2024屆北京豐臺中考一模數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖所示，若將△ABO繞點O順時針旋轉180°后得到△A1B1O，則A點的對應點A1點的坐標是（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，﹣3）2．某居委會組織兩個檢查組，分別對“垃圾分類”和“違規停車”的情況進行抽查．各組隨機抽取轄區內某三個小區中的一個進行檢查，則兩個組恰好抽到同一個小區的概率是（）A． B． C． D．3．下面說法正確的個數有()①如果三角形三個內角的比是1∶2∶3，那么這個三角形是直角三角形；②如果三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內角，則這么三角形是直角三角形；③如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=12⑤若三角形的一個內角等于另兩個內角之差，那么這個三角形是直角三角形；⑥在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，則此三角形是直角三角形.A．3個B．4個C．5個D．6個4．一個不透明的袋子里裝著質地、大小都相同的3個紅球和2個綠球，隨機從中摸出一球，不再放回袋中，充分攪勻后再隨機摸出一球．兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．5．一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）A．三菱柱 B．三棱錐 C．長方體 D．圓柱體6．“車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈”這個事件是()A．不可能事件 B．不確定事件 C．確定事件 D．必然事件7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，點E是△ABC的內心，過點E作EF∥AB交AC于點F，則EF的長為()A． B． C． D．8．我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設大馬有匹，小馬有匹，則可列方程組為（）A． B．C． D．9．實數a，b在數軸上對應的點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．10．已知二次函數y＝ax2+bx+c(a≠1)的圖象如圖所示，給出以下結論：①a+b+c＜1；②a﹣b+c＜1；③b+2a＜1；④abc＞1．其中所有正確結論的序號是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，已知點A是反比例函數的圖象上的一個動點，連接OA，若將線段OA繞點O順時針旋轉90°得到線段OB，則點B所在圖象的函數表達式為______．12．關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則________．13．如圖，學校環保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的長度為30m，DE的長為15m，則樹AB的高度是_____m．14．化簡的結果為_____．15．據媒體報道，我國研制的“察打一體”無人機的速度極快，經測試最高速度可達204000米/分，將204000這個數用科學記數法表示為_____．16．如圖所示，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，則S△BDE：S四邊形DECA的值為_____．17．已知一粒米的質量是1．111121千克，這個數字用科學記數法表示為__________．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，在直角坐標系中△ABC的A、B、C三點坐標A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．（1）請在圖中畫出△ABC的一個以點P（12，0）為位似中心，相似比為3的位似圖形△A′B′C′（要求與△ABC同在P點一側），畫出△A′B′C′關于y軸對稱的△A′'B′'C′'；（2）寫出點A'的坐標．19．（5分）如圖，已知是的外接圓，圓心在的外部，，，求的半徑.20．（8分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BF平分∠ABC交AD于點E，交AC于點F，求證：AE＝AF．21．（10分）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．22．（10分）為響應“植樹造林、造福后人”的號召，某班組織部分同學義務植樹棵，由于同學們的積極參與，實際參加的人數比原計劃增加了，結果每人比原計劃少栽了棵，問實際有多少人參加了這次植樹活動？23．（12分）如圖1，四邊形ABCD，邊AD、BC的垂直平分線相交于點O．連接OA、OB、OC、OD．OE是邊CD的中線，且∠AOB+∠COD＝180°（1）如圖2，當△ABO是等邊三角形時，求證：OE＝AB；（2）如圖3，當△ABO是直角三角形時，且∠AOB＝90°，求證：OE＝AB；（3）如圖4，當△ABO是任意三角形時，設∠OAD＝α，∠OBC＝β，①試探究α、β之間存在的數量關系？②結論“OE＝AB”還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請說明理由．24．（14分）已知，如圖，是的平分線，，點在上，，，垂足分別是、.試說明：.

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、A【解題分析】

由題意可知，點A與點A1關于原點成中心對稱，根據圖象確定點A的坐標，即可求得點A1的坐標.【題目詳解】由題意可知，點A與點A1關于原點成中心對稱，∵點A的坐標是（﹣3，2），∴點A關于點O的對稱點A'點的坐標是（3，﹣2）．故選A．【題目點撥】本題考查了中心對稱的性質及關于原點對稱點的坐標的特征，熟知中心對稱的性質及關于原點對稱點的坐標的特征是解決問題的關鍵.2、C【解題分析】分析：將三個小區分別記為A、B、C，列舉出所有情況即可，看所求的情況占總情況的多少即可．詳解：將三個小區分別記為A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9種等可能結果，其中兩個組恰好抽到同一個小區的結果有3種，所以兩個組恰好抽到同一個小區的概率為.故選：C．點睛：此題主要考查了列表法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．3、C【解題分析】試題分析：①∵三角形三個內角的比是1：2：3，∴設三角形的三個內角分別為x，2x，3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴3x=3×30°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；②∵三角形的一個外角與它相鄰的一個內角的和是180°，∴若三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內角，則此三角形是直角三角形，故本小題正確；③∵直角三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，∴若三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形，故本小題正確；④∵∠A=∠B=12∴設∠A=∠B=x，則∠C=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴2x=2×45°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；⑤∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，三角形的一個內角等于另兩個內角之差，∴三角形一個內角也等于另外兩個內角的和，∴這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內角互補，∴有一個內角一定是90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確；⑥∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，又一個內角也等于另外兩個內角的和，由此可知這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內角互補，∴有一個內角一定是90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確．故選D．考點：1.三角形內角和定理；2.三角形的外角性質．4、A【解題分析】

列表或畫樹狀圖得出所有等可能的結果，找出兩次都為紅球的情況數，即可求出所求的概率：【題目詳解】列表如下：

紅

紅

紅

綠

綠

紅

﹣﹣﹣

（紅，紅）

（紅，紅）

（綠，紅）

（綠，綠）

紅

（紅，紅）

﹣﹣﹣

（紅，紅）

（綠，紅）

（綠，紅）

紅

（紅，紅）

（紅，紅）

﹣﹣﹣

（綠，紅）

（綠，紅）

綠

（紅，綠）

（紅，綠）

（紅，綠）

﹣﹣﹣

（綠，綠）

綠

（紅，綠）

（紅，綠）

（紅，綠）

（綠，綠）

﹣﹣﹣

∵所有等可能的情況數為20種，其中兩次都為紅球的情況有6種，∴，故選A.5、A【解題分析】

主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．【題目詳解】由于左視圖和俯視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由主視圖為三角形可得為三棱柱．故選：B．【題目點撥】此題主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．6、B【解題分析】

根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.【題目詳解】“車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈”是隨機事件.故選：.【題目點撥】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的實際；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.7、A【解題分析】

過E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依據△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根據斜邊的長列方程即可得到結論．【題目詳解】過E作EG∥BC，交AC于G，則∠BCE=∠CEG．∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，設EG=4k=AG，則EF=3k=CF，FG=5k．∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=3k=．故選A．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構相似三角形以及構造等腰三角形．8、B【解題分析】

設大馬有匹，小馬有匹，根據題意可得等量關系：大馬數+小馬數=100，大馬拉瓦數+小馬拉瓦數=100，根據等量關系列出方程即可．【題目詳解】解：設大馬有匹，小馬有匹，由題意得：，故選：B．【題目點撥】本題主要考查的是由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程組．9、D【解題分析】

根據數軸上點的位置，可得a，b，根據有理數的運算，可得答案．【題目詳解】a＝﹣2，2＜b＜1．A.a+b＜0，故A不符合題意；B.a＜|﹣2|，故B不符合題意；C.b＜1＜π，故C不符合題意；D.＜0，故D符合題意；故選D．【題目點撥】本題考查了實數與數軸，利用有理數的運算是解題關鍵．10、C【解題分析】試題分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．解：①當x=1時，y=a+b+c=1，故本選項錯誤；②當x=﹣1時，圖象與x軸交點負半軸明顯大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本選項正確；③由拋物線的開口向下知a＜1，∵對稱軸為1＞x=﹣＞1，∴2a+b＜1，故本選項正確；④對稱軸為x=﹣＞1，∴a、b異號，即b＞1，∴abc＜1，故本選項錯誤；∴正確結論的序號為②③．故選B．點評：二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞1；否則a＜1；（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=﹣b2a判斷符號；（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞1；否則c＜1；（4）當x=1時，可以確定y=a+b+C的值；當x=﹣1時，可以確定y=a﹣b+c的值．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解題分析】∵點A是反比例函數的圖象上的一個動點，設A（m，n），過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，∵∠AOB=90°，∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠BOD，在△ACO與△ODB中，∵∠ACO=∠ODB，∠CAO=∠BOD，AO=BO，∴△ACO≌△ODB，∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，∴B（n，﹣m），∵mn=﹣2，∴n（﹣m）=2，∴點B所在圖象的函數表達式為，故答案為：．12、-1.【解題分析】

根據根的判別式計算即可.【題目詳解】解：依題意得：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴==4-41（-k）=4+4k=0解得，k=-1.故答案為：-1.【題目點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，當=>0時，方程有兩個不相等的實數根；當==0時，方程有兩個相等的實數根；當=<0時，方程無實數根.13、1【解題分析】

先根據CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由銳角三角函數的定義即可得出結論．【題目詳解】解：作DF⊥AB于F，交BC于G．則四邊形DEAF是矩形，∴DE=AF=15m，∵DF∥AE，∴∠BGF=∠BCA=60°，∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，∴∠GDB=∠GBD=30°，∴GD=GB，在Rt△DCE中，∵CD=2DE，∴∠DCE=30°，∴∠DCB=90°，∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°∴△DGC≌△BGF，∴BF=DC=30m，∴AB=30+15=1（m），故答案為1．【題目點撥】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數的定義是解答此題的關鍵．14、+1【解題分析】

利用積的乘方得到原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1），然后利用平方差公式計算．【題目詳解】原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1）＝（2﹣1）2017?（+1）＝+1．故答案為：+1．【題目點撥】本題考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．15、2.04×1【解題分析】

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥1時，n是非負數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【題目詳解】解：204000用科學記數法表示2.04×1．故答案為2.04×1．點睛：本題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．16、1：1【解題分析】

根據題意得到BE：EC=1：3，證明△BED∽△BCA，根據相似三角形的性質計算即可．【題目詳解】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴S△BDE：S△BCA=（）2=1：16，∴S△BDE：S四邊形DECA=1：1，故答案為1：1．【題目點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．17、2.1×【解題分析】

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×11-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的1的個數所決定．【題目詳解】解：1.111121=2.1×11-2．

故答案為：2.1×11-2．【題目點撥】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×11-n，其中1≤|a|＜11，n由原數左邊起第一個不為零的數字前面的1的個數所決定．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）見解析；（2）點A'的坐標為（-3，3）【解題分析】

解：(1)，△A′'B′'C′'如圖所示．（2）點A'的坐標為（-3，3）.19、4【解題分析】

已知△ABC是等腰三角形，根據等腰三角形的性質，作于點，則直線為的中垂線，直線過點，在Rt△OBH中，用半徑表示出OH的長，即可用勾股定理求得半徑的長．【題目詳解】作于點，則直線為的中垂線，直線過點，，，，即，.【題目點撥】考查垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.20、見解析【解題分析】

根據角平分線的定義可得∠ABF=∠CBF，由已知條件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根據余角的性質可得∠AFB=∠BED，即可求得∠AFE=∠AEF，由等腰三角形的判定即可證得結論．【題目詳解】∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．【題目點撥】本題考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性質，根據余角的性質證得∠AFB=∠BED是解題的關鍵．21、（2）方程有兩個不相等的實數根；（2）b=-2，a=2時，x2=x2=﹣2．【解題分析】

分析：（2）求出根的判別式，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.（2）方程有兩個相等的實數根，則，寫出一組滿足條件的，的值即可.詳解：（2）解：由題意：．∵，∴原方程有兩個不相等的實數根．（2）答案不唯一，滿足（）即可，例如：解：令，，則原方程為，解得：．點睛：考查一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數根.當時，方程有兩個相等的實數根.當時，方程沒有實數根.22、人【解題分析】

解：設原計劃有x人參加了這次植樹活動依題意得：解得x=30人經檢驗x=30是原方程式的根實際參加了這次植樹活動1.5x=45人答實際有45人參加了這次植樹活動．23、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①α+β＝90°；②成立，理由詳見解析．【解題分析】

(1)作OH⊥AB于H，根據線段垂直平分線的性質得到OD=OA，OB=OC，證明△OCE≌△OBH，根據全等三角形的性質證明；(2)證明△OCD≌△OBA，得到AB=CD，根據直角三角形的性質得到OE=CD，證明即可；(3)①根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算；②延長OE至F，是EF=OE，連接FD、FC，根據平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質證明．【題目詳解】(1)作OH⊥A