指數函數與對數函數A組

自主命題·北京卷題組1.(2017北京,8,5分)根據有關資料,圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通

物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與

最接近的是(參考數據:lg3≈0.48)

()A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

答案

D設

=

=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故選D.2.(2011北京文,3,5分)如果lo

x<lo

y<0,那么

()A.y<x<1

B.x<y<1

C.1<x<y

D.1<y<x答案

D

lo

x<lo

y<lo

1,∵y=lo

x是(0,+∞)上的減函數,∴x>y>1,故選D.3.(2015北京文,10,5分)2-3,

,log25三個數中最大的數是

.答案

log25解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴這三個數中最大的數為log25.4.(2012北京文,12,5分)已知函數f(x)=lgx.若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=

.答案2解析∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lga+2lgb=2lg(ab)=2.評析本題主要考查對數函數的運算,考查學生的運算求解能力.B組

統一命題、省(區、市)卷題組考點一指數與指數函數1.(2016課標全國Ⅲ,6,5分)已知a=

,b=

,c=2

,則

()A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

A因為a=

=

,c=2

=

,函數y=

在(0,+∞)上單調遞增,所以

<

,即a<c,又因為函數y=4x在R上單調遞增,所以

<

,即b<a,所以b<a<c,故選A.評析本題主要考查指數式的大小比較,屬中檔題.2.(2015江蘇,7,5分)不等式

<4的解集為

.答案{x|-1<x<2}解析不等式

<4可轉化為

<22,利用指數函數y=2x的性質可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為{x|-1<x<2}.3.(2015山東,14,5分)已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.答案-

解析①當a>1時,f(x)在[-1,0]上單調遞增,則

無解.②當0<a<1時,f(x)在[-1,0]上單調遞減,則

解得

∴a+b=-

.評析本題主要考查指數函數的性質及分類討論的思想.1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo

,則a,b,c的大小關系為

()A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b考點二對數與對數函數答案

D本題主要考查對數的大小比較.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故選D.方法總結比較對數的大小①若底數為同一常數,則可由對數函數的單調性直接進行判斷;若底數為同一字母,則需對底數

進行分類討論;②若底數不同,真數相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進行比較;③若底

數與真數都不同,則常借助1,0等中間量進行比較.2.(2013浙江,3,5分)已知x,y為正實數,則

()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy

B.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx·2lgy

答案

D2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故選D.3.(2013課標全國Ⅱ,8,5分,0.678)設a=log36,b=log510,c=log714,則

()A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c答案

D由對數運算法則得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由對數函數圖象得log32>

log52>log72,所以a>b>c,故選D.4.(2016課標全國Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,則

()A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A錯;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是減函數,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B錯;易知y=logcx是減函數,∴0>logcb>logca,∴logbc<logac,D錯;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正確.解法二:依題意,不妨取a=10,b=2,c=

.易驗證A、B、D均是錯誤的,只有C正確.5.(2015陜西,9,5分)設f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),則下列關系式中正確的是

()A.q=r<p

B.q=r>pC.p=r<q

D.p=r>q答案

C由題意得p=ln

,q=ln

,r=

(lna+lnb)=ln

=p,∵0<a<b,∴

>

,∴ln

>ln

,∴p=r<q.

答案

D解法一:令t=2x=3y=5z,∵x,y,z為正數,∴t>1,則x=log2t=

,y=log3t=

,z=log5t=

.∴2x-3y=

-

=

=

>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=

-

=

=

<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故選D.解法二:由2x=3y=5z,可設(

)2x=(

)3y=(

)5z=t,因為x,y,z為正數,所以t>1,因為

=

=

,

=6.(2017課標全國Ⅰ,11,5分)設x,y,z為正數,且2x=3y=5z,則

()A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

=

,所以

<

;因為

=

=

,

=

,所以

>

,所以

<

<

.分別作出y=(

)x,y=(

)x,y=(

)x的圖象,如圖.

則3y<2x<5z,故選D.評析解法一:令t=2x=3y=5z,將指數式轉化為對數式,利用作差法,結合對數運算比較2x、3y、5

z的大小,起到了事半功倍的效果.解法二:指數式比較大小一般要先將指數式轉化為同底指數式或者是同冪指數式的形式.若化

為同底指數式,直接利用指數函數的單調性比較大小即可;若化為同冪指數式,一般要作出不同

底的指數函數的圖象來比較.7.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=

,ab=ba,則a=

,b=

.答案4;2解析令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=

得,t+

=

,解得t=

或t=2(舍去),即logab=

,∴b=

,又ab=ba,∴

=(

)a,即

=

,亦即

=

,解得a=4,∴b=2.評析本題考查對數式、指數式的運算,注意logab=

,先求出logab=

是解題的突破口.C組

教師專用題組1.(2014遼寧,3,5分)已知a=

,b=log2

,c=lo

,則

()A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a答案

C由指數函數及對數函數的單調性易知0<

<1,log2

<log21=0,lo

>lo

=1,故選C.2.(2016四川,5,5分)某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.若該公司2015年全年投入

研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的

研發資金開始超過200萬元的年份是(參考數據:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年答案

B設x年后研發資金超過200萬元,則130(1+12%)x>200?1.12x>

?xlg1.12>lg

?0.05x>0.19?x>3.8,故該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是2019年.評析熟練應用對數運算法則是解題的關鍵.3.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).現有下列命題:①f(-x)=-f(x);②f

=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正確命題的序號是

()A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②答案

A

f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),①正確.f

=ln

-ln

=ln

-ln

,∵x∈(-1,1),∴f

=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),②正確.當x∈[0,1)時,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

,2|x|=2x,令g(x)=ln

-2x,則g'(x)=

≥0,∴g(x)在[0,1)上為增函數,∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)|≥2|x|;當x∈(-1,0)時,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln

,2|x|=-2x,令h(x)=2x-ln

,則h'(x)=

<0,∴h(x)在(-1,0)上為減函數,∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.∴當x∈(-1,1)時,|f(x)|≥2|x|,③正確.評析對于③|f(x)|≥2|x|,易誤認為可直接畫圖象判定.事實上利用圖象很難解決,通過分類討

論解決較為方便.4.(2015福建,14,4分)若函數f(x)=

(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數a的取值范圍是

.答案(1,2]解析當x≤2時,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上為減函數,∴f(x)∈[4,+∞).當x>2時,若a∈(0,1),則f(x)

=3+logax在(2,+∞)上為減函數,f(x)∈(-∞,3+loga2),顯然不滿足題意,∴a>1,此時f(x)在(2,+∞)上

為增函數,f(x)∈(3+loga2,+∞),由題意可知(3+loga2,+∞)?[4,+∞),則3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1

<a≤2.A組

2016—2018年高考模擬·基礎題組考點一指數式與對數式的大小比較1.(2018北京通州一模,4)設a=lo

,b=log3

,c=

,那么

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b答案

D

b=-log32<0,0<c=

<30=1,a=log36>log33=1,故選D.2.(2018北京順義二模,6)若a=log3

,b=log39.1,c=20.8,則a,b,c的大小關系為

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.a<c<b

D.c<a<b答案

C∵a=log3

<0,b=log39.1>log39=2,0<c=20.8<21,∴a<c<b,故選C.3.(2016北京東城期末,4)已知m∈(0,1),令a=logm2,b=m2,c=2m,則a,b,c的大小關系為

()A.b<c<a

B.b<a<cC.a<b<c

D.c<a<b答案

C∵0<m<1,∴a=logm2<0,0<b=m2<1,c=2m>1,∴a<b<c,故選C.4.(2017北京朝陽期中)若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,則a,b,c的大小關系是

()A.a>b>c

B.b>c>aC.c>b>a

D.b>a>c答案

B易得a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1,∴b>c>a.故選B.5.(2016北京海淀一模,11)在三個數

,

,log32中,最小的數是

.答案

解析∵

=

>

,log32>log3

=log3

=

,∴這三個數中,

最小.1.(2018北京朝陽二模,6)已知函數f(x)=

則“a≤0”是“函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件考點二指數函數與對數函數的圖象和性質答案

A解法一:證明充分性:當a≤0時,當x∈[0,+∞)時,f(x)=2x,由指數函數的性質可知,f(x)=2x在[0,+∞)上單調遞增,即充分性成立.證明必要性:如圖,令2x=x2(x≥0),則x=2或x=4,因為函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以a≤2或a≥4,所以a的值

不一定小于或等于0,故必要性不成立.故選A.

解法二(特殊值法):令a=-1或a=3即可選出答案.2.(2016北京海淀期中)如圖,點O為坐標原點,點A(1,1).若函數y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且

b≠1)的圖象與線段OA分別交于點M,N,且M,N恰好是線段OA的兩個三等分點,則a,b滿足

(

)

A.a<b<1

B.b<a<1C.b>a>1

D.a>b>1答案

A由圖象知,函數y=ax(a>0,且a≠1)與y=logbx(b>0,且b≠1)均為減函數,所以0<a<1,0<b

<1.因為點A的坐標為(1,1),所以線段OA的方程為y=x(0≤x≤1),因為函數y=ax的圖象經過點M,

所以它的反函數y=logax的圖象也過點M,由對數函數的圖象和性質可知a<b,所以a<b<1.故選A.3.(2017北京西城一模,14)函數f(x)=2x+log2|x|的零點個數為

.答案2解析令y=2x,y=-log2|x|,在同一直角坐標系中作出函數y=2x與y=-log2|x|的圖象,如圖:

由圖象可知,函數f(x)=2x+log2|x|的零點個數為2.4.(2016北京石景山一模,13)已知函數f(x)=

且關于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數a的取值范圍是

.答案(1,+∞)解析如圖,在同一直角坐標系中作出y=f(x)與y=-x+a的圖象,其中a表示直線y=-x+a在y軸上的

截距,由圖可知,當a>1時,直線y=-x+a與函數f(x)的圖象只有一個交點.

B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:35分)一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2018北京豐臺二模,6)設下列函數的定義域為(0,+∞),則值域為(0,+∞)的函數是

()A.y=ex-x

B.y=ex+lnxC.y=x-

D.y=ln(x+1)答案

D

A項,函數y=ex-x,y'=ex-1,令ex-1>0可知函數在(0,+∞)上單調遞增,所以值域為(1,+∞),

故排除A.B項,函數y=ex+lnx,當x→0時,lnx→-∞,而ex→1,所以y→-∞,可排除B;C項,函數y=x-

可看作關于

的二次函數,即y=(

)2-

,易得值域為

,可排除C,故選D.解題關鍵熟練掌握指數函數與對數函數的圖象和性質是解本題的關鍵.2.(2018北京一七一中學期中,2)已知集合A=

,集合B={x|lgx>0},則A∪B=

()A.{x|x>0}

B.{x|x>1}C.{x|x>1}∪{x|x<0}

D.?答案

A由

<1=

,得x>0,∴A={x|x>0},由lgx>0=lg1,得x>1,∴B={x|x>1},則A∪B={x|x>0},故選A.3.(2018北京西城期末,8)在標準溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質的量的濃度(單位

mol/L,記作[H+])和氫氧根離子的物質的量的濃度(單位mol/L,記作[OH-])的乘積等于常數10-14.

已知pH值的定義為pH=-lg[H+],健康人體血液的pH值保持在7.35~7.45之間,那么健康人體血液

中的

=

()(參考數據:lg2≈0.30,lg3≈0.48)A.

B.

C.

D.

答案

C本題考查對數的運算法則.由題可得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),且[H+]·[OH-]=10-14,lg

=lg

=lg([H+]2·1014)=2lg[H+]+14,又因為7.35<-lg[H+]<7.45,所以-7.45<lg[H+]<-7.35,所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,即-0.9<lg

<-0.7.因為lg

=-lg2≈-0.30,所以A項錯,因為lg

=-lg3≈-0.48,所以B項錯,因為lg

=-(lg2+lg3)≈-0.78,所以C項正確,因為lg

=-1,所以D項錯.故選C.4.(2016北京西城二模,7)如圖,點A,B在函數y=log2x+2的圖象上,點C在函數y=log2x的圖象上,若

△ABC為等邊三角形,且直線BC∥y軸,設點A的坐標為(m,n),則m=

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D由題圖可知|BC|=2,∵△ABC為等邊三角形,且直線BC∥y軸,A(m,n),∴C(m+

,n-1),有

解得m=

.故選D.思路分析先由函數圖象得到三角形的邊長,再利用等邊三角形的性質和A點坐標表示C點坐

標,將點A,C的坐標代入函數中,求出m的值.5.(2017北京海淀期中,8)如圖,A是函數f(x)=2x的圖象上的動點,過點A作直線平行于x軸,交函數g

(x)=

的圖象于點B,若函數f(x)=2x的圖象上存在點C使得△ABC為等邊三角形,則稱A為函數f(x)=2x的圖象上的好位置點.則函數f(x)=2x的圖象上的好位置點的個數為

()

A.0

B.1

C.2

D.大于2答案

B設點A,B的縱坐標為m(m>0),則A(log2m,m),B(log2m-2,m),∴|AB|=log2m-log2m+2=2,設C(x,2x),∵△ABC是等邊三角形,且|AB|=2,∴點C到直線AB的距離為

,∴|m-2x|=

,易得點C的橫坐標