《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程作業(yè)（一）講評（一）填空題1．正確答案：1可能出現(xiàn)的錯誤：答案為0，分析：同學(xué)是將視為第一個重要極限。的確，形式上很象第一個重要極限，但是，仔細(xì)注意一下，第一個重要極限是，它們的自變量的變化趨勢不同，而是無窮小量乘以有界變量，故，正確解法：。2．，則。正確答案：或可能出現(xiàn)的錯誤：答案為，或。分析：這個題目是求函數(shù)值的問題，解法應(yīng)是將中的換之以，而，因?yàn)椤Ｕ_解法：。3．設(shè)，若在處連續(xù)，則_________。正確答案：1可能出現(xiàn)的錯誤：答案為，或或不清楚。分析：二、單項(xiàng)選擇題1．當(dāng)時，下列變量是無窮小量的有（）A．B．C．D．正確答案：C分析：根據(jù)無窮小量的定義進(jìn)行判別。關(guān)于A，不是無窮小量；關(guān)于B，不是無窮小量；關(guān)于C，是無窮小量；關(guān)于D，不是無窮小量。2．下列極限計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．正確答案：B分析：A和B選項(xiàng)中的函數(shù)是分段函數(shù)，且是分段點(diǎn)，應(yīng)考慮左、右極限，且左極限，右極限，所以不存在。關(guān)于C和D選項(xiàng)，應(yīng)考慮第2個重要極限的擴(kuò)展形式，即關(guān)于A不存在；關(guān)于B，正確；關(guān)于C的錯誤在于它不是第2個重要極限的擴(kuò)展形式，因此也就不能得到第2個重要極限的結(jié)果，此極限式在時極限式正確，即；關(guān)于D正確解法是：。3．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）A．B．C．D．正確答案：D分析：根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論，“初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的”進(jìn)行判別。因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù)，所以其定義區(qū)間就是連續(xù)區(qū)間。又函數(shù)的定義域?yàn)椋訠選項(xiàng)正確。4．若，則（）。A．B．C．D．正確選項(xiàng)：D分析：此題要求？但是并沒有告訴我們，已知條件是，因此，先要求出，再求其導(dǎo)數(shù)。正確解答：因?yàn)椋裕谑牵_選項(xiàng)為D。5．設(shè)，則（）A．B．C．1D．4正確選項(xiàng)：D分析：極限式是在處導(dǎo)數(shù)的定義式，即又因?yàn)椋瑒t，，所以正確選項(xiàng)為D。注意，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定是一個數(shù)值，而不是函數(shù)，所以不能選擇A。(三)解答題1．計(jì)算極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．設(shè)函數(shù)，問：（1）當(dāng)為何值時，在處有極限存在？（2）當(dāng)為何值時，在處連續(xù).答案：（1）當(dāng)，任意時，在處有極限存在；（2）當(dāng)時，在處連續(xù)。3．計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：（1），求答案：（2），求答案：（3），求答案：（4），求答案：（5），求答案：（6），求答案：（7），求答案：（8），求答案：（9），求答案：（10），求答案：4.下列各方程中是的隱函數(shù)，試求或（1），求答案：（2），求答案：5．求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1），求答案：（2），求及答案：，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊作業(yè)（二）評講（一）填空題1.若，則.答案：2..答案：3.若，則.答案：4.設(shè)函數(shù).答案：05.若，則.答案：（二）單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，（）是xsinx2的原函數(shù)．A．cosx2B．2cosx2C．-2cosx2D．-cosx2答案：D2.下列等式成立的是（）．A． B． C． D．答案：C3.下列不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是（）．A．，B．C．D．答案：C4.下列定積分計(jì)算正確的是（）．A．B．C．D．答案：D5.下列無窮積分中收斂的是（）．A．B．C．D．答案：B(三)解答題：1.計(jì)算下列不定積分本類題考核的知識點(diǎn)是不定積分的計(jì)算方法。常用的積分方法有：⑴運(yùn)用積分基本公式直接積分；⑵第一換元積分法(湊微分法)；⑶分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘。（1）正確答案：分析：采用第一換元積分法(湊微分法)，將被積函數(shù)變形為，利用積分公式求解，這里.，正確解法：==.（利用對數(shù)的性質(zhì)，可能出現(xiàn)的錯誤：①不能將被積函數(shù)看成為，因此不知用什么公式求積分；②；③用錯公式，.（2）正確答案：分析：將被積函數(shù)變形為，利用基本積分公式直接求解，.正確解法：===可能出現(xiàn)的錯誤：①不能將被積函數(shù)變形為，因此不知用什么公式求積分；②公式記錯，例如，=.（3）正確答案：分析：將被積函數(shù)化簡為()，利用積分運(yùn)算法則和基本積分公式求解。正確解法：原式=（4）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)?)，利用湊微分方法將原積分變形為，再由基本積分公式進(jìn)行直接積分。正確解法：原式=（5）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)椋脺愇⒎址椒▽⒃e分變形為，.再由基本積分公式進(jìn)行直接積分。正確解法：（6）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)椋脺愇⒎址椒▽⒃e分變形為，再由基本積分公式進(jìn)行直接積分。正確解法：原式=（7）正確答案：分析：這是冪函數(shù)與正弦函數(shù)相乘的積分類型，所以考慮用分部積分法。正確解法：設(shè)，則，所以根據(jù)不定積分的分部積分法：原式=（8）正確答案：分析：這是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型。同上，可考慮用分部積分法。正確解法：設(shè)，則，所以根據(jù)不定積分的分部積分法：原式==2.計(jì)算下列定積分本類題考核的知識點(diǎn)是定積分的計(jì)算方法。常用的積分方法有：⑴運(yùn)用積分基本公式直接積分；⑵第一換元積分法(湊微分法)；需要注意的是，定積分換元，一定要換上、下限，然后直接計(jì)算其值(不要還原成原變量的函數(shù)。)⑶分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘。（1）正確答案：分析：將絕對值符號打開，把原積分分成兩段，然后用積分基本公式直接求解。正確解法：原式==（2）正確答案：分析：采用湊微分法，將原積分變量為：，再用基本積分公式求解。正確解法：原式=（3）正確答案：2分析：采用湊微分法，將原積分變量為：，再用基本積分公式求解。正確解法：原式=（4）正確答案：分析：本題為冪函數(shù)與余弦函數(shù)相乘的積分類型。可考慮用分部積分法。正確解法：設(shè)，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=（5）正確答案：分析：本題為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型。可考慮用分部積分法。正確解法：解：設(shè)，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=（6）正確答案：分析：先用積分的運(yùn)算法則，將被積函數(shù)拆成兩個函數(shù)的積分，其中第一個積分用基本積分公式求解，第二個積分為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積分類型，考慮用分部積分法。正確解法：原式=設(shè)，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊作業(yè)（三）評講（一）填空題1.設(shè)矩陣，則的元素3.2.設(shè)均為3階矩陣，且，則=.3.設(shè)均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是.4.設(shè)均為階矩陣，可逆，則矩陣的解.5.設(shè)矩陣，則.（二）單項(xiàng)選擇題1.以下結(jié)論或等式正確的是（C）．A．若均為零矩陣，則有B．若，且，則C．對角矩陣是對稱矩陣D．若，則2.設(shè)為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義，則為（A）矩陣．A． B．C． D．3.設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（C）．A．，B．C．D．4.下列矩陣可逆的是（A）．A．B．C．D．5.矩陣的秩是（B）．A．0B．1C．2D三、解答題1．計(jì)算本題考核的知識點(diǎn)是矩陣的乘法運(yùn)算。（1）分析：根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算的定義，采用“行乘列”計(jì)算。計(jì)算中注意行乘列后的位置排列。解：原式=（2）分析：同上。解：原式=（3）分析：同上。解：原式=注：這是矩陣，不是數(shù)02．計(jì)算分析：本題考核的知識點(diǎn)是矩陣的加法、減法和乘法的混合運(yùn)算。解：原式==3．設(shè)矩陣，求。分析：本題考核的知識點(diǎn)是矩陣的乘法和行列式的計(jì)算。注意矩陣與行列式的區(qū)別。解：=4．設(shè)矩陣，確定的值，使最小。分析：本題考核的知識點(diǎn)是對矩陣的秩的概念的掌握和矩陣的初等行變換。其中對參數(shù)的的確定解題的關(guān)鍵。解：所以當(dāng)時，秩最小為2。5．求矩陣的秩。分析：本題考核的知識點(diǎn)是對矩陣的秩的概念的掌握和矩陣的初等行變換。即將矩陣通過初等行變換，將矩陣化為階梯形矩陣，看其非零行的個數(shù)來確定矩陣的秩。解：所以秩=26．求下列矩陣的逆矩陣：分析：本題考核的知識點(diǎn)是對矩陣的逆矩陣的概念的掌握和矩陣的初等行變換。（1）解：所以。（2）A=．解：所以。7．設(shè)矩陣，求解矩陣方程．分析：本題是通過求逆矩陣和矩陣相乘來求解矩陣方程的。因此，重點(diǎn)還是求逆矩陣。解：四、證明題1．試證：若都與可交換，則，也與可交換。證明：∵，∴即，也與可交換。2．試證：對于任意方陣，，是對稱矩陣。證明：∵∴，是對稱矩陣。3．設(shè)均為階對稱矩陣，則對稱的充分必要條件是：。證明：充分性∵，，∴必要性∵，，∴即為對稱矩陣。4．設(shè)為階對稱矩陣，為階可逆矩陣，且，證明是對稱矩陣。證明：∵，∴即是對稱矩陣。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊作業(yè)（四）評講（一）填空題1.函數(shù)的定義域?yàn)?2.函數(shù)的駐點(diǎn)是，極值點(diǎn)是，它是極小值點(diǎn).3.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則需求彈性.4.行列式4.5.設(shè)線性方程組，且，則時，方程組有唯一解.（二）單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（B ）．A．sinxB．exC．x2 D．3-x2.設(shè)，則（C）．A．B．C．D．3.下列積分計(jì)算正確的是（A）．A．B．C．D．4.設(shè)線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（D）．A．B．C．D．5.設(shè)線性方程組，則方程組有解的充分必要條件是（C）．A．B．C．D．三、解答題1．求解下列可分離變量的微分方程：(1)解：原方程變形為：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：（2）解：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：2.求解下列一階線性微分方程：（1）解：原方程的通解為：*（2）解：原方程的通解為：3.求解下列微分方程的初值問題：(1),解：原方程變形為：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：將代入上式得：則原方程的特解為：(2),解：原方程變形為：原方程的通解為：將代入上式得：則原方程的特解為：4.求解下列線性方程組的一般解：（1）解：原方程的系數(shù)矩陣變形過程為：由于秩()=2<n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為：（其中為自由未知量）。（2）解：原方程的增廣矩陣變形過程為：由于秩()=2<n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為：（其中為自由未知量）。5.當(dāng)為何值時，線性方程組有解，并求一般解。解：原方程的增廣矩陣變形過程為：所以當(dāng)時，秩()=2<n=4，原方程有無窮多解，其一般解為：6．為何值時，方程組有唯一解、無窮多解或無解。解：原方程的增廣矩陣變形過程為：討論：（1）當(dāng)為實(shí)數(shù)時，秩()=3=n=4，方程組有唯一解；（2）當(dāng)時，秩()=2<n=4，方程組有無窮多解；（3）當(dāng)時，秩()=3≠秩()=2，方程組無解；7．求解下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題：（1）設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,求：①當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本；②當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最小？解：①∵平均成本函數(shù)為：（萬元/個）邊際成本為：∴當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本分別為：（萬元/個）（萬元/個）②由平均成本函數(shù)求導(dǎo)得：令得駐點(diǎn)（個），（舍去）由實(shí)際問題可知，當(dāng)產(chǎn)量為20個時，平均成本最小。（2）.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件時的總成本函數(shù)為（元），單位銷售價格為（元/件），問產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？解：①收入函數(shù)為：（元）②利潤函數(shù)為：（元）③求利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：④令得駐點(diǎn)（件）⑤由實(shí)際問題可知，當(dāng)產(chǎn)量為件時可使利潤達(dá)到最大，最大利潤為（元）。（3）投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為(萬元/百臺)．試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達(dá)到最低．解：①產(chǎn)量由