2024屆山西省忻州市靜樂一中數學高三第一學期期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或2．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．3．等比數列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．4．已知正方體的體積為，點，分別在棱，上，滿足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．7．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知函數是定義在上的奇函數，函數滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．9．已知函數在上都存在導函數，對于任意的實數都有，當時，，若，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個命題：①對滿足題意的任意的的位置，；②對滿足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立11．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當x∈[﹣3，﹣2]時，f（x）＝﹣x﹣2，則（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四面體中，分別是的中點．則下述結論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結論的編號）14．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．15．某地區連續5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數據的標準差為_______.16．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數依次成等差數列，現用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F為其右焦點，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.18．（12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．19．（12分）為了解網絡外賣的發展情況，某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調查了甲乙兩家網絡外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數1223訂單：（單位：萬件）頻數402020102（1）現規定，月訂單不低于13萬件的城市為“業績突出城市”，填寫下面的列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.業績突出城市業績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數（單位：萬件）近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數位于區間的城市個數，求的數學期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業績，據統計，開展此活動后城市每月外賣訂單數將提高到平均每月9萬件的水平，現從全國各月訂單數不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.20．（12分）已知數列的各項都為正數，，且．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，其中表示不超過x的最大整數，如，，求數列的前2020項和．21．（12分）已知函數，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數，，滿足，求證：．22．（10分）已知函數的定義域為.（1）求實數的取值范圍；（2）設實數為的最小值，若實數，，滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據正弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.2、C【解析】

設，根據題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，，是單位向量，,，，聯立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.3、A【解析】

利用等比數列的性質可得，即可得出．【詳解】設與的等比中項是．

由等比數列的性質可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題．4、D【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，可得當時最小，設正方體的棱長為，得，進一步求出四面體的體積即可．【詳解】解：如圖，

∵點M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，三線共線時，最小，

∴

設正方體的棱長為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設到的距離為，

設到平面的距離為，

.

故選D．【點睛】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計算能力，是中檔題．5、D【解析】

結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.6、A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A7、A【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.【詳解】由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，丁：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點睛】本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.8、D【解析】

說明函數是周期函數，由周期性把自變量的值變小，再結合奇偶性計算函數值．【詳解】由知函數的周期為4，又是奇函數，，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎．9、B【解析】

先構造函數，再利用函數奇偶性與單調性化簡不等式，解得結果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數，從而等價于，因此選B.【點睛】本題考查利用函數奇偶性與單調性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.10、A【解析】

作出二面角的補角、線面角、線線角的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】①如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、B【解析】

根據函數的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函數f（x）在定義域上的圖象，由此結合選項判斷即可.【詳解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函數且周期為2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]時的圖象，然后根據周期為2依次平移，并結合f（x）是偶函數作出f（x）在R上的圖象如下，選項A，，所以，選項A錯誤；選項B，因為，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），選項B正確；選項C，，所以，即，選項C錯誤；選項D，，選項D錯誤.故選：B.【點睛】本題考查函數性質的綜合運用，考查函數值的大小比較，考查數形結合思想，屬于中檔題.12、A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④．【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據四面體特征，可以補圖成長方體設其邊長為，，解得補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點睛】此題考查根據幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關鍵在于熟練掌握點線面位置關系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.14、.【解析】分析：由題意結合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.15、【解析】

先求出這組數據的平均數，再求出這組數據的方差，由此能求出該組數據的標準差．【詳解】解：某地區連續5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數為：，該組數據的方差為：，該組數據的標準差為1．故答案為：1．【點睛】本題考查一組數據據的標準差的求法，考查平均數、方差、標準差的定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．16、【解析】

由三個年級人數成等差數列和總人數可求得高二年級共有人，根據抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數為人．故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數列的相關知識，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m【點睛】本題考查了橢圓內的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：（1）設直線，直線方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理求根與系數的關系，并表示直線的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程為．設點的橫坐標為，直線與橢圓方程聯立求點的坐標，第二步再整理點的坐標，如果能構成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿足，的條件就說明存在，否則不存在.試題解析：解：(1)設直線，，，．∴由得，∴，．∴直線的斜率，即．即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線過點，∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設點的橫坐標為．∴由得，即將點的坐標代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當的斜率為或時，四邊形為平行四邊形．考點：直線與橢圓的位置關系的綜合應用【一題多解】第一問涉及中點弦，當直線與圓錐曲線相交時，點是弦的中點，（1）知道中點坐標，求直線的斜率，或知道直線斜率求中點坐標的關系，或知道求直線斜率與直線斜率的關系時，也可以選擇點差法，設,，代入橢圓方程，兩式相減，化簡為，兩邊同時除以得，而,,即得到結果，（2）對于用坐標法來解決幾何性質問題，那么就要求首先看出幾何關系滿足什么條件，其次用坐標表示這些幾何關系，本題的關鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分，即，分別用方程聯立求兩個坐標，最后求斜率.19、（1）見解析，有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.（2）①4.911②100萬元.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數量，即可完善列聯表.通過計算的觀測值，即可結合臨界值作出判斷.（2）①先根據所給數據求得樣本平均值，根據所給今年3月訂單數區間，并由及求得，.結合正態分布曲線性質可求得，再由二項分布的數學期望求法求解.②訂單數低于7萬件的城市有和兩組，根據分層抽樣的性質可確定各組抽取樣本數.分別計算出開展營銷活動與不開展營銷活動的利潤，比較即可得解.【詳解】（1）對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數量為，對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數量為.由以上數據完善列聯表如下圖，業績突出城市業績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為，∴有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.（2）①樣本平均數，故==，，的數學期望，②由分層抽樣知，則100個城市中每月訂單數在區間內的有（個），每月訂單數在區間內的有（個），若不開展營銷活動，則一個月的利潤為（萬元），若開展營