【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數學上冊尖子生培優必刷題（人教版）專題13.5等邊三角形的性質（限時滿分培優訓練）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023春?碭山縣校級期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝α，則∠1＝（）A．60°+α B．60°﹣α C．30°+2α D．120°﹣2α【答案】B【分析】根據等邊三角形的性質得出∠ABC＝60°，再根據平行線的性質及角的和差求解即可．【解答】解：如圖，過點B作BM∥AP，∵AP∥CQ，∴AP∥CQ∥BM，∴∠BAP＝∠ABM＝α，∠1＝∠CBM，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠ABM+∠CBM，∴∠CBM＝60°﹣α，∴∠1＝60°﹣α，故選：B．【點評】此題考查了等邊三角形的性質，熟記等邊三角形的性質是解題的關鍵．2．（2021秋?南崗區校級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC＝40°，則∠ADB的度數為（）A．25° B．60° C．90° D．100°【答案】D【分析】等邊三角形的三個角都為60°，三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∠DBC＝40°，∴∠ADB＝40°+60°＝100°，故選：D．【點評】本題考查等邊三角形的性質，等邊三角形的三個角都為60°，和三角形的外角的性質．3．（2021秋?涿州市校級期末）由于木質的衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小紅設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可，如圖1，衣架桿OA＝OB＝30cm．若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點間的距離是（）A．15cm B．30cm C．60cm D．都不對【答案】B【分析】根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝30cm，故選：B．【點評】此題考查等邊三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題的關鍵．4．（2022秋?濟寧期末）如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】易證△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根據∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度數，即可解題．【解答】解：在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABC=∠∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應角相等的性質，等邊三角形內角為60°的性質，本題中求證△ABD≌△BCE是解題的關鍵．5．（2023春?競秀區期末）老師設計了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述下面的題目：“如圖，在△ABC中，∠C＝30°，點D是AC的中點，DE⊥AC交BC于E；點O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，甲說：CE＝12；乙說：CB＝20；丙說：△AOB為等邊三角形；丁說：過點O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．若四個描述中，只有“臥底”的描述是錯誤的．則“臥底”是（）?A．甲 B．乙 C．丙 D．四個人都不是臥底【答案】D【分析】連接OC，作OF⊥BC于點F，根據含30°的直角三角形的性質求出CE，根據線段垂直平分線的性質、等腰三角形的三線合一解答即可．【解答】解：連接OC，作OF⊥BC于點F，由題意得：DE＝OD+OE＝6，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，所以甲對；∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF=12OE＝∴CF＝CE﹣EF＝10，∴CB＝20，所以乙對；∴BE＝20﹣12＝8，∴BF=12BC＝在Rt△CDE中，CE＝12，DE＝6，由勾股定理可得CD＝63，∴AC＝2CD＝123，過B作BM⊥AC于M點，∵∠C＝30°，BC＝20，∴BM=12BC＝10，CM=3BM＝∴AM＝AC﹣CM＝23，在Rt△ABM中，由勾股定理可得：AB=AM2在Rt△COD中，CD＝63，OD＝2，由勾股定理可得：CO=CD2∴CO＝OA＝OB＝47，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB為等邊三角形，丙對，故四人都不是臥底，所以D選項說法正確，故選：D．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、直角三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵6．（2023春?興寧市期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由等邊三角形的性質可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性質及三角形的內角和定理可得∠ADE的度數，進而可求解．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵AD是等邊三角形ABC的中線，∴∠CAD=12∠BAC＝30°，AD⊥∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故選：A．【點評】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，求解∠ADE的度數是解題的關鍵．7．（2022秋?安次區期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數為（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【分析】利用等邊對等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和依次計算∠GDC和∠E即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故選：C．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，三角形的內角和定理的推論，等腰三角形的判定與性質，利用等邊對等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和解答是解題的關鍵．8．（2023春?環江縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，P是△ABC內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，PD+PE+PF＝6，則△ABC的周長是（）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，由條件推出四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，△PFM，△PDN是等邊三角形，得到BC＝PF+PD+PE＝6，即可求出△ABC的周長．【解答】解：延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，∴CN＝PE，BD＝PM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠PDN＝∠B＝60°，∠PND＝∠C＝60°，∴∠DPN＝180°﹣∠PDN﹣∠PND＝60°，∴△PDN是等邊三角形，同理：△PFM是等邊三角形，∴PD＝DN，PF＝MP，∴PF＝BD，∴BC＝BD+DN+CN＝PF+PD+PE＝6，∴△ABC的周長為：6×3＝18，即△ABC的周長是18．故選：B．【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是由等邊三角形的性質，平行四邊形的性質證明BC＝PF+PD+PE＝6．9．（2019秋?鎮賚縣期末）如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB＝AC，頂角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD為支柱（即底邊BC的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m【答案】B【分析】先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到DE=12BD，DF=12DC，兩式相加，即可證明DE+【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F，∴DE=12BD，DF=∴DE+DF=12BD+12DC=12（BD∴DE+DF=12BC=12×故選：B．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理及含30度角的直角三角形的性質的綜合運用，用到的知識點為：等邊對等角；三角形內角和為180°；直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半．10．（2020春?淄川區期末）在等邊△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的動點，BD＝2AE，連接DE，以DE為邊在△ABC內作等邊△DEF，連接CF，當D從點A向B運動（不運動到點B）時，∠ECF大小的變化情況是（）A．不變 B．變小 C．變大 D．先變大后變小【答案】A【分析】在AC上截取CN＝AE，連接FN，易證AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS證得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出結果．【解答】解：在AC上截取CN＝AE，連接FN，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，AD=EN∠ADE=∠NEF∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故選：A．【點評】本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識；作出輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．二．填空題（共6小題）11．（2023春?龍川縣校級期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，則△ABC的周長是12．【答案】12．【分析】根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BC＝4，∴△ABC的周長＝3×4＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，判斷出△ABC是等邊三角形是解題的關鍵．12．（2023春?零陵區期中）如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點A，B分別在l1，l2上，∠2＝40°，則∠1的度數為20°．【答案】20°．【分析】如圖，由平行線的性質可得出∠3＝∠2＝40°．根據等邊三角形的性質可得出∠ABC＝60°，即可由∠1＝∠ABC﹣∠3求解．【解答】解：如圖，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝40°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠1＝∠ABC﹣∠3＝20°．故答案為：20°．【點評】本題考查平行線的性質，等邊三角形的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．13．（2023春?唐河縣期末）如圖，將邊長為5cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移4cm得到△A′B′C′，則四邊形AA′C′B的周長為23cm．【答案】23cm．【分析】根據平移的性質得到A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：由平移的性質可知，A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，∴四邊形AA′C′B的周長＝AB+BC′+A′C′+A′A＝AB+BB′+B′C′+A′C′+A′A＝15+8＝23（cm），故答案為：23cm．【點評】本題考查了平移的性質，理解平移的性質是解題的關鍵．14．（2023春?安源區期末）如圖，點D，E分別在等邊△ABC的邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使點B落在B1處，DB?，EB1分別交邊AC于點F，G，若∠ADF＝84°，則∠CEG的度數為36°．【答案】36°．【分析】由對頂角相等可得∠CGE＝∠FGB1，由兩角對應相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度數，進而利用三角形內角和得出答案．【解答】解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG，∵∠ADF＝84°，∴∠BDE＝∠EDF＝48°，∵∠B＝60°，∴∠BED＝∠DEG＝72°，∴∠CEG＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．【點評】本題考查了翻折變換問題；得到∠CGE等于∠ADF的度數的關系是解決本題的關鍵．15．（2023?碑林區校級模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點E是AC的中點，過點E作EF⊥AB于點F，延長BC交EF的反向延長線于點D，若EF＝1，則DF的長為3．【答案】3．【分析】過點C作CH⊥DE于點H，易證△AFE≌△CHE（AAS），根據全等三角形的性質可得EH＝EF＝1，再證明△CDE是等腰三角形，可得DH＝EH＝1，進一步可得DF的長．【解答】解：過點C作CH⊥DE于點H，則∠CHE＝90°，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠CHE，∵E是AC的中點，∴AE＝CE，在△AFE和△CHE中，∠AFE=∠CHE∠AEF=∠CEH∴△AFE≌△CHE（AAS），∴EH＝EF＝1，在等邊△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°，∵∠BFE＝90°，∴∠D＝30°，∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°，∴CE＝CD，∴△CDE是等腰三角形，∵CH⊥DE，∴DH＝EH＝1，∴DF＝DH+EH+EF＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．16．（2020春?成都期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，連接CE．（1）如圖1，當CE∥AB時，若∠BAD＝35°，則∠DEC＝25度；（2）如圖2，設∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在點D運動過程中，當DE⊥BC時，∠DEC＝α﹣90°．（用含α的式子表示）【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據已知條件得到∠BAD＝∠CAE，根據全等三角形的性質得到∠B＝∠ACE，根據平行線的性質得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等邊三角形，于是得到結論；（2）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，根據全等三角形的性質得到∠B＝∠ACE＝90°-12α，求得∠DCE＝2（90【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案為：25；（2）∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°-1∴∠DCE＝2（90°-12α）＝180∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案為：α﹣90°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．【答案】（1）見解析；（2）24．【分析】（1）根據等邊三角形的性質可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性質即可得出結論；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的長，進而可得出結論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質，熟知邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°是解題的關鍵．18．（2023春?鐵西區期末）如圖，已知AB∥CD，△ACE是等邊三角形，∠DCE＝40°，求∠EAB的度數．【答案】20°．【分析】由△ACE是等邊三角形，得到∠ACE＝∠CAE＝60°，由平行線的性質得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，又∠DCE＝40°，即可求出∠EAB＝20°．【解答】解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠ACE＝∠CAE＝60°，∵CD∥AB，∴∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠EAB＝20°．【點評】本題考查平行線的性質，等邊三角形的性質，關鍵是由平行線的性質得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°．19．（2023?荊州）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【答案】見解析．【分析】根據等邊三角形的性質得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根據等腰三角形的性質得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論．【解答】證明：∵BD是等邊△ABC的中線，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．20．（2023春?南海區校級月考）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E、F分別為垂足，△DEF是等邊三角形．（1）求∠A的度數；（2）求證：EF∥BC．【答案】（1）120°；（2）見解析．【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，再根據垂直定義和平角定義可求得∠AEF＝∠AFE＝30°，再利用三角形的內角和等于180°求解即可；（2）證明Rt△BED≌Rt△CFD，則∠B＝∠C，再根據三角形的內角和定理和平行線的判定可證得結論．【解答】解：（1）∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠A＝180°﹣（∠AEF+∠AFE）＝120°；（2）∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DFBD=CD∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，則∠B=1∴∠B＝∠AEF，∴EF∥BC．【點評】本題考查了等邊三角形的性質、垂直定義、三角形的內角和定理、全等三角形的性質、平行線的判定，熟練掌握等邊三角形的性質以及HL定理是解答的關鍵．21．（2022春?蘭州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等邊三角形，BQ和CP交于點H，求證：BQ⊥CP．【答案】證明過程見解析．【分析】由等邊三角形的性質可得出∠ACP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形內角和定理得出∠BHC＝90°，則可得出結論．【解答】證明：∵△CAP和△CBQ都是等邊三角形，∴∠ACP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，垂直的定義，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．22．（2021秋?龍馬潭區期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，CE＝CD，（1）求證：DB＝DE．（2）在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周長．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根據角之間的關系求得∠DBC＝∠CED，根據等角對等邊即可得到DB＝DE．（2）由DF的長可求出CD，進而可求出AC的長，則△ABC的周長即可求出．【解答】（1）證