2024屆新教材二輪復習超幾何分布的綜合應用學案素養(yǎng)導引1.能利用超幾何分布概率模型解決簡單的實際問題.(數(shù)學建模)2.通過實例理解超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系.(邏輯推理)學習任務一超幾何分布概率模型在實際問題中的應用(數(shù)據(jù)分析)【典例1】(1)杭州亞運會志愿者有6名男同學,4名女同學.在這10名志愿者中,3名同學來自浙江大學,其余7名同學來自浙江傳媒大學,杭州師范大學等其他互不相同的7所大學.現(xiàn)從這10名志愿者中隨機選取3名同學,到機場參加活動.(每位同學被選中的可能性相等).①求選出的3名同學是來自互不相同的大學的概率;②設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù),求隨機變量X的期望和方差.【解析】①設事件A為選出的3名同學是來自互不相同的大學,則P(A)=C31C②由題可知,隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X=0)=C40C63C103=16P(X=2)=C42C61C103=310則X的分布列為X0123P1131所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1D(X)=(0-65)2×16+(1-65)2×12+(2-65)2×310+(3-65(2)(2023·上饒高二檢測)為了解某高校學生每天的運動時間,隨機抽取了100名學生進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的學生每天平均運動時間的頻率分布直方圖,將每天平均運動時間不低于40分鐘的學生稱為“運動族”.①用樣本估計總體,已知某學生每天平均運動時間不低于20分鐘,求該學生是“運動族”的概率;②從樣本里的“運動族”學生中隨機選取兩位同學,用隨機變量X表示每天平均運動時間在40~50分鐘的學生數(shù),求X的分布列及期望.【解析】①由頻率分布直方圖可知,10×(0.01+0.018+0.022+0.025+0.020+a)=1,解得a=0.005.設某學生每天平均運動時間不低于20分鐘為事件A,P(A)=0.72;該學生是“運動族”為事件B,因為P(AB)=0.25,所以該學生每天平均運動時間不低于20分鐘的條件下是“運動族”的概率為P(B|A)=P(AB)P(②由題意可知,樣本中共有“運動族”學生25人,運動時間在40~50分鐘的學生為20人,所以X=0,1,2.P(X=0)=C52C252=130;P(P(X=2)=C202C則X的分布列為X012P1119E(X)=0×130+1×13+2×1930【思維提升】超幾何分布概率模型在實際問題中的應用對于服從超幾何分布的概率模型,通過公式可以計算概率,列出分布列,求期望,利用這些數(shù)字特征,可以解決實際中的相關問題.【即學即練】1.(2023·瓦房店高二檢測)共享電動車是一種新的交通工具,通過掃碼開鎖,實現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到某大學探訪,在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車,這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色,已知從這些共享電動車中任取1輛,取到的是橙色的概率為0.4,若從這些共享電動車中任意抽取3輛.(1)求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率;(2)求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.【解析】(1)因為從10輛共享電動車中任取一輛,取到橙色的概率為0.4,所以橙色的電動車有4輛,熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”,則P(A)=C62C(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.則P(X=0)=C63CP(X=1)=C62CP(X=2)=C61C42C103=310則X的分布列為X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×12.某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學生的學習成果,該校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行測試,記錄他們的成績,測試卷滿分100分,將數(shù)據(jù)分成6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如下頻率分布直方圖:(1)在樣本中,從其成績在80分及以上的學生中隨機抽取3人,用X表示其成績在[90,100]中的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望;(2)在(1)抽取的3人中,用Y表示其成績在[80,90)的人數(shù),試判斷方差D(X)與D(Y)的大小.(直接寫結果)【解析】(1)由題可知成績在80分及以上的學生共有50×(0.20+0.10)=15人,其中[90,100]中的人數(shù)為5,所以X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C103C153=2491,P(P(X=2)=C101C52C153=2091則X的分布列為X0123P2445202E(X)=0×2491+1×4591+2×2091(2)D(X)=D(Y).學習任務二超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系(邏輯推理)【典例2】(2023·天津高二檢測)已知條件①采用無放回抽取;②采用有放回抽取.請在上述兩個條件中任選一個,補充在下面問題中橫線上并作答,選兩個條件作答的以條件①評分.問題:在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球,這些球除顏色外完全相同,若____________,從這7個球中隨機抽取3個球,記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

【解析】若選①,由題可知,隨機變量X的可能值為0,1,2,3,P(X=0)=C43CP(X=1)=C31CP(X=2)=C32CP(X=3)=C33C則X的分布列為X0123P418121E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×1若選②,由題可知,隨機變量X的可能值為0,1,2,3,且X~B(3,37P(X=0)=C30(1-37)3P(X=1)=C3137(1-37P(X=2)=C32(37)2P(X=3)=C33(37則X的分布列為X0123P6414410827E(X)=3×37=9【思維提升】超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,而二項分布描述的是放回抽樣問題;(2)超幾何分布中的概率計算實質(zhì)上是古典概型問題,二項分布中的概率計算實質(zhì)上是相互獨立事件的概率問題.2.聯(lián)系當調(diào)查研究的樣本容量非常大時,在有放回地抽取與無放回地抽取條件下,計算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認為是二項分布.【即學即練】1.一個袋子中有100個大小、形狀相同的球,其中有40個黃球,60個白球,從中不放回地隨機抽出20個球作為樣本,用隨機變量X表示樣本中黃球的個數(shù),則X服從 ()A.二項分布,且E(X)=8B.兩點分布,且E(X)=12C.超幾何分布,且E(X)=8D.超幾何分布,且E(X)=12【解析】選C.由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本,結合超幾何分布的定義得X服從超幾何分布,所以E(X)=40×20100=82.袋中有6個白球、3個黑球,從中隨機地連續(xù)抽取2次,每次取1個球.(1)若每次抽取后都放回,設取到黑球的次數(shù)為X,求X的分布列和期望;(2)若每次抽取后都不放回,設取到黑球的個數(shù)為Y,求Y的分布列和期望.【解析】(1)由題意每次抽取后都放回可知,取得黑球的次數(shù)X的可能取值為0,1,2,其中每次抽取到黑球的概率均為13所以2次取球可以看成2次的獨立重復試驗,則X~B(2,13P(X=0)=C20(13)0(1-1P(X=1)