第三章3.13.1.4基礎鞏固一、選擇題1.如圖所示的空間直角坐標系中，正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為1,B1E1=4A1B1,BE1等于（）（0,4，—1）（-4,0,1）C（0，-4,1）D.（4,0,-1）［答案］C［解析］:B（1,1,0）,A1（1,0,1）,B1（1,1,1）.，E1（1,4，1）,，BE1=（。，一4，1）.故選C.2.若a=（2］,1,3）,b=（1,—2y,9）.且a〃b，則（）A．x=1,y=1C．1x=6,y=n—1 —3Dx—-6,y=2［答案］C2x 1 3［解析］若a〃b,則〒=一2y=9.._1 __3??x=6，y=2,8.若a=（1,九2）,b=（2,—1,2）,且a與b的夾角的余弦值為9,則丸等于（B．—2DB．—2D.2或一蕓C—2或55［答案］C上口4/日8—a?b—2一丸+4［解析］由已知俗9=麗=不兩9，8\；'5+丸2=3（6一丸），解丸=-2或丸=55.

.已知向量(JA=(2,—2,3),向量O=(%,1—y,4z)，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為(0，3，—1)，則(%，y，z)=()A．(A．(—2—4，—1)B．(—2，—4,1)C．(—2,4D．(2C．(—2,4［答案］A［解析］由已知OC=OA+OB=(2+%,—1—y,3+4z)=2(0,2，—］)，2+%=0.丁—1—y=3 ，.=%=—2,y=—4,z=-1..3+4z=—1故選A..與向量a=(1,-3,2)平行的一個向量的坐標為()A．(1,3,2) B．(—1，—3,2)C．(—1,3，—2) D．(1，—3，—2)［答案］C［解析］(—1,3,—2)=—a，與a共線..若△ABC中，NC=90°,A(1,2,—3k),B(—2,1,0),C(4,0,—2k)，則k的值為()A../To B.一\麗C.2-..;'5 D.±\'1O［答案］D［解析］COB=(—6,1,2k),COA=(—3,2,—k)—>—>—> ...則CB?CA=(—6)X(—3)+2+2k(—k)=—2k2+20=0,，k=±<10.二、填空題.已知點A(1,—2,11),B(4,2,3),C(6,—1,4),則4ABC的形狀是 .［答案］直角三角形［解析］:AC=(5,1,—7),BC=(2,—3,1),一ff，AC?BC=0.，AC±BC,△ABC為直角三角形..已知a=(2,—3,0),b=(k,0,3),<a,b>=120°,則k=.［答案］一—；39［解析］V2k=V13-4k2+9X(—2，16k2=13k2+13X9k2［解析］V2k=V13-4k2+9X(—2，16k2=13k2+13X9k2=39,，k=±-.i.'39.Vk<0,Ak=—\；W.三、解答題9.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)，若a〃b,求x,y的值.(2)已知：a=(2,4,%),b=(2,y,2)，若|a|=6,且aXb［解析］(1)Va〃b,，a=;=二，得x=6,y=7.3xy 2求％+y的值.12X2+4y+2x=0,(2)VaXb且|a|=6,，1| 今&,22+42+x2=6,%=4,y=-3x=-4,，x+y=1或x〕y=1.+y=-3.一、選擇題1.已知A(1,-1,3),B(0,2,0),C(-1,0,1),若點D在z軸上，且ADXBC,則|AD|等于()A.-72C.\'5［答案］B［解析］V.點D在Z軸上，，可設D點坐標為(0,0,m),B.v13d.V6則AD=(—1,1,m-3),BC=(—1—2,1),由AD±BC,得AD-BC=m—4=0,，m=4,AD=(—1,1,1).，IAD1=、j(—1)2+12+12=遮2.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0)若O)c=則C的坐標是()c(-54—-54—-5-5)B?(548、

5，-5)5)5)［答案］A［解析］［解析］設C(a???5(-3,-2b,c),VAB=(—3,—2，—4)，(6..(a,b,c)=1-5,45,一I）.故選A..若兩點的坐標是A(6..(a,b,c)=1-5,45,一I）.故選A..若兩點的坐標是A（3cosa,3sina,1)B（2cos仇2sin仇1）,則ABI的取值范圍是（）A．［0,5］B．［1,5］C．(1,5)D．［1,25］［答案］B［解析］IABI=(3cosa-2cos°)2+(3sina-2sin°)2=113—12cos(a一°)￡［1,5］..已知O為坐標原點—* ....OA=(1,2,3),()B=(2,1,2),O=(1,1,2),點Q在直線OP上運動，則當QOa?QB取得最小值時，點Q的坐標為（）a.g3,3)B.Q，3,4)C.&3,3)D.(3,4,3)［答案］C［解析］設Q(x,y,z)，因Q在O上，故有OQ//O，可得％=九y=九z=2九則Q(A,九2丸),QQA=(1—九2—九3一2丸),QB=(2一九1—九2—2丸),QQ 4 2所以QA?QB=6A2—16A+10=6(A—3)2—3,故當a=4時，QQA?QQB取最小值.二、填空題5.已知點A、B、C的坐標分別為(0,1,0)、(一1,0,—1)、(2,1,1),點P的坐標為(X,0,z),若PA±AB,PA±AC，則P點的坐標為.［答案］(—1,0,2)［解析］PA=(—X,1,—z),APB=(—1,—1,—1),APC=(2,0,1),x—1+z=0, fx=—1.Y .y，.二p(—1,0,2).、—2x—z=0, fz=2.若A(A+1,〃一1,3),B(2A,〃，A—2^),C(A+3,〃一3,9)三點共線，則A+〃=.［答案］0［解析］由條件知AB/AC,

因為AB=(A—1,1,丸-2^—3),AC=(2,-2,6),所以“9=—1=^—,一^,所以A=0,〃=0,226于是A+〃=0..已知向量a=(2,3,—1),b=(—2,m,1),若a與b的夾角為鈍角，則實數m的取值范圍為.［答案］(—8,—3)U(—3,3)［解析］由已知a-b=2X(—2)+3m—1=3m—5,因為a與b的夾角為鈍角，所以a-b<0,所以3m—5<0,即m<3.若a與b的夾角為n,則存有A<0,使a=Ab(A<0),即(2,3,—1)=A(—2,m,1),2=—2A,所以」3=Am, 所以m=-3,、一1=A,故m的取值范圍是(一8,—3)U(—3,3)-三、解答題.已知空間三點A(0,2,3),B(—2,1,6),C(1,—1,5).(1)求以AB,A:C為邊的平行四邊形的面積;(2)若Ia1=\：3且a分別與AB,AC垂直，求向量a的坐標.［解析］(1)由題意可得^AB-^AC —2+3+671..cosAC〉=^AB-^AC —2+3+671..cosAC〉=iABi-iaC?\；14X-J14142,二.sin〈AB,...以AB,AC為邊的平行四邊形的面積1S=2X2|aBI-ACI-sin〈AB,AC〉乙=14X牛=75

%2+y2+z2=3,(2)設a=(%,y,z)，由題意得<—2%—y+3z=0,、%—3y+2z=0.%=1,f%=-1,解得<y=1，或<y=—1，、z=1 、z=—1....a=(1,1,1)或a=(—1,—1,—1)..如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC,CC1上的點，CF=AB=2CE,ABADAA|=1124.⑴求異面直線EF與A1D所成角的余弦值;(2)證明AF，平面A1ED.［解析］(1)如圖所示,建立空間直角坐標系,點A為坐標原點.設AB=1,依題意得D(0,2,0),F(1,2,1),41(0,0,4),E(1,3,0).一—1f一一所以EF=(0,2,1),A1