∴當時；不等式成立．關于上述證明過程的說法正確的是（）A．證明過程全都正確B．當時的驗證正確C．歸納假設正確D．從到的推理不正確36．（2021·高二課時練習）對于不等式，某同學運用數學歸納法的證明過程如下：①當時，，不等式成立.②假設當時，不等式成立，即，則當時，，所以當時，不等式成立.上述證法（

）A．過程全部正確 B．時證明正確C．過程全部不正確 D．從到的推理不正確三、填空題37．（2023上·上海靜安·高二上海市回民中學校考期中）用數學歸納法證明（，）的過程中，當時，左端應在時的左端上加上38．（2023下·高二課時練習）已知，則．39．（2023·高二課時練習）若，，（是正整數），寫出數列的前幾項后猜測．40．（2022上·上海徐匯·高二位育中學校考期末）用數學歸納法證明等式時，第（ii）步從n=k到n=k+1時等式左邊應添加的項是41．（2022下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）觀察下列數表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…設1025是該表第m行的第n個數，則.四、解答題42．（2023上·高二課時練習）已知數列滿足嘗試通過計算數列的前四項，猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明．43．（2023上·高二課時練習）（1）依次計算下列各式的值：，，，．（2）根據第（1）題的計算結果，猜想（為正整數）的表達式，并用數學歸納法證明相應的結論．44．（2023上·高二課時練習）請指出下列各題用數學歸納法證明過程中的錯誤．(1)設為正整數，求證：．證明：假設當（為正整數）時等式