2024學年天津市和平區二十一中中考數學押題卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中，是正方體表面展開圖的是（）A． B． C． D．2．改革開放40年以來，城鄉居民生活水平持續快速提升，居民教育、文化和娛樂消費支出持續增長，已經成為居民各項消費支出中僅次于居住、食品煙酒、交通通信后的第四大消費支出，如圖為北京市統計局發布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娛樂消費支出的折線圖．說明：在統計學中，同比是指本期統計數據與上一年同期統計數據相比較，例如2018年第二季度與2017年第二季度相比較；環比是指本期統計數據與上期統計數據相比較，例如2018年第二季度與2018年第一季度相比較．根據上述信息，下列結論中錯誤的是（）A．2017年第二季度環比有所提高B．2017年第三季度環比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高3．小明家1至6月份的用水量統計如圖所示，關于這組數據，下列說法錯誤的是（）．A．眾數是6噸 B．平均數是5噸 C．中位數是5噸 D．方差是4．一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結果保留小數點后兩位）（參考數據：3≈1.732，2≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里5．函數y=ax2+1與（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．6．四張分別畫有平行四邊形、菱形、等邊三角形、圓的卡片，它們的背面都相同。現將它們背面朝上，從中任取一張，卡片上所畫圖形恰好是中心對稱圖形的概率是（）A． B．1 C． D．7．從3、1、－2這三個數中任取兩個不同的數作為P點的坐標，則P點剛好落在第四象限的概率是（）A． B． C． D．8．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為A． B．3 C．1 D．9．二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一坐標系中的大致圖象是()A． B． C． D．10．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）A． B． C．4 D．2+二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．下列說法正確的是_____．（請直接填寫序號）①“若a＞b，則＞．”是真命題．②六邊形的內角和是其外角和的2倍．③函數y=的自變量的取值范圍是x≥﹣1．④三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．⑤正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．12．高速公路某收費站出城方向有編號為的五個小客車收費出口，假定各收費出口每20分鐘通過小客車的數量分別都是不變的.同時開放其中的某兩個收費出口，這兩個出口20分鐘一共通過的小客車數量記錄如下：收費出口編號通過小客車數量（輛）260330300360240在五個收費出口中，每20分鐘通過小客車數量最多的一個出口的編號是___________.13．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向行駛，已知甲車的速度大于乙車的速度，甲車到達B地后馬上以另一速度原路返回A地（掉頭的時間忽略不計），乙車到達A地以后即停在地等待甲車．如圖所示為甲乙兩車間的距離y（千米）與甲車的行駛時間t（小時）之間的函數圖象，則當乙車到達A地的時候，甲車與A地的距離為_____千米．14．計算（5ab3）2的結果等于_____．15．如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第4幅圖中有_____個，第n幅圖中共有_____個．16．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有實數根，則a的取值范圍為________．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）隨著通訊技術迅猛發展，人與人之間的溝通方式更多樣、便捷某校數學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷每人必選且只選一種，在全校范圍內隨機調查了部分學生，將統計結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：這次統計共抽查了______名學生；在扇形統計圖中，表示“QQ”的扇形圓心角的度數為______；將條形統計圖補充完整；該校共有1500名學生，請估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學生有多少名.18．（8分）M中學為創建園林學校，購買了若干桂花樹苗，計劃把迎賓大道的一側全部栽上桂花樹（兩端必須各栽一棵），并且每兩棵樹的間隔相等，如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完，求購買了桂花樹苗多少棵？19．（8分）解方程：20．（8分）小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B、C兩點的俯角分別為45°、35°．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m，求熱氣球離地面的高度．（結果保留整數）（參考數據：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）21．（8分）閱讀與應用：閱讀1：a、b為實數，且a＞0，b＞0，因為，所以，從而（當a＝b時取等號）．閱讀2：函數（常數m＞0，x＞0），由閱讀1結論可知：，所以當即時，函數的最小值為．閱讀理解上述內容，解答下列問題：問題1：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為，周長為，求當x＝__________時，周長的最小值為__________．問題2：已知函數y1＝x＋1（x＞－1）與函數y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），當x＝__________時，的最小值為__________．問題3：某民辦學習每天的支出總費用包含以下三個部分：一是教職工工資6400元；二是學生生活費每人10元；三是其他費用．其中，其他費用與學生人數的平方成正比，比例系數為0.1．當學校學生人數為多少時，該校每天生均投入最低？最低費用是多少元？（生均投入＝支出總費用÷學生人數）22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．若⊙O的半徑R=5，tanA=，求線段CD的長．23．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為AD上兩點，AE=EF=FD，連接BE、CF并延長，交于點G，GB=GC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（1）若△GEF的面積為1．①求四邊形BCFE的面積；②四邊形ABCD的面積為．24．如圖，已知等邊△ABC，AB=4，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接FD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）求EF的長．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解題分析】

利用正方體及其表面展開圖的特點解題．【題目詳解】解：A、B、D經過折疊后，下邊沒有面，所以不可以圍成正方體，C能折成正方體．故選C．【題目點撥】本題考查了正方體的展開圖，解題時牢記正方體無蓋展開圖的各種情形．2、C【解題分析】

根據環比和同比的比較方法，驗證每一個選項即可.【題目詳解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正確；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正確；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C錯誤；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D正確；故選C．【題目點撥】本題考查折線統計圖，同比和環比的意義；能夠從統計圖中獲取數據，按要求對比數據是解題的關鍵．3、C【解題分析】試題分析：根據眾數、平均數、中位數、方差：一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數．將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．數據：3,4,5,6,6,6，中位數是5.5，故選C考點：1、方差；2、平均數；3、中位數；4、眾數4、B【解題分析】

根據題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根據三角形內角和和等腰三角形的性質得出BA=BE，AD=DE，設BD=x，Rt△ABD中，根據勾股定理得AD=DE=

3x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2

3x+2x=30，解之即可得出答案.【題目詳解】根據題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，

∴∠ABC=135°，

又∵BE=CE，

∴∠ACB=∠EBC=15°，

∴∠ABE=120°，

又∵∠CAB=30°

∴BA=BE，AD=DE，

設BD=x，

在Rt△ABD中，

∴AD=DE=

3x，AB=BE=CE=2x，

∴AC=AD+DE+EC=2

3x+2x=30，

∴x=153+1

=

15【題目點撥】本題考查了三角形內角和定理與等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握三角形內角和定理與等腰直角三角形的性質.5、B【解題分析】試題分析：分a＞0和a＜0兩種情況討論：當a＞0時，y=ax2+1開口向上，頂點坐標為（0，1）；位于第一、三象限，沒有選項圖象符合；當a＜0時，y=ax2+1開口向下，頂點坐標為（0，1）；位于第二、四象限，B選項圖象符合．故選B．考點：1.二次函數和反比例函數的圖象和性質；2.分類思想的應用．6、A【解題分析】∵在：平行四邊形、菱形、等邊三角形和圓這4個圖形中屬于中心對稱圖形的有：平行四邊形、菱形和圓三種，∴從四張卡片中任取一張，恰好是中心對稱圖形的概率=.故選A.7、B【解題分析】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，其中（1，－2），（3，－2）點落在第四項象限，∴P點剛好落在第四象限的概率==．故選B．點睛：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，熟記各象限內點的符號特點是解題的關鍵．8、A【解題分析】

首先利用勾股定理計算出AC的長，再根據折疊可得△DEC≌△D′EC，設ED=x，則D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根據勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可【題目詳解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3∴根據勾股定理得AC=5根據折疊可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E設ED=x，則D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=故選A.9、D【解題分析】

根據拋物線和直線的關系分析.【題目詳解】由拋物線圖像可知，所以反比例函數應在二、四象限，一次函數過原點，應在二、四象限.故選D【題目點撥】考核知識點：反比例函數圖象.10、B【解題分析】

根據題目的條件和圖形可以判斷點B分別以C和A為圓心CB和AB為半徑旋轉120°，并且所走過的兩路徑相等，求出一個乘以2即可得到．【題目詳解】如圖：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B點從開始至結束所走過的路徑長度為2×弧BB′=2×.故選B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、②④⑤【解題分析】

根據不等式的性質可確定①的對錯，根據多邊形的內外角和可確定②的對錯，根據函數自變量的取值范圍可確定③的對錯，根據三角形中位線的性質可確定④的對錯，根據正方形的性質可確定⑤的對錯.【題目詳解】①“若a＞b，當c＜0時，則<，故①是假命題；②六邊形的內角和是其外角和的2倍，根據②真命題；③函數y=的自變量的取值范圍是x≥﹣1且x≠0，故③是假命題；④三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，故④是真命題；⑤正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故⑤是真命題；故答案為②④⑤【題目點撥】本題考查了不等式的性質、多邊形的內外角和、函數自變量的取值范圍、三角形中位線的性質、正方形的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握各知識點.12、B【解題分析】

利用同時開放其中的兩個安全出口，20分鐘所通過的小車的數量分析對比，能求出結果．【題目詳解】同時開放A、E兩個安全出口，與同時開放D、E兩個安全出口，20分鐘的通過數量發現得到D疏散乘客比A快；同理同時開放BC與CD進行對比，可知B疏散乘客比D快;同理同時開放BC與AB進行對比，可知C疏散乘客比A快;同理同時開放DE與CD進行對比，可知E疏散乘客比C快;同理同時開放AB與AE進行對比，可知B疏散乘客比E快;所以B口的速度最快故答案為B．【題目點撥】本題考查簡單的合理推理，考查推理論證能力等基礎知識，考查運用求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．13、630【解題分析】分析：兩車相向而行5小時共行駛了900千米可得兩車的速度之和為180千米/時，當相遇后車共行駛了720千米時，甲車到達B地，由此則可求得兩車的速度.再根據甲車返回到A地總用時16.5小時，求出甲車返回時的速度即可求解.詳解：設甲車，乙車的速度分別為x千米/時，y千米/時，甲車與乙車相向而行5小時相遇，則5(x＋y)＝900，解得x＋y＝180，相遇后當甲車到達B地時兩車相距720千米，所需時間為720÷180＝4小時，則甲車從A地到B需要9小時，故甲車的速度為900÷9＝100千米/時，乙車的速度為180－100＝80千米/時，乙車行駛900－720＝180千米所需時間為180÷80＝2.25小時，甲車從B地到A地的速度為900÷(16.5－5－4)＝120千米/時.所以甲車從B地向A地行駛了120×2.25＝270千米，當乙車到達A地時，甲車離A地的距離為900－270＝630千米.點睛：利用函數圖象解決實際問題，其關鍵在于正確理解函數圖象橫，縱坐標表示的意義，抓住交點，起點.終點等關鍵點，理解問題的發展過程，將實際問題抽象為數學問題，從而將這個數學問題變化為解答實際問題.14、25a2b1．【解題分析】

代數式內每項因式均平方即可.【題目詳解】解：原式=25a2b1.【題目點撥】本題考查了代數式的乘方.15、72n﹣1【解題分析】

根據題意分析可得：第1幅圖中有1個，第2幅圖中有2×2-1=3個，第3幅圖中有2×3-1=5個，…，可以發現，每個圖形都比前一個圖形多2個，繼而即可得出答案．【題目詳解】解：根據題意分析可得：第1幅圖中有1個．

第2幅圖中有2×2-1=3個．

第3幅圖中有2×3-1=5個．

第4幅圖中有2×4-1=7個．

…．

可以發現，每個圖形都比前一個圖形多2個．

故第n幅圖中共有（2n-1）個．

故答案為7；2n-1．點睛：考查規律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學生通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律．16、a≤且a≠1．【解題分析】

根據一元二次方程有實數根的條件列出關于a的不等式組，求出a的取值范圍即可．【題目詳解】由題意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，解得a≤，又a-1≠0，∴a≤且a≠1.故答案為a≤且a≠1.點睛：本題考查的是根的判別式及一元二次方程的定義，根據題意列出關于a的不等式組是解答此題的關鍵．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）100，108°；（2）答案見解析；（3）600人.【解題分析】

（1）先利用QQ計算出宗人數，再用百分比計算度數；（2）按照扇形圖補充條形圖；（3）利用微信溝通所占百分比計算總人數.【題目詳解】解：（1）喜歡用電話溝通的人數為20，所占百分比為20%，∴此次共抽查了：20÷20%=100人.喜歡用QQ溝通所占比例為：，∴QQ的扇形圓心角的度數為：360°×=108°.（2）喜歡用短信的人數為：100×5%=5人喜歡用微信的人數為：100-20-5-30-5=40補充圖形，如圖所示：（3）喜歡用微信溝通所占百分比為：×100%=40%.∴該校共有1500名學生，估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學生有：1500×40%=600人.【題目點撥】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用．讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．18、購買了桂花樹苗1棵【解題分析】分析：首先設購買了桂花樹苗x棵，然后根據題意列出一元一次方程，從而得出答案．詳解：設購買了桂花樹苗x棵，根據題意，得：5(x+11-1)=6(x-1)，解得x=1．答：購買了桂花樹苗1棵．點睛：本題主要考查的是一元一次方程的應用，屬于基礎題型．解決這個問題的關鍵就是找出等量關系以及路的長度與樹的棵樹之間的關系．19、x=-4是方程的解【解題分析】

分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【題目詳解】∴x=-4，當x=-4時，∴x=-4是方程的解【題目點撥】本題考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根．20、熱氣球離地面的高度約為1米．【解題分析】

作AD⊥BC交CB的延長線于D，設AD為x，表示出DB和DC，根據正切的概念求出x的值即可．【題目詳解】解：作AD⊥BC交CB的延長線于D，設AD為x，由題意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=，∴=，解得，x≈1．答：熱氣球離地面的高度約為1米．【題目點撥】考查的是解直角三角形的應用，理解仰角和俯角的概念、掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵，解答時，注意正確作出輔助線構造直角三角形．21、問題1：28問題2：38問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為y元，依題意得：，因為x＞0，所以，當即x=800時，y取最小值2．答：當學校學生人數為800人時，該校每天生均投入最低，最低費用是2元.【解題分析】試題分析：問題1：當時，周長有最小值，求x的值和周長最小值；問題2：變形，由當x+1=時，的最小值，求出x值和的最小值；問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為y元，根據生均投入=支出總費用÷學生人數，列出關系式，根據前兩題解法，從而求解．試題解析：問題1：∵當(x>0)時，周長有最小值，∴x=2，∴當x=2時，有最小值為=3．即當x=2時，周長的最小值為2×3=8；問題2：∵y1＝x＋1（x＞－1）與函數y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），∴，∵當x+1=（x＞－1）時，的最小值，∴x=3，∴x=3時，有最小值為3+3＝8，即當x=3時，的最小值為8；問題3：設學校學生人數為x人，則生均投入y元，依題意得，因為x＞0，所以，當即x=800時，y取最小值2.答：當學校學生人數為800時，該校每天生均投入最低，最低費用是2元．22、（1）DE與⊙O相切；理由見解析；（2）．【解題分析】

（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出OD⊥DE，進而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，進而利用相似三角形的性質得出CD的長．【題目詳解】解：（1）直線DE與⊙O相切．理由如下：連接OD．∵OA=OD∴∠ODA=∠A又∵∠BDE=∠A∴∠ODA=∠BDE∵AB是⊙O直徑∴∠ADB=90°即∠ODA+∠ODB=90°∴∠BDE+∠ODB=90°∴∠ODE=90°∴OD⊥DE∴DE與⊙O相切；（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中∵tanA=∴BC=AB?tanA=10×，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB∴△BCD∽△ACB∴∴CD=．【題目點撥】本題考查切線的判定、勾股定理及相似三角形的判定與性質，掌握相關性質定理靈活應用是本題的解題關鍵．23、（1）證明見解析；（1）①16；②14；【解題分析】

（1）根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到