PAGEPAGE1湖北省武漢市部分高中2024屆高三上學期10月聯考數學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，故選：D.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由復數，可得，所以，所以復數的虛部為.故選：A.3.在中，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為，所以，所以，又，所以，所以.故選：C.4.將函數的圖象向右平移個單位后，得到一個關于軸對稱的圖象，則的一個可能取值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數的圖象向右平移個單位后，可得，因為的圖象關于軸對稱，所以，即，解得，即，當時，可得，所以B項符合.故選：B.5.在正項等比數列中，，則的最小值是（）A.12 B.18 C.24 D.36【答案】C【解析】在正項等比數列中，，所以，當且僅當即時，等號成立，即的最小值是24.故選：C.6.如圖是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓臺的側面展開圖是一扇環，設該扇環的圓心角為，則其面積為，解得，所以扇環的兩個圓弧長分別為和，設圓臺上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，，解得，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中，，過點向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：.故選：A.7.北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發射時會產生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓.聲壓級的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發射時的聲壓約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令人正常說話時的聲壓級為，火箭發射時的聲壓級為，則，而人正常說話的聲壓，火箭發射時的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發射時的聲壓約為.故選：D8.在銳角中，角的對邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角形面積公式結合，可知，即，又由平方關系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以，故只需求出的范圍即可，由正弦定理邊化角得，注意到在銳角中，有，簡單說明如下：若，則，即不是銳角，但這與是銳角三角形矛盾，所以在銳角中，有，所以在銳角中，有，因為正切函數在上單調遞增，所以，從而，而函數在單調遞減，在單調遞增，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：B.二、選擇題9.已知互不相同的20個樣本數據，若去掉其中最大和最小的數據，設剩下的18個樣本數據的方差為，平均數：去掉的兩個數據的方差為，平均數；原樣本數據的方差為，平均數，若，則（）A.剩下的18個樣本數據與原樣本數據的中位數不變B.C.剩下18個數據的分位數大于原樣本數據的分位數D.【答案】ABD【解析】設20個樣本數據從小到大排列分別為，則剩下的18個樣本數據為，對于A：原樣本數據的中位數為，剩下的18個樣本數據的中位數為，A正確；對于B，依題意，，，，由，得，即，于是，因此，即，B正確；對于C，因為，則剩下18個數據的分位數為，又，則原樣本數據的分位數為，C錯誤；對于D，因為，則，，，于是，，因此，即，D正確.故選：ABD10.某高中一年級有3個班級，（1）班、（2）班、（3）班的學生人數之比為.在某次數學考試中，（1）班的及格率為，（2）班的及格率為，（3）班的及格率為，從該校隨機抽取一名高一學生.記事件“該學生本次數學為試及格”，事件“該學生在高一（i）班”，則（）A.B.與均不相互獨立C.D.若從這次高一年級數學考試及格的學生中隨機抽取一人，則該同學來自（1）班的概率最大【答案】AC【解析】由題意，，，則，故A正確；由，則，所以與相互獨立，故B錯誤；因為，所以，所以，故C正確；由題意這次高一年級數學考試中，（1）班、（2）班、（3）班學生中及格人數之比為，所以從這次高一年級數學考試及格的學生中隨機抽取一人，則該同學來自（1）班的概率為，該同學來自（2）班的概率為，該同學來自（3）班的概率為，所以該同學來自（3）班的概率最大，故D錯誤.故選：AC11.已知函數定義域為，且的圖象關于點對稱，函數關于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.為奇函數 B.C. D.【答案】BC【解析】由函數關于直線對稱，可得，即，則函數關于直線對稱，故選項C正確；由的圖象關于點對稱，可得，即，以2x代換x，則，所以函數關于點對稱，可得，即，結合可得，所以，故選項B正確.所以是周期函數，且周期為4，其圖象不僅關于直線對稱還關于點對稱，所以不關于點和對稱，所以不是奇函數，，故選項A、D錯誤；故選：BC12.在中，內角的對邊分別為，則下列說法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積最大值為C.若角的內角平分線交于點，且，則面積的最大值為3D.若為的中點，且，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，所以A錯誤；對于B，由余弦定理可得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對于C，設，，則，，在和中，分別運用正弦定理，得和.因為，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對于D，設，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當即時，，D正確.故選：BCD.三、填空題13.寫出一個滿足條件“函數的圖象與坐標軸沒有交點，且關于軸對稱”的冪函數：________.【答案】（答案不唯一）【解析】舉例，令，無實數解，且定義域為，則函數的圖象與坐標軸沒有交點，，且定義域為，關于原點對稱，則為偶函數，則其圖象關于軸對稱.故答案為：.14.的展開式中含項的系數為________.【答案】【解析】要得到的展開式中含有的項，分以下兩種情形：情形一：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取3個“”和1個“”，由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為；情形二：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取2個“”和2個“”，由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為.綜上所述：由分類加法計數原理可知的展開式中含項的系數為.故答案為：.15.在等比數列中，，則________.【答案】【解析】記等比數列的公比為，則，解得，所以，記，因為，所以是1為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：.16.已知，是橢圓的左右頂點，是雙曲線在第一象限上的一點，直線，分別交橢圓于另外的點，．若直線過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為________．【答案】【解析】由題意可知，，設，可得直線的斜率分別為，，因為點在雙曲線上，則，整理得，所以，設點，可得直線，的斜率，，因為點在橢圓上，則，整理得，所以，即，則，所以直線與關于軸對稱，又因為橢圓也關于軸對稱，且，過焦點，則軸，又，則，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以橢圓離心率為．故答案為：．四、解答題17.數列的滿足，，．（1）求數列的通項公式；（2）將數列中去掉數列的項后余下的項按原來的順序組成數列，求數列的前50項和．解：（1）因為，所以，又因為，所以，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，則，即．（2）由得，，因為，所以中要去掉數列的項有5項，所以．18.在中，內角的對邊分別為.（1）求角的大小；（2）為邊上一點，，求邊的長.解：（1），由正弦定理可得，即，，又.又.（2）即，解得19.如圖1，為等邊三角形，邊長為4，分別為的中點，以為折痕，將折起，使點到的位置，且，如圖2.圖1圖2（1）設平面與平面的交線為，證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：延長交于點，連接，如圖，依題意，分別為的中點，則，因此分別是以為斜邊的直角三角形，即，又，平面平面，于是平面，而平面平面，顯然直線與重合，所以平面.（2）解：取的中點，連接交于點，則為中點，連接，由為等邊三角形，得，則為二面角的平面角，，在中，，則，由平面，平面，得，又，于是，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值為.20.2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目.為研究不同性別學生對杭州亞運會項目的了解情況，某學校進行了一次抽樣調查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設事件“了解亞運會項目”，“學生為女生”，據統計，（1）根據已知條件，填寫下列列聯表，并依據的獨立性檢驗，能否推斷該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關？了解不了解合計男生女生合計（2）將樣本的頻率視為概率，現從全校的學生中隨機抽取30名學生，設其中了解亞運會項目的學生的人數為，求使得取得最大值時的值.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因為，所以對杭州亞運會項目的了解的女生為，了解亞運會項目的學生為，結合男生和女生各50名，填寫列聯表為：了解不了解合計男生153550女生302050合計4555100零假設：該校學生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關，根據列聯表中的數據，，依據的獨立性檢驗，可以推斷成立，即該校學生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關.（2）由（1）知，了解亞運會項目的頻率，所以隨機變量，，令，解得，因為，所以當時，取得最大值.21.已知函數，其中.（1）討論函數單調區間；（2）若關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）函數定義域為，求導得令，得.①當時，，當或時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減；②當時，，所以在上單調遞增；③當時，，當或時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）在區間上恒成立，在區間上的最大值小于等于1，①當時，在上單調遞增，所以，又，所以，即，所以此時解得；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，分以下兩種情形討論：情形一：當，即時，在區間上單調遞減，所以，解得滿足題意；情形二：當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在區間上的最大值為或，此時，則，且，由（2）①可知，，所以此時解得.結合以上兩種情形可知，當時，不等式在區間上恒成立.結合①②，綜上可得，即實數的取值范圍為.22.設拋物線的焦點為上點滿足.（1）求拋物線的方程；（2）已知正方形有三個頂點在拋物線上，