線性二次型調節最優控制問題目錄TOC\o"1-1"\h\z\u2.1反饋結構 22.2優化調節 22.3狀態反饋線性二次型最優調節 42.4穩定性和魯棒性 42.5應用LQR的回路控制 72.6MATLAB仿真 92.7展望 102.8練習 11

2.1反饋結構圖1展示了線性二次型問題的反饋結構。圖2-1線性二次型調節的反饋結構。標注了負反饋和參考信號的缺失。在這個結構中，狀態空間模型的形式有兩個明顯地輸出。（2.1）1、測量輸出的控制信號和有效的可被測量的控制系統相類似。如果控制器轉移矩陣是C(s)，我們可以得到如下的方程，式中Y(s)和U(s)分別指的是過程輸入u(t)和測量輸出y(t)的拉氏變換。2、控制輸出與一個期望在盡可能短的時間量內使信號盡可能小的信號相一致。有時，z(t)=y(t),那意味著我們的控制目標是使整個的測量輸出非常小。然而，當輸出y(t)是一個矢量，經常需要使測量y1(t)輸出很小。在這種情況下，我們選擇z(t)=y1(t).在一些情況下，選擇，那就意味著我們想要測量輸出y1(t)和它的導數這兩個量非常的小。許多其他的選擇夜可能實現這一特征。z應該被做為一個設計參數來看待。在第2.5節我們將要學習在閉環控制系統下選擇參數對系統的影響。2.2優化調節線性二次型優化問題被定義為以下的內容：問題1（線性二次型優化問題）控制器的轉移矩陣C(s)使以下的特征值盡可能的小。（2.2）在這里是一個正的常量，這項與控制輸出的能量和項t具有相一致的控制信號能量。在線性二次型最優調節中主要是尋找一個具有兩個最小能量的控制器。然而，增長的控制輸出能量要求一個大的控制信號和一個小的控制信號，它們將會引導一個大的控制輸出。常數的作用是為了在這些相沖突的目標之間建立一個權衡比：1、當我們選擇的非常大的時候，最有效的途徑是用小的控制去增長，以一個大的控制輸出作為結果。2、當我們選擇非常小的時候，最有效的方法是增長得到一個非常小的控制輸出，即使這是一個以大的控制輸出作為代價去實現的控制系統。經常，線性二次型最優問題是被定義的更籠統，它與找到控制器的轉移矩陣C(s)有關系，它的最小值如下：這里Q是一個維的系統正定矩陣，R是一個維的正定矩陣，是一個正常數。布萊森定理對于矩陣Q和R的選擇在（2.3）被布萊定理給出：選擇Q和R的對角矩陣用到以下公式：和以下的特征量相匹配：在布萊森定理的基本理論中，出現在這項變量的最大值，其中每項的最小有效值是1。當用在u和z的不同元器件地單元之間使這些數值之間的值互相不同是特別重要的。盡管布萊森定理有時給出一個好的結果，經常它只是開始對于一個實驗出錯實驗反復迭代的設計程序，目的是得到期望性能指標的閉環系統。在第2.5節，我們將要討論選擇作用在物體上的力在LQR矩陣中的方法。2.3狀態反饋線性二次型最優調節在狀態反饋描述的LQR問題中的圖（2.2），我們假定整個的狀態x能被測量，即使它對控制是有效的，我們采用線性二次型的狀態反饋最優問題的解決方法。圖2.2帶有狀態反饋的線性二次型最優控制器優化狀態反饋LQR控制器對于準則（2.3）是一個簡單矩陣增益的形式(2.4)這里K是維的矩陣在以下被給出P是唯一的正定解法對于下等式：這種算法被稱為黎卡提算法。2.4穩定性和魯棒性狀態反饋控制律（2.4），結果在以下形式的閉環系統中LQR控制器設計的一個至關重要的性能是這個閉環系統是漸進穩定的，只要符合以下的兩種情況：1、系統（1）是可控的。2、系統（1）是能觀的當我們忽視y和把z作為唯一輸出?；蛟S更重要的是一個事實，LQR控制器是對過程不確定的期望值具有內在的魯棒控制。為了理解為什么，考慮開環轉移矩陣從過程輸入u對控制器的輸出（圖2.3）的影響。圖2.3狀態反饋開環增益狀態空間模型從u到在下式中被給出它是與以下的開環負反饋維的轉移矩陣相一致的我們把我們的注意力集中在信號輸入過程(m=1),G0(s)是一個標量的傳函，以下給出：卡爾門不等式當,的尼克爾斯圖顯示不進入一個以原點為圓心，圓半徑為1的圓的’-1’這點卡爾門不等式在圖（2.4）表述了許多重要的涵義，那是接下來討論。圖2.4線性二次型最優控制器的尼克爾斯圖正的增幅如果過程增益是被常數K>1乘，即使包圍的數量不改變，它的尼克爾斯圖簡單的徑向拓展。這和正的增益量是相關的。負的增幅如果過程增益是被常數5<k<1乘，它的尼克爾斯圖憑借的角度旋轉，但是它的包圍數量仍然不改變。這個和負增益的幅度是一致的。圖2.5帶有乘法不確定性的反饋結構單元相位的幅值如果過程相位以度增長，它的尼克爾斯圖在的范圍內旋轉，但是包圍數量仍然不改變，這個是向量的幅值度相關的。乘性不確定性卡爾門不等式給出(2.5)自此，我們知道閉環系統在圖2.5保持穩定對于每個不確定乘性模塊帶有相對小的范數比，只要,(2.6)我們總結一個LQR控制器帶有期望的不確定乘法對于比更小的幅值可以確定它的魯棒穩定性，然后我們得到然而，更大的不確定加法或許是被允許的：例如：當,(2.6)中趨近1;當,(2.6)中趨近注意：卡爾門不等式只是有當時是有效的.當不是這種情況的時候，LQR控制器的魯棒控制很顯著。這可以限制相同范圍的控制輸出，我們設定為z。例如：考慮到過程和設定我們想調節一個特別的輸出.選擇得出和，，這些在卡爾門不等式中被提到的。選擇得到得到,這個可能不等于0。2.5應用LQR的回路控制盡管布萊森原理有時能得出一些好的結果，它或許不能夠滿足緊湊的控制特征。我們將要看到下面的一些原理實際上允許我們應用LQR控制一個回路。我們把注意力集中在對一個信號輸入(m=1)和R=1,Q=I,、和以下相一致低頻的開環增益對于頻率范圍（典型的低頻），我們得出這里是從控制信號u到控制輸出z傳函形式。為了理解公式的涵義，它是有必要去考慮相同的典型項：1、當,帶有標量,我們得到其中是從控制輸入u到y1的控制輸出傳函。在此情況下，（a）開環控制系統向量值增益的形狀是被從控制輸入u到控制輸出的傳函所定義的；（b）參數可以上下移動波德圖。當,我們看到下式（2.7）在此情況下，低頻開環增益從u到y模擬過程傳函，帶有個附加的0在和這樣一個標度里.然而，（a）可以移動波德圖向量值的上或者下（b）大量的值引導一個低頻的0和大致的結果在一個最大的相位裕度里，稍小點的過沖量在階躍響應中。然而，這個經常被在代價低的響應情況下完成。高頻開環增益因為，我們得到,對于常數C。我們總結如下：1、LQR控制器總需要一個高頻量值為-20dB/decade.2、交叉頻率近似被給的公式如下：,這展示了交叉頻率是近似,因為值在更快的階躍響應。注意：-20dB/decade的幅值增長,它的主要不足是線性二次型最優控制器的狀態反饋因為對于一個高頻的，上界在開環增益上的，需要去避免擾動達到期望狀態，或許不是充分清楚地。在3.6節我們將對它進行詳述。圖2.6展示了開環增益的波德坐標許多LQR的控制器在例1給出得到航空動態旋轉?？刂破鬏敵鰰r被選擇,與下式相關,.控制器能得到結果關于,許多值賦予,圖（6）a展示了開環系統增益值.圖2.6（a）展示了許多開環增益的值，圖2.6（b）展示了許多開環增益的值。圖2.7展示了開環增益尼克爾斯圖開環增益控制器控制輸出z的不同選擇。在圖（7）a中,與下式相關在此情況下，和卡爾門不等式作為能在尼克爾斯圖上看到的項。在圖2.7（b），控制輸出被這樣選擇為,要求和下式相一致.（a）對于含有很多的開環增益，這個參數允許我們上下移動波德圖的幅值。（b）對于含有很多的開環增益，這個參數結果的值在更大的幅值范圍內。圖2.6在例5中出現的線性二次型最優控制器的開環增益的波德圖。如期望的，因為低頻的開環增益幅值匹配了從到的傳函，并且在高頻增益處幅值落到-20dB/decade。這種情況下，我們得到和未提到的卡爾門不等式。我們從尼克爾斯圖能看見幅值和增幅是非常小，并且帶有一個期望的非典型動態時的魯棒性，它能在過程里能引導-1那個點的環繞的小擾動。2.6MATLAB仿真在MATLAB仿真中，命令[K,S,E]=lqr(A,B,QQ,RR,NN)可以為過程估算出最優狀態反饋LQR控制器有一個準則按照標準（2.2）應選擇按照準則（2.3）,圖2.7線性二次型控制器在例5中的開環增益命令回到最優狀態反饋矩陣K，解決方案P和閉環系統的極點E是與黎卡提方程式是相一致的。MATLAB啟示12命令sys繪制了常規波德圖系統，數量傳函這個命令繪制了波德圖的幅值但是對于矢量傳函它繪制的是對頻率的常規傳函。2.7展望大多數情況線性二次型的標準型是(2.8)從,在（2.2）中的標準型是一個（2.8）的一個特別的形式和（2.3)是（2.8）的一個特殊形式這個標準型，優化狀態反饋LQR控制器仍然得到如下形式但是現在被給出和是一個黎卡提的解決方案其他的矩陣選擇是Q和R也是可能的，但是一個總是選擇兩個正定的矩陣。我們稱這樣的體系維矩陣M式正定的，如果,對于每一個非正定的向量.為了測定一個矩陣式是正定的，我們估算他的特征值。如果它們都是正定矩陣那么我們定義這個矩陣是正的，不然就不是。從尼