《自行車里的數(shù)學》教案全套教學內(nèi)容教科書P67。教學目標1.理解并掌握自行車“蹬一圈走多遠”的計算方法，探索變速自行車的速度與其內(nèi)在結構的關系。2.經(jīng)歷“提出問題——分析問題——建立數(shù)學模型——實際應用”的解決問題的基本過程，獲得解決問題的思考方法，進一步學習建模思想。3.通過解決問題感受數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識。教學重點研究普通自行車的速度與其內(nèi)在結構的關系以及變速自行車能變化出多少種速度。教學難點研究普通自行車的前、后齒輪的齒數(shù)與它們的轉(zhuǎn)數(shù)的關系。教學準備課件，指定部分學生課前測量結果。教學過程一、出示自行車圖片，揭示課題課件出示圖片。師：我們國家是一個自行車大國，每天馬路上來往的自行車熙熙攘攘。其實自行車里包含許多的數(shù)學知識。【教學提示】雖然在生活中學生都見過自行車，但從數(shù)學的角度來研究自行車里的問題，學生是第一次，應鼓勵學生大膽提出問題，帶著問題進入學習。師：你想了解自行車里的哪些數(shù)學知識？【學情預設】預設1：我想知道自行車蹬一圈能走多遠？預設2：自行車是后輪帶動前輪，還是前輪帶動后輪？預設3：為什么前后兩個齒輪有大有?。款A設4：變速自行車是怎么變速的呢？……師：今天我們就一起研究自行車里的數(shù)學。(板書課題：自行車里的數(shù)學)【設計意圖】開門見山，引導學生用數(shù)學的眼光觀察自行車，鼓勵學生提出想探究的問題，激發(fā)學生的學習興趣。二、研究普通自行車的速度與內(nèi)在結構的關系1.提出問題。師：知道一輛自行車蹬一圈能走多遠嗎？怎樣解決這個問題呢？【學情預設】學生可能會說：通過直接測量來解決問題，或者觀察蹬一圈時車輪轉(zhuǎn)幾圈，再用車輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)乘車輪周長就可以了。第一種方法學生容易想到，第二種方法，學生可能會想到是蹬踏板一圈，車輪轉(zhuǎn)幾圈，而不易想到前齒輪轉(zhuǎn)一圈，后齒輪轉(zhuǎn)幾圈的問題。2.分析問題，探索方法。(1)交流比較，優(yōu)化方法。師：課前，我請幾位同學對一輛自行車蹬一圈所行路程進行了獨立測量，請他們來匯報一下測量結果?！緦W情預設】學生的匯報可能結果各不相同。此時，教師要引導學生反思原因——測量不太準確導致誤差很大，進而引導學生關注第二種方法。這時需要知道：蹬一圈時車輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)和車輪的直徑或半徑。(2)觀察發(fā)現(xiàn)問題關鍵。師：要想知道自行車蹬一圈能走多遠，我們還得了解自行車的結構和行進原理?！窘虒W提示】“前齒輪轉(zhuǎn)一圈時，后齒輪轉(zhuǎn)幾圈”是解決問題的關鍵，也是本節(jié)課的難點。教學中分兩個層次進行，第一個層次逐步引導學生從自行車的內(nèi)部結構出發(fā)，去思考探究“蹬一圈，車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”這個未知條件；第二個層次通過生動的動態(tài)演示，將研究“蹬一圈，車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”轉(zhuǎn)化為研究“前齒輪轉(zhuǎn)一圈時，后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”。注意讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，充分體驗、領悟、探究，逐步完善建模的過程。(課件播放自行車行進的動畫，請學生仔細觀察并討論。)【學情預設】學生能觀察到踏板蹬一圈，只是前齒輪轉(zhuǎn)一圈，車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)實際就是后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。個別學生說出來后，教師應強化。咱們再看一次課件展示，看是不是這樣。師：照這樣分析，解決問題的關鍵是：蹬踏板一圈即前齒輪轉(zhuǎn)一圈，而此時后齒輪轉(zhuǎn)幾圈呢？怎樣才能知道呢？(3)觀察研究，建立數(shù)學模型。師：前、后兩個齒輪通過鏈條連接在一起。前齒輪轉(zhuǎn)動一個齒，鏈條怎么動？后齒輪怎么動？(課件出示自行車踏板慢慢轉(zhuǎn)動一圈，學生觀察前、后齒輪之間的傳動關系。)【學情預設】學生能觀察到鏈條間的孔與前、后兩個齒輪的每一個齒一一對應，前齒輪轉(zhuǎn)動一個齒，后齒輪也一定轉(zhuǎn)動一個齒。師：前、后齒輪的齒數(shù)與它們的轉(zhuǎn)數(shù)有什么關系？【學情預設】思維水平較高的學生會先說出，前齒輪轉(zhuǎn)動一圈的長度就是鏈條走過的長度，后齒輪也要轉(zhuǎn)動同樣的長度，所以前齒輪的齒數(shù)×前齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)=后齒輪的齒數(shù)×后齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)。此時，教師不要急于表態(tài)，讓學生多說一說。（根據(jù)學生的回答板書：前齒輪的齒數(shù)×前齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)=后齒輪的齒數(shù)×后齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)）師：大家已經(jīng)知道，自行車蹬一圈，也就是前齒輪轉(zhuǎn)一圈，那么后齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)怎么表示？小組討論后交流總結。【學情預設】學生根據(jù)比例的基本性質(zhì)，推理說明：前齒輪轉(zhuǎn)動一圈時，后齒輪轉(zhuǎn)數(shù)=。教師根據(jù)學生回答板書。師：那么自行車蹬一圈走的距離怎么計算？【學情預設】自行車蹬一圈的距離=×車輪周長教師根據(jù)學生的回答板書?！驹O計意圖】教學時，密切聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，引導學生開展觀察、操作、推理等活動，獲得基本的數(shù)學知識和技能。3.運用模型，解決問題。出示課件。【學情預設】根據(jù)自行車蹬一圈的距離=×車輪周長，第(1)題是0.8π×=10.048(m)，第(2)題是0.8π×=7.536(m)?！驹O計意圖】這一環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷了“提出問題——思考方案——觀察分析——找到解決問題關鍵——進一步觀察研究——建立數(shù)學模型——利用模型解決問題”的過程，在問題導向下引導學生學會思考的方法，積累良好的思考經(jīng)驗和解決問題的經(jīng)驗。三、研究變速自行車能變化出多少種速度1.問題導入。師：我們解決了A、B兩輛自行車蹬一圈行多少米的問題。如果是你，愿意騎哪輛自行車？為什么？【學情預設】學生會說出選擇A車，因為同樣蹬一圈，A車行的距離長。教師追問：仔細觀察，為什么同樣蹬一圈，A車行的距離長呢？引導學生觀察到兩輛自行車的車輪直徑相同，車輪的周長相等，前齒輪的齒數(shù)也相同，區(qū)別在于后齒輪的齒數(shù)不同。師：其實這也是變速自行車能變速的原因，下面我們就來研究變速自行車的速度的變化吧！2.小組研究，探究規(guī)律。師：這輛變速自行車，有2個前齒輪和6個后齒輪，它能變化出多少種速度呢？（出示課件）【學情預設】學生會說6×2=12(種)。教師此時不作評價。學生以小組為單位討論交流，完成教科書P67的表格。師：觀察前、后齒輪齒數(shù)的比值，你認為這輛變速自行車能變化出12種速度嗎？【學情預設】預設1：有2種組合的比值是一樣的。預設2：應該是12種組合，11種速度。師：再想一想，蹬同樣的圈數(shù)，哪種組合使自行車走得最遠？【學情預設】指導學生說出：蹬同樣的圈數(shù)，前、后齒輪的齒數(shù)的比值越大，自行車走得越遠。(板書：蹬同樣的圈數(shù)，變速自行車前、后齒輪的齒數(shù)的比值越大，走得越遠。)【設計意圖】再次經(jīng)歷“分析問題——建立數(shù)學模型——求解”的過程，培養(yǎng)學生綜合運用所學知識，積累活動經(jīng)驗，提高應用意識的能力。四、拓展延伸，實際應用師：自行車里蘊含著豐富的數(shù)學問題，變速自行車的發(fā)明大大解決了我們面對不同路況的需要。你覺得在上坡時怎樣搭配前、后齒輪更合理？請同學們課后思考并解決此問題。【教學提示】學生在小組內(nèi)交流時，教師要及時巡視指導，提醒學生將前輪齒數(shù)與后輪齒數(shù)的比化簡為最簡比，再通過比較比值的大小得出結論?！驹O計意圖】使學生了解數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系，還可以培養(yǎng)學生從不同的角度發(fā)現(xiàn)實際問題中所包含的數(shù)學信息的能力。從省力的角度考慮，上坡的時候應該前小輪，后大輪。五、課堂小結師：通過今天的學習活動，你們發(fā)現(xiàn)了自行車里運用到以前學過的哪些數(shù)學知識？(圓的周長、排列組合、比例等)你有哪些收獲？教學反思學生學習本節(jié)課的主要障礙在于對自行車的內(nèi)部結構和驅(qū)動原理缺乏了解，對所研究的問題本身存在認識上的誤區(qū)，無法從數(shù)學的角度在“蹬一圈”和“走多遠”之間建立起聯(lián)系。在教學中，引導學生分析問題，觀察得到“蹬一圈就是前齒輪轉(zhuǎn)一圈”“車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)實際是后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”，從而找到解決問題的關鍵：“當前齒輪轉(zhuǎn)一圈時，后齒輪轉(zhuǎn)幾圈？”接下來引導學生重點研究這個問題，數(shù)學模型伴隨著這個關鍵問