PAGE16緒論一般地說，數學模型可以描述為，對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構[1]．在現實生活中運用數學建模來解決實際問題是十分常見的，可以說數學模型是將數學和現實生活聯系起來的一座橋梁，而優化模型作為數學模型中的一種最常見且得到廣泛應用的模型，正是數學建模在生產經濟管理領域中的典型應用．優化問題是人們最常遇到的一類問題．設計師要在滿足強度要求等條件下選擇材料的尺寸，使結構總量最輕；公司經理要根據生產成本和市場需求確定產品價格，使所獲利潤最高；投資者要選擇一些股票、債券“下注”，是收益最大，而風險最?。脭祵W建模的方法來處理優化問題，即建立和求解所謂優化模型．雖然由于建模時要做適當的簡化，可能使得結果不一定完全可行或達到實際上的最優，但是它基于客觀規律和數據，又不需要多大的費用．如果在建模的基礎上再輔之以適當的經驗和試驗，就可以期望得到實際問題的一個比較圓滿的回答．在決策科學化、定量化的呼聲日益高漲的今天，這無疑是符合時代潮流和形勢發展需要的．在市場經濟中有關產品的效益是由生產的現實條件和需求者的需求量關系來決定的，由于產量與費用的這種波動關系，從而抽象出了優化模型．優化模型是在生產中是供應者在最節省能源的情況下獲得最大的效益，對企業追求最大利潤起到了相當重要的作用．它要求企業在生產經營活動中，既要對原材料等生產必需資料做到充分利用，而要認真調查研究，有效利用工作時間，正確把握產品的產量和費用之間的規律，最終能夠又快又好的完成產量，使企業獲得最大利潤．優化模型是生產計劃和經濟管理中的一個經典模型，在對尋求最大效益方面的應用非常廣泛，尤其對于制定諸如生產計劃等方案有著積極的意義．例如公司經理要根據生產成本和市場需求確定產品價格和生產計劃，使利潤達到最大；調度人員要在滿足物質需求和裝載條件下安排從各需求點的運量和路線，使運輸總費用達到最低。然而簡單的優化模型假設提供的原材料、相應的必需條件和生產環境以及人力資源都是靜態的，且需求者要求的產量一定，但假設條件在現實的經濟系統中不可能都是靜態的，因此本文我們在分析了簡單的優化模型后，又介紹了更加符合現實經濟條件的動態優化模型，并對該模型進行了分析．隨著國內外對優化模型的不斷研究和改進，其應用領域已不僅僅局限于單領域范圍，也將其運用在石油開采、城市規劃、人力資源分配等問題的分析上[2]．當前全球經濟正處于金融危機的嚴重影響下，如何在當前形勢下制定出比較有利的生產計劃對一個企業來說是非常重要的，本文我們將主要運用優化模型來研究生產計劃的制定方案，并研究結果來確定比較合理的計劃方案．1優化模型的理論及實際意義優化模型工作是利用現有的條件規劃出各種“最優”方案為現代生產計劃和管理工作中的經濟利益預估服務。這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優化模型。優化模型在現代企業管理中有很多的應用，如物流、生產計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優、信貸投放、企業的資產負債情況等方面的問題都可以用線性規劃來解決。1.1優化模型的理論數學模型是對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學模型是將數學和現實生活聯系起來的橋梁,在眾多領域有著廣泛的應用。求解實際的最優化問題一般要進行兩項工作。第一是將實際問題抽象地用數學模型來描述，包括選擇優化變量，確定目標函數，給出約束條件；第二是對數學模型進行必要的簡化，并采用適當的最優化方法求解數學模型。建立優化數學模型是求解優化問題的基礎，有了正確、合理的模型，才能選擇適當的方法來求解。數學模型的建立要求具備與實際問題有關的專業技術知識，確定優化追求的目標，并推導出相應的目標函數；分析影響目標函數的因素有哪些，它們之間的相互關系如何，選擇哪些參數作為優化變量，同時又受到哪些約束條件的限制。優化變量、目標函數和約束條件是最優化問題數學模型的3個基本要素。這是優化模型簡單的要素。而變分法作為數學問題中求極值的一種方法，是動態優化模型在生產計劃制定中的典型應用。變分法是泛函分析（如果變量J對應于某一函數類中的每一個函數y(x)都有一個確定的值，那么就稱變量J為函數y(x)的泛函，記為J=J[y(x)]式中，J為泛函，函數y為泛函J的宗量，x為函數y的自變量。）中的一種方法。如果連續泛函J[y(x)]的改變量為式總可以表示為式中，是的線性形式；是的最大值。當上式中的時，，稱為泛函的變分，記作，寫成式中，是泛函J對其宗量y的偏微分，。所謂生產計劃這里簡單的看作是到每一刻為止的累積產量。變分法是生產計劃的制定進行建立模型的數學方法，使得在生產中獲得最大的效益。變分法是處理函數的函數的數學領域，和處理數的函數的普通微積分相對。變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應于泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。18世紀是變分法的草創時期，建立了極值應滿足的歐拉方程并據此解決了大量具體問題。1964年，錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日成子（Lagrangemultiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯教授等都是這方面的世界級大師。在生產計劃制定中，如何選擇使費用最省而經濟利益最大，變分法是生產最優化最成功的方法。1.2優化模型的實際意義優化模型工作的一個很重要任務就是利用現有的條件規劃出各種“最優”方案為現代生產計劃和管理工作中的經濟利益預估服務。這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優化模型。優化模型在現代企業管理中有很多的應用，如物流、生產計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優、信貸投放、企業的資產負債情況等方面的問題都可以用線性規劃來解決?；趦灮Ｐ驮诙喾矫娴膶嶋H應用，我認為各個領域的人才尤其是企業生產管理者都應在這方面有著堅實的基礎，因為它不僅提高我們自身的素質和邏輯思維能力，還能指導企業家提高企業的生產效率，使企業獲得最大的利益以便更好的適應市場激烈的競爭。2優化模型的基本要素及分類2.1優化模型的基本要素2.1.1優化變量一個實際的優化方案可以用一組參數（如幾何參數、物理參數、工作性能參數等）來表示。在這些參數中，有些根據要求在優化過程中始終保持不變，這類參數稱為常量。而另一些參量的取值則需要在優化過程中進行調整和優選，一直處于變化的狀態，這類參數稱為優化變量（或稱為決策變量、設計變量）。優化變量必須是獨立的參數。例如，如果將舉行的長和寬作為優化變量，則其面積就不是獨立參數，不能再作為優化變量了。優化變量的全體可以用向量來表示。包含n個優化變量的優化問題稱為n維優化問題，這些變量可以表示成一個n維列向量，即式中，表示第個優化變量。當的值都確定之后，向量就表示一個優化方案。2.1.2目標函數目標函數是用優化變量來表示的優化目標的數學表達式，是方案好壞的評價標準，故又稱為評價函數。怒表函數通常表示為求解優化問題的實質，就是通過改變優化變量獲得不同的目標函數值，通過目標函數值的大小來衡量方案的優劣，從而找出最優方案。目標函數的最優值可能是最大值，也可能是最小值，在建立優化問題的數學模型時，一般將目標函數的優化表示為極大或極小。目標函數的極小化可以表示為目標函數的極大化可以表示為求目標函數的極大化等效于求目標函數——的極小化。為規范起見，將求目標函數的極值統一表示為求其極小值。在優化問題中，如果只有一個目標函數，則其為單目標函數優化問題；如果有兩個或兩個以上目標函數，則其為多目標函數優化問題。目標函數越多，對優化的評價越周全，綜合效果也越好，但是問題的求解也越復雜。一個優化向量x確定n維空間中的一個方案點，每一個方案點都有一個相應的目標函數值與其對應；但是對于目標函數值的某一定值C，卻可能有無窮多個方案點與其對應。目標函數值相等的所有方案點組成的集合稱為目標函數的等值曲面。對于二維問題，這個點集為等值曲線；對于三維問題，這個點集為等值曲面；對于多維問題，這個點集為超平面。2.1.3約束條件約束條件是在優化中對優化變量取值的限制條件，可以是等式約束，也可以是不等式約束。等式約束的形式為不等式約束更為普遍，形式為式中，L和M分別表示等式約束和不等式約束的個數。其中，等式約束的個數L必須小于優化變量的個數n，如果相等，則該優化問題就成了沒有優化余地的既定系統。等式約束也可以用兩個不等式約束來代替。不等式約束可以用的等價形式代替。根據約束性質的不同，約束可以分為邊界約束和性能約束兩類。邊界約束直接用來限制優化變量的取值范圍，如長度變化的范圍。性能約束則是根據某種性能指標要求推導出來的限制條件，如零件的強度條件。2.2優化模型的分類最優化問題的類別很多，可以從不同角度分類。以下是一些常見的分類和名稱：(1)按照優化的有無,可分為無約束優化問題和有約束優化問題。(2)按照優化變量的個數，可分為一維優化問題和多維優化問題。(3)按照目標函數的數目，可分為單目標優化問題和多目標優化問題。(4)根據目標函數與約束條件線性與否，可分為線性規劃問題和非線性規劃問題。(5)當目標函數為優化變量的二次函數，均為線性函數時，則該優化問題稱為二次規劃問題。(6)當優化變量中有一個或一些只能取整數時，稱為整數規劃；如果只能取0或1，則稱為0-1規劃；如果只能取某些離散值，則稱為離散規劃。(7)當優化變量隨機取值時，稱為隨機規劃。(8)當目標函數為凸函數，可行域為凸集時，該優化問題為凸規劃問題。(9)優化目標是一個數值，最優策略是函數，該優化問題為動態優化問題。3優化模型的建立及分析由上面優化變量、目標函數和約束條件三要素所組成的最優化問題的數學模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下，尋求一組優化變量，使目標函數達到最優值。一般約蘇優化問題數學模型的表達方式為：式中，的縮寫，表示“受約束于”或“滿足于”的意思。當L=0時即為不等式約束優化問題；當M=0時即為等式約束優化問題；當L=0，M=0時便退化為無約束優化問題。由于最優化的問題類別很多，所以這里只介紹針對生產計劃的優化模型，并且利用兩種方法進行分析與解決，它們分別是多階段轉化和變分法。3.1多階段轉化多階段轉化是指將動態優化的一種，它將多階段決策問題轉化成一系列簡單的最優化問題。首先將復雜的問題分解成相互聯系的若干階段，每個階段都是一個最優化子問題，然后逐階段進行決策（確定于下端的關聯），當所有階段都確定了，整個階段的決策也就確定了。3.1.1多階段轉化動態規劃的提出令x為表示系統狀態的n維列矢量，用描述在時刻的N階段系統狀態。對N階段決策過程，系統狀態由狀態通過決策變換到另一個狀態，在這一過程中產生的效益或損益統稱為收益，記為；然后再由狀態通過決策變換到狀態，并產生效益……最后從狀態通過決策變換到狀態，并產生效益。要求選擇該N階段中的N個決策使下式的效益最大或最小（統稱為最優效益）：因為N階段過程的最優效益只是初始狀態與階段長度N的函數，所以可以用表示式中，為初始狀態；N為階段長度；是優化的意思，根據給定問題取最大值或最小值。使效益取極值的決策稱為最優決策。3.1.2最優化原則一個過程的最優決策具有這樣的性質，即無論其初始狀態及其初始決策如何，其以后諸決策對以第一個決策所形成的狀態作為初始狀態都必須構成最優決策。最優化原則描述了最優控制決策的基本性質，它建立在不變嵌入原則的基本概念上。當求解一個特殊的最有決策問題時，可以把原來的問題嵌入一個較容易解的類似問題之中。如多階段決策過程，可以將原來的多階段最優化問題用求解一系列但各階段決策問題來代替。根據最優化原則，N階段決策過程的總收益可以寫成式中，第一階段的收益，則代表初始狀態的后個階段的最優效益。利用上式最有效益的式子又可寫成上式中右端的函數可以繼續分解下去，它對階段數的過程都成立。當階段數為時，最優效益為所以也可以把N階段決策過程的總效益寫成從而最優效益可最終歸結為并一步步展開。應用最優化原則，一個N階段決策過程就處理為一個N個單階段決策過程的序列，因此使這個最優化問題可以采用系統迭代的方式得到解決。前兩個式子分別是動態優化中的逆序解法和順序解法基本公式。3.1.3多階段轉化對生產計劃的應用1問題的提出設有總量為的某種資源（例如資金、原料等），想要投放到A與B兩個項目中去，已知將資源量投入到A中的效益為，投入到B中的效益為，而且滿足（即不予投資效益為0），假設這種資源用于生產后還可以回收一部分用于再生產，在A與B中的回收率分別為和（），則對總量為的資源進行個階段的投入，每個階段應如何分配到A與B中，使得總的效益最大？2問題分析設在第個階段中，對A的投入量為，而在第個階段之后的資源回收總量為，那么在第1階段：對A的投入量為，收益量為，回收量為；對B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件。在第2階段：對A的投入量為，收益量為，回收量為；對B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件?！诘陔A段（最后一個階段）：對A的投入量為，收益量為，回收量為；對B的投入量為，收益量為，回收量為；于是總的收益為。滿足條件。3模型建立由分析可得最后得到的模型將是：求，使下面各式成立：如果令表示初始資源為，進行第個階段投入，并采用最優策略時所得到的總收益，那么必將滿足下面遞推關系：在上述模型中，數量和函數與均為已知，特別地，當數與為線性函數時，則模型變成一個線性規劃為題，否則是一個約束非線性規劃為題，易知，當和均為已知時，其收益依賴于初始資源和過程進行的階段。我們的目的是要求總的收益最大，即要求，根據遞推公式（1）中的第二式，必須先求出的具體表達式，然后再由（1）式中第一式遞推（逆序遞推），可得如此繼續下去，直至求出的表達式，再令，就可得到。4模型分析一般地說，的解析表達式是難于求得的，只有當和均為凸函數時，才能相對比較容易。在實際問題中，和多取為線性函數，因而的具體解析寫出是比較容易的。5模型求解在上述模型中，數量和函數與均為已知，特別地，當數與為線性函數時，則模型變成一個線性規劃為題，否則是一個約束非線性規劃為題，易知，當和均為已知時，其收益依賴于初始資源和過程進行的階段。我們的目的是要求總的收益最大，即要求，根據遞推公式（1）中的第二式，必須先求出的具體表達式，然后再由（1）式中第一式遞推（逆序遞推），可得如此繼續下去，直至求出的表達式，再令，就可得到。不妨令根據Lingo/Matlab軟件編程則求得3.2變分法最早的泛函最簡單的一類泛函表示為被積函數F包含自變量t,未知函數x及導數x′。泛函的極值設，如果對于任意,當時,都有,則稱泛函在取得極小值。類似可以定義極大值。極小值和極大值統稱為極值。泛函的變分函數在的增量記作稱其為函數的變分,由它引起的泛函增量記作,如果可表示為,其中是的線性項,是的高階項,稱L為泛函在的變分,記作。同樣可以定義泛函在的變分。定理1若泛函在變分存在并且取到極值,則變分泛函極值的必要條件——歐拉方程討論泛函在固定端點條件下取得極值的必要條件。泛函和端點條件表示為其中F具有二階連接偏導數。定理2設泛函（3）在取得極值,滿足式(4),則式(5)被稱為歐拉方程。如果容許函數的一個端點如不固定,而是在一條給定的曲線上變動,于是端點條件表示為定理3設泛函(3)在取得極值,滿足式(6),則3.2.1問題的提出工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數量產品的合同,在制定生產計劃時要考慮生產和貯存2種費用。生產費用通常取決于生產率(單位時間的產量),生產率越高費用越大;貯存費用自然由已經生產出來的產品數量決定,數量越多費用越大。所謂生產計劃這里簡單的看作是到每一刻為止的累積產量。它與每單位時間（如每天）的產量可以互相推算。建模目的是尋求優化的生產計劃,使完成合同所需的總費用（生產與貯存費用之和）最小或盡可能的小。在文獻[1,2]中給出了數量且生產率無限制時的生產計劃。討論且生產率無限制時的生產計劃,以及生產率有一個上界限制的情況下的優化生產計劃。3.2.2模型的假設開始生產時刻記為t=0,按照合同應在t=T提交數量為Q的產品。到時刻t為止的累積產量記作,即是生產計劃。設單位時間生產的產量為生產率,記為,所以工廠單位時間的生產費用可以是生產率的函數,而單位時間的貯存費用則與產量有關,記為。于是從到時間段的總費用為了確定和的具體形式作如下假設:單位時間內生產率提高一個單位所需的生產費用與此時的生產率成正比。貯存費與貯存量(即累積產量)成正比。假定生產率的變化有一定的范圍,比如生產率有一個上界,即是該工廠單位時間的最大生產能力。假設1)表明生產費用對生產率的變化率與成正比,，于是由假設2)可直接3.2.3建模與求解1、對生產率不作任何限制,在假設1)、假設2)下尋求最優生產計劃。記,在文獻[4]中可得到關于的二階微分方程式(12)符合題意的解為這就是使總費用達到最小的生產計劃。易知對于式(13)應該滿足由式(13)算出,則式(14)又可表示為于是當式(15)成立時,式(13)確定的才是最優生產計劃。當固定時,式(15)表明,在一定交貨期T內要完成的產量相當大,需要從就開始生產。但是,若成立時,如何求最優計劃?不需要從零時刻開始生產。由于產量較小,生產較早會導致產品貯存費用的增加,所以為了節省貯存費用,到時刻才開始生產。橫截條件為則制定最優生產計劃轉化為橫截條件(16)下求,使取得最小值?？梢杂米兎址ㄇ蠼?。此時根據定理3有得此時,由式(17)、式(18)決定的即是優化的生產計劃。2、限制生產率,令其有上界,在假設1)、2)、3)下尋求優化的生產計劃在實際生產中,生產率一定存在一個上確界,在此假設生產率的上確界為A。在上述模型中得到1)當時,,此時生產率是隨著的增大而增大的,而當時,生產率達到最大,其值是。(1)如果,那么也就是說上述模型的生產過程還沒有超出生產率的上界3.1中討論的模型照樣可行。(2)如果,是與2點連線的斜率,顯然,此時就算一直以最大生產率A進行生產,工廠仍不能完成任務。此時不要接合同。(3)如果,,此時一直以A的生產率生產時才能剛好完成合同。(4)如果,可如下討論。為了節省貯存費用,由于生產率是越來越高的,可以假設在某一時刻開始,都以A的生產率進行生產,最后剛好完成任務。那么只需優化時間段上的生產計劃即可,運用這種思想得到的生產計劃是較優的計劃。如果單位時間的生產費用和單位時間的貯存費用仍然記作和,則總費用仍為式(9)。注意到,當時,。將式(10)、式(11)代入式(9),可得費用為類似1中的求解過程,當時,也可得式(12),則由端點條件從式(20)、式(21)得令式(22)等于,可得解將式(23)代入式(22)得于是優化的生產計劃為為了計算式(24)的費用,將式(22)代入式(19)得再將式(23)代入可得模型式(24)的費用。綜上,當生產數量較大,生產率上界滿足的條件下,要以式(24)的為生產計劃。2)當時,根據3.2.3中1的研究,生產時間越早,所需的貯存費用就越高,為了節省貯存費用,可以從(包括)開始生產,據假設3)生產率有上界,此時分2種情況加以討論。(1)如果式(17)的滿足,那么3.2.3的1中式(17)照樣可行;(2)如果式(17)的滿足,那么可以提前生產,尋找使得。如果提前到時開始生產,但仍有,那么就同上述1)中(4)的情況類似了,可作類似的討論。3.2.4實例某一軍火商與一軍工廠簽訂了一份合同,要求工廠30天內提交240UF03枚型導彈。已知工廠日生產UF03型導彈的最大能力是10枚,單位時間內生產率提高一個單位所需的生產費用與此時的生產率成正比的比例系數為2萬元,單位數量產品單位時間的貯存費為1萬元,試給工廠制定一個優化的生產計劃。解：由于，經驗證知該題屬于3.2.3的2中1)的(4)所討論