2023-2024學年江蘇省無錫市江陰市南菁高級中學實驗學校九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．已知⊙O的半徑為3，A為線段PO的中點，則當OP＝5時，點A與⊙O的位置關系為（）A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝73．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，則⊙O的直徑AB為（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm4．某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（）A．11π B．7π C．13π D．9π5．當用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x時，下列方程變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝76．2023年連花清瘟膠囊經(jīng)過兩次降價，從每盒43元下調至13.8元，設平均每次降價百分率為x，則下面所列方程正確的是（）A．43（1﹣x2）＝13.8 B．43（1﹣x）2＝13.8 C．43（1﹣2x）＝13.8 D．13.8（1+x）2＝437．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD＝4，∠ABC＝∠DAC，則AC＝（）A．2 B． C． D．38．如圖，將半徑為6的⊙O沿AB折疊，與AB垂直的半徑OC交于點D且CD＝2OD，則折痕AB的長為（）A． B． C．6 D．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿邊CD以2cm/s的速度向點D移動．設運動時間為t，當PQ＝10cm時，t＝（）A． B．或4 C．或 D．410．如圖，O為等邊△ABC的外心，四邊形OCDE為正方形．現(xiàn)有以下結論：①O是△ABE外心；②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④設BE＝x，則；⑤若點M，N分別在線段BA，BC上運動（不含端點），隨著點E運動到每一個確定位置時，△EMN的周長都有最小值，．其中所有正確結論的序號是（）A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置處）11．若矩形的長和寬是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的兩根，則矩形的周長為．12．已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝5，則直線l與⊙O的位置關系是．13．如圖，在正十邊形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，連接A1A4、A1A7，則∠A4A1A7＝°．14．若關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一個根為0，則m的值是．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F．若BD＝10，AD＝3，則＝．16．如圖，扇形OAB的圓心角為直角，邊長為1的正方形OCDE的頂點C、D、E分別在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延長線于點F．則圖中陰影部分面積是．17．如圖，，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，將線段BD繞著點B逆時針旋轉60°得到線段BA，則線段AC的取值范圍是．18．如圖，在半圓O中，C是半圓上的一個點，將沿弦AC折疊交直徑AB于點D，點E是的中點，連接OE，若OE的最小值為，則AB＝．三、解答題（本大題共9小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（16分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣2x﹣1＝0（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6（3）（2x﹣1）2﹣9＝0（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝020．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A、B若直徑AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的長．21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）當其中一個根為1時，求另一個根．（2）證明不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．22．如圖，是一個△ABC紙板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．操作（1）：可以剪出一個直徑在直角邊AC上的最大半圓，請用無刻度直尺和圓規(guī)作出符合條件的半圓；操作（2）：若將（1）中的半圓剪下，圍成一個圓錐的側面，剩下部分能再剪出一個完整的圓作為圓錐的底面嗎？若能，求出底面半徑；若不能，請說明理由．23．關于x的一元二次方程，如果a、b、c滿足a2+b2＝c2且c≠0，那么我們把這樣的方程稱為“勾系方程”．請解決下列問題：（1）請寫出一個“勾系方程”：；（2）求證：關于x的“勾系方程”必有實數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．24．如圖，AB為⊙O的直徑，E為AB的延長線上一點，作直線EC交⊙O于點C，連接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，過點A作AD⊥EC交EC延長線于點D．（1）求證：直線EC是⊙O的切線；（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半徑及AD的長．25．某楊梅采摘園收費信息如下表：成人票兒童票帶出楊梅價格不超過10人超過10人18元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票價下降1元，但不低于兒童票價（1）某社團共35人去該采摘園進行綜合實踐活動，購買了10張兒童票，其余均為成人票，總費用不超過1530元，求本次活動他們最多共帶出楊梅多少斤？（2）某公司員工（均為成人）在該楊梅采摘園組織團建活動，共支付票價384元，求這次參加團建的共多少人？26．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，﹣5），以原點O為圓心，3為半徑作圓．P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸負半軸運動，運動時間為t（s）．連結AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時直線AP的解析式．27．定義1：如圖1，把平面內一條數(shù)軸x繞原點O逆時針旋轉θ（θ＝120°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構成一個平面斜坐標系．規(guī)定：過點P作y軸的平行線，交x軸于點A，過點P作x軸的平行線，交y軸于點B，若點A在x軸上對應的實數(shù)為a，點B在y軸上對應的實數(shù)為b，則稱有序實數(shù)對（a，b）為點P的斜坐標，實數(shù)a為點P的橫坐標．定義2：在平面斜坐標系xOy中，若△ABC與⊙O有且只有兩個公共點，其中一個公共點為點A，另一個公共點在邊BC上（不與點B，C重合），則稱△ABC為⊙O的“點A關聯(lián)三角形”．（1）已知⊙O的半徑為1，△ABC為⊙O的“點A關聯(lián)三角形”．①如圖2，點B（0，0），C（0，2），點A的橫坐標的最小值為，在，這兩個點中，點A可以與點重合；②若點A（1，0），點B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，點C在x軸下方．求滿足條件的點C軌跡長度；（2）已知⊙O的半徑為r，點A（r，r），點C（4，0）．若平面斜坐標系xOy中存在點B，使得△ABC是等邊三角形，且△ABC為⊙O的“點A關聯(lián)三角形”，直接寫出r的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．已知⊙O的半徑為3，A為線段PO的中點，則當OP＝5時，點A與⊙O的位置關系為（）A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定【分析】OP＝5，A為線段PO的中點，則OA＝2.5，因而點A與⊙O的位置關系為：點在圓內．解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半徑為3，∴OA＜⊙O半徑，∴點A與⊙O的位置關系為：點在圓內．故選：A．【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．設點到圓心的距離為d，則當d＝R時，點在圓上；當d＞R時，點在圓外；當d＜R時，點在圓內．2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7【分析】方程移項后，利用因式分解法求出解即可．解：方程移項得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，解得：x＝5或x＝7，故選：D．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．3．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，則⊙O的直徑AB為（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長為4cm，求出直徑即可．解：如圖，連接OD、OC，∵BC＝CD＝DA＝4cm，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的直徑AB為8cm．故選：D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，等邊三角形的判定，解題的關鍵是利用“有一內角是60度的等腰三角形為等邊三角形”證得△AOD是等邊三角形．4．某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（）A．11π B．7π C．13π D．9π【分析】根據(jù)題意，先找到圓心O，然后根據(jù)PA，PB分別與所在圓相切于點A，B，∠P＝40°可以得到∠AOB的度數(shù)，然后即可得到優(yōu)弧AMB對應的圓心角，再根據(jù)弧長公式計算即可．解：設所在圓的圓心為O，連接OA，OB，∵PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝140°，∴優(yōu)弧AMB對應的圓心角為360°﹣140°＝220°，∴優(yōu)弧AMB的長是：＝11π（cm）．故選：A．【點評】本題考查弧長的計算、切線的性質，解答本題的關鍵是求出優(yōu)弧AMB的度數(shù)．5．當用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x時，下列方程變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7【分析】原方程變形為x2﹣4x＝3，再在兩邊都加上那個22，即可得．解：x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，故選：D．【點評】本題考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊除以a，然后把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方．6．2023年連花清瘟膠囊經(jīng)過兩次降價，從每盒43元下調至13.8元，設平均每次降價百分率為x，則下面所列方程正確的是（）A．43（1﹣x2）＝13.8 B．43（1﹣x）2＝13.8 C．43（1﹣2x）＝13.8 D．13.8（1+x）2＝43【分析】根據(jù)藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由43元降為13.8元，可以列出方程43（1﹣x）2＝13.8，本題得以解決．解：由題意可得，43（1﹣x）2＝13.8．故選：B．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．7．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD＝4，∠ABC＝∠DAC，則AC＝（）A．2 B． C． D．3【分析】連接CD，由AD是⊙O的直徑，得∠ACD＝90°，由∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，得∠DAC＝∠D，則AC＝DC，所以AD＝＝AC＝4，求得AC＝2，于是得到問題的答案．解：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，∴∠DAC＝∠D，∴AC＝DC，∵AD＝4，且AD＝＝＝AC，∴AC＝4，∴AC＝2，故選：C．【點評】此題重點考查三角形的外接圓、圓周角定理、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．8．如圖，將半徑為6的⊙O沿AB折疊，與AB垂直的半徑OC交于點D且CD＝2OD，則折痕AB的長為（）A． B． C．6 D．【分析】延長CO交AB于E點，連接OB，構造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的長解：延長CO交AB于E點，連接OB，∵CE⊥AB，∴E為AB的中點，∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6，∴DE＝（2OC﹣CD）＝（6×2﹣4）＝×8＝4，∴OE＝DE﹣OD＝4﹣2＝2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2＝OB2，∴BE＝＝＝4∴AB＝2BE＝8．故選：B．【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿邊CD以2cm/s的速度向點D移動．設運動時間為t，當PQ＝10cm時，t＝（）A． B．或4 C．或 D．4【分析】過點P作PE⊥CD于點E，則PE＝BC＝6cm，利用時間＝路程÷速度，可求出點P到達點B所需時間，當運動時間為t（0＜t≤）s時，EQ＝|16﹣5t|，利用勾股定理，可列出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論．解：過點P作PE⊥CD于點E，則PE＝BC＝6cm，如圖所示.16÷3＝（s）．當運動時間為t（0＜t≤）s時，AP＝3tcm，DQ＝（16﹣2t）cm，EQ＝|（16﹣2t）﹣3t|＝|16﹣5t|，根據(jù)題意得：PQ2＝PE2+EQ2，即102＝62+（16﹣5t）2，整理得：（16﹣5t）2＝82，∴16﹣5t＝8或16﹣5t＝﹣8，解得：t1＝，t2＝，∴t的值為或．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．10．如圖，O為等邊△ABC的外心，四邊形OCDE為正方形．現(xiàn)有以下結論：①O是△ABE外心；②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④設BE＝x，則；⑤若點M，N分別在線段BA，BC上運動（不含端點），隨著點E運動到每一個確定位置時，△EMN的周長都有最小值，．其中所有正確結論的序號是（）A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤【分析】本題命題思路是以等邊△ABC外心為背景，進而得到A，E，C，B四點共圓，從而對角互補，利用旋轉△ABE，可以轉化四邊形ABCE為一個規(guī)則的等邊三角形EBF，最后利用軸對稱性可解決AEMN周長最小值的問題．解：連接OA，OB；∵O為△ABC的外心；∴OA＝OB＝OC；∵正方形OCED；∴OC＝OE；∴OE＝OA＝OB；∴O是的△ABE外心；故①正確．對于②，連接AD，OD，∵OA＝OC≠OD，∴O不是△ACD的外心；故②錯誤．對于③，連接OB，∴OC＝OE＝OB，∴C，B，E，三點共圓；∴，∵∠COE＝90°，即∠EBC＝45°；故③正確．對于④，∵OC＝OE＝OB＝OA，∴E，A，B，C四點共圓，如圖所示，以點B為旋轉中心，把△BAE繞點B逆時針旋轉60°，點E的對應點為點F，△ABE≌△CBF，∵∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠CBF+∠CBE＝60°，即∠FBE＝60°，∵∠EAB+∠ECB＝180°，∴∠FCB+∠ECB＝180°，∴E，C，F(xiàn)三點共線；由旋轉的性質可得，BE＝BF，∴△FBE是等邊三角形；∵BE＝x，過點F作BE的垂線，垂足為P，∴FP⊥BE，∵∠PFB＝30°；在Rt△PFB中，tan30°＝，∴；∴；，∵SAECB＝S△FBE，∴；故④正確．對于⑤，如下圖所示；作EM和EN關于AB和BC的對稱線段，∴EM＝MP，EN＝NQ；C△EMN＝MN+MP+NQ，當P，M，N，Q四點共線時，C△EMN周長最小：即C△EMN＝MN+MP+NQ≥PQ，C△EMN＝PQ，連接EB，∴EB＝BP＝BQ，連接PQ，∴△BPQ是等腰三角形；∵∠EBM＝∠PBM，∠QBN＝∠EBN；∴∠EBA+∠EBC＝∠PBM+QBN；∵∠EBA+∠EBC＝60°，∴∠PBQ＝2∠ABC＝120°；∴三角形PBQ是以∠PBQ＝120°為頂角的等腰三角形；過點B作PQ的垂線，垂足為L，∵∠PBL＝30°，∴；在Rt△PBL中；∴；∴即故⑤錯誤；綜上所述，①③④正確；故選：A．【點評】本題主要考查正方形的性質，等邊三角形性質及其外心的性質，圓周角定理，四點共圓及圓內接四邊形的性質，旋轉變換，利用軸對稱解決周長最小值，120°等腰三角形的解法及解直角三角形，見外心連頂點，到三個頂點距離相等，判定外心只需確頂點是都到三角形三個頂點距離相等，四邊形對角互補要旋轉，轉化定型求面積，求周長最小值利用軸對稱變換是關鍵，轉化兩點間距離最短即可，最后牢記特殊三角形的邊長之比非常重要，例如120°等腰三角形三邊之比為1：1．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置處）11．若矩形的長和寬是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的兩根，則矩形的周長為12．【分析】設矩形的長和寬分別為a、b，由于矩形的長和寬是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的兩個根，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系得到a+b＝6，然后利用矩形的性質易求得到它的周長．解：設矩形的長和寬分別為a、b，根據(jù)題意得a+b＝6，所以矩形的周長＝2（a+b）＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了矩形的性質．12．已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝5，則直線l與⊙O的位置關系是相離．【分析】解一元二次方程可得x1＝﹣2，x2＝4，由題意得⊙O的半徑為r＝5，再根據(jù)d＞r，可得：直線l與⊙O的位置關系是相離．解：∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣2，x2＝4，∴⊙O的半徑為r＝4，∵圓心O到直線l的距離d＝5，∴d＞r，∴直線l與⊙O的位置關系是相離；故答案為：相離．【點評】本題考查了解一元二次方程，直線與圓的位置關系等，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．13．如圖，在正十邊形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，連接A1A4、A1A7，則∠A4A1A7＝54°．【分析】找出正十邊形的圓心O，連接A7O，A4O，再由圓周角定理即可得出結論．解：如圖，設正十邊形內接于⊙O，連接A7O，A4O，∵正十邊形的各邊都相等，∴∠A7OA4＝×360°＝108°，∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．故答案為：54．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意作出輔助線，構造出圓周角是解答此題的關鍵．14．若關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一個根為0，則m的值是﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得關于m的方程，然后解關于m的方程后利用一元二次方程的定義確定m的值．解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1，而m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定義．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F．若BD＝10，AD＝3，則＝．【分析】由切線長定理得BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，則AB＝13，連接OE、OF，則四邊形OECF是正方形，設CE＝CF＝m，由勾股定理得（3+m）2+（10+m）2＝132，求得m＝2，則AC＝5，BC＝12，所以＝，于是得到問題的答案．解：∵⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，BD＝10，AD＝3，∴BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，AB＝BD+AD＝10+3＝13，連接OE、OF，則BC⊥OE，AC⊥OF，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∵OE＝OF，∴四邊形OECF是正方形，設CE＝CF＝m，則AC＝3+m，BC＝10+m，∴（3+m）2+（10+m）2＝132，解得m1＝2，m2＝﹣15（不符合題意，舍去），∴AC＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，∴＝，故答案為：．【點評】此題重點考查切線長定理、正方形的判定、勾股定理等知識，正確地作出輔助線并且證明CE＝CF是解題的關鍵．16．如圖，扇形OAB的圓心角為直角，邊長為1的正方形OCDE的頂點C、D、E分別在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延長線于點F．則圖中陰影部分面積是．【分析】通過觀察圖形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，陰影部分的面積正好等于長方形ACDF的面積，根據(jù)正方形的性質求出扇形的半徑，從而求出AC的長，即可求出長方形ACDF的面積．解：連接OD，∵正方形的邊長為1，即OC＝CD＝1，∴OD＝＝，∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，∴圖形ACD是面積等于圖形BED的面積，∴S陰＝長方形ACDF的面積＝AC?CD＝．故答案為：．【點評】本題要把不規(guī)則的圖形通過幾何變換轉化為規(guī)則圖形的面積求解．如通過觀察可知陰影部分的面積正好等于長方形ACDF的面積，直接根據(jù)相關條件求長方形ACDF的面積即可．17．如圖，，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，將線段BD繞著點B逆時針旋轉60°得到線段BA，則線段AC的取值范圍是．【分析】以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，由圖象可知，DM⊥BC時，DM的值最大．OM＝OB?tan∠OBM＝2?tan60°＝6，代入AC最大值＝DM最大值＝OD+OM求得最大值；結合AC＞BC即可得解．解：以BC為邊作等邊三角形△BCM，將線段BD繞著點B逆時針旋轉60°得到線段BA，連接AD，AC，如圖，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4，∠BDC＝90°，點D在以BC為直徑的半圓⊙O上運動，由圖象可知，DM⊥BC時，DM的值最大，在Rt△BOM中，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?tan∠OBM＝2?tan60°＝6，∴AC最大值＝DM最大值＝OD+OM＝2+6．當D點無限接近B點時，AC的大小無限接近BC，即AC＞4，綜上，線段AC的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．18．如圖，在半圓O中，C是半圓上的一個點，將沿弦AC折疊交直徑AB于點D，點E是的中點，連接OE，若OE的最小值為，則AB＝2．【分析】連接CE，OC，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當O、C、E共線時OE最小，設的弧度為x°，求出的弧度為90°，設AB＝2r，利用勾股定理求出CE，即可得出OE＝CE﹣OC＝＝，解得2r＝2．解：連接CE，OC，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當O、C、E共線時OE最小，設的弧度為x°，∴的弧度為：（180﹣x）°，∵∠CAD＝∠CAB，∴的弧度為：（180﹣x）°，由折疊得，的弧度為x°，∴的弧度為：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，∵點E為弧AD中點，∴的弧度為：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，∴的弧度為：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，即所對圓心角為90°，設AB＝2r，∴⊙O半徑為r，∴CE＝＝r，∴OE＝CE﹣OC＝＝，∴r＝，∴AB＝2r＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了圓的相關知識點的應用，圖形折疊及三角形三邊關系的性質是解題關鍵．三、解答題（本大題共9小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（16分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣2x﹣1＝0（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6（3）（2x﹣1）2﹣9＝0（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0【分析】（1）根據(jù)配方法進行求解方程即可；（2）整理后根據(jù)因式分解法求解方程即可；（3）根據(jù)直接開平方法進行求解方程即可；（4）根據(jù)因式分解法進行求解方程即可．解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，整理，得2x2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，2x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，，x2＝1；（3）（2x﹣1）2﹣9＝0，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，∴x1＝2，x2＝﹣1；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，（x﹣3）（3x﹣3）＝0，x﹣3＝0或3x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝1．【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．20．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A、B若直徑AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的長．【分析】連接CB．PA、PB是QO的切線，由切線長定理知PA＝PB；又∠P＝60°，則等腰三角形APB是等邊三角形，則有ABP＝60°；由弦切角定理知，∠PAB＝∠C＝60°，AC是直徑；由直徑對的圓周角是直角得∠ABC＝90°，則在Rt△ABC中，有∠CAB＝30°，進而可知AB＝ACsin∠CAB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．解：連接CB．∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°；又∵AC是⊙O的直徑，∴CA⊥PA，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝30°，而AC＝12，∴在Rt△ABC中，cos30°＝，∴AB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．【點評】本題利用了切線長定理，等邊三角形的判定和性質，弦切角定理，直角三角形的性質，正弦的概念求解．注意本題的解法不唯一．21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）當其中一個根為1時，求另一個根．（2）證明不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】（1）首先把x＝1代入方程求出a，然后設方程的另一根為x1，根據(jù)方程解的定義、根與系數(shù)的關系列出方程求出方程的另一根；（2）計算根的判別式的值得到Δ＞0，則根據(jù)根的判別式的意義得到結論；【解答】（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的根，∴1+a+a﹣2＝0，解得，∴方程為x2+＝0，∴1×，∴x1＝，即另一根為﹣；（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2），＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0∴不論取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系是解題的關鍵．還考查了根與系數(shù)的關系．22．如圖，是一個△ABC紙板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．操作（1）：可以剪出一個直徑在直角邊AC上的最大半圓，請用無刻度直尺和圓規(guī)作出符合條件的半圓；操作（2）：若將（1）中的半圓剪下，圍成一個圓錐的側面，剩下部分能再剪出一個完整的圓作為圓錐的底面嗎？若能，求出底面半徑；若不能，請說明理由．【分析】（1）選擇AC直角邊為直徑所在的邊，如圖，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D；連接CD，分別以C、D為圓心，大于的長為半徑畫弧，連接兩個交點，交AC于點O，點O即為圓心．（2）設圓錐底面半徑為r；于是得到π＝2πr；求得圓錐底面半徑，根據(jù)直角三角形的性質即可得到結論．解：（1）如圖所示；圖中以點O為圓心的半圓是所求作的圖形；（2）設圓錐底面半徑為r；∵半圓的弧長為π，∴π＝2πr；∴圓錐底面半徑，在Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝60°，∠C＝90°，∴，∵，∴OB＝2，OC＝1，設⊙O'的半徑為r'，在RtΔO'BG中，O'G＝r'，∠O'BG＝30°，∠O'GB＝90°，∴O'B＝2r'，∵OE+EO'+O'B＝OB＝2，∴1+3r'＝2，得；∵r＞r'∴不能剪出圓錐的底面．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，角平分線到現(xiàn)在，作圖﹣基本作圖，直角三角形的性質，正確地作出圖形是解題的關鍵．23．關于x的一元二次方程，如果a、b、c滿足a2+b2＝c2且c≠0，那么我們把這樣的方程稱為“勾系方程”．請解決下列問題：（1）請寫出一個“勾系方程”：（答案不唯一）；（2）求證：關于x的“勾系方程”必有實數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．【分析】（1）由“勾股方程”滿足的條件，即可寫出一個“勾系方程”；（2）由一元二次方程根的判別式，即可判斷；（3）由勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，即可求解．解：（1）3x+10x+4＝0（答案不唯一）；故答案為：3x+10x+4＝0（答案不唯一）；（2）證明：∵關于x的一元二次方程是“勾系方程”，∴a2+b2＝c2且c≠0，a≠0，Δ＝（2c）2﹣4＝4c2﹣8ab＝4（a2+b2）﹣8ab＝4（a2+b2﹣2ab）＝4（a﹣b）2；∵（a﹣b）2≥0∴Δ≥0∴方程有兩個實數(shù)根；（3）解：∠BDC＝45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，∵BE2+OE2＝OB2，∴a2+OE2＝52，∵是“勾系方程，∴a2+b2＝52，∴OE＝b＝CF；∵OB＝OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），∴∠FOC＝∠OBE，∵∠OBE+∠EOB＝90°，∴∠FOC+EOB＝90°，∴∠COB＝90°，∴．【點評】本題考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判別式，勾股定理，關鍵是明白“勾股方程”的定義．24．如圖，AB為⊙O的直徑，E為AB的延長線上一點，作直線EC交⊙O于點C，連接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，過點A作AD⊥EC交EC延長線于點D．（1）求證：直線EC是⊙O的切線；（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半徑及AD的長．【分析】（1）連接OC．證出∠OCE＝90°，由切線的判定可得出結論；（2）設⊙O半徑為r，則OC＝r，OE＝r+1，利用勾股定理得到r2+22＝（r+1）2，解得r＝，再證明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可計算出AD的長．【解答】（1）證明：連接OC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA+∠CAB＝90°，∵OC＝OB，∴∠CBA＝∠OCB，又∵∠CAB＝∠BCE，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∵OC為⊙O半徑，∴EC是⊙O切線；（2）解：設⊙O半徑為r，則OC＝r，OE＝r+1，在Rt△OEC中，∵OC2+EC2＝OE2，∴r2+22＝（r+1）2，解得：r＝，∴OE＝，AE＝4，OC＝．∵OC∥AD，∴△OCE∽△ADE，∴，即，解得：AD＝．【點評】本題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質，掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．25．某楊梅采摘園收費信息如下表：成人票兒童票帶出楊梅價格不超過10人超過10人18元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票價下降1元，但不低于兒童票價（1）某社團共35人去該采摘園進行綜合實踐活動，購買了10張兒童票，其余均為成人票，總費用不超過1530元，求本次活動他們最多共帶出楊梅多少斤？（2）某公司員工（均為成人）在該楊梅采摘園組織團建活動，共支付票價384元，求這次參加團建的共多少人？【分析】（1）求出成人票為18元/人時的購買數(shù)量，結合該社團的成人數(shù)，可得出該社團購買的成人票價為18元/人，設本次活動他們共帶出x斤楊梅，根據(jù)總費用不超過1530元，可列出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論；（2）設參加團建的共有y人，由300＜384＜396，可得出10＜y＜22，利用購票總價＝單價×數(shù)量，可列出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．解：（1）∵（30﹣18）÷1＝12（人），10+12＝22（人），∴當成人人數(shù)大于或等于22人時，成人票都是18元/人．∵35﹣10＝25（人），25＞22，∴該社團購買的成人票價為18元/人．設本次活動他們共帶出x斤楊梅，根據(jù)題意得：10×18+25×18+30x≤1530，解得：x≤30，∴x的最大值為30．答：本次活動他們最多共帶出楊梅30斤；（2）設參加團建的共有y人，∵30×10＝300（元），18×22＝396（元），300＜384＜396，∴10＜y＜22．根據(jù)題意得：[30﹣（y﹣10）]?y＝384，整理得：y2﹣40y+384＝0，解得：y1＝16，y2＝24（不符合題意，舍去）．答：參加這次團建的共有16人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．26．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，﹣5），以原點O為圓心，3為半徑作圓．P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸負半軸運動，運動時間為t（s）．連結AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時直線AP的解析式．【分析】分三種情況，先求得OQ，進而根據(jù)三角形面積公式求得AP，然后根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．解：當AQ與⊙O相切時，如圖1，設AQ切⊙O于點D，連接OQ，交AP于M，連接OD，∵AD切⊙O于點D，∴OD⊥AQ，OD＝3，∵OA＝5，∴AD＝4，∵A（0，﹣5），∴OA＝AQ＝5，∴QD＝1，∴OQ＝＝，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，∵OP＝t，OA＝5，∴AP?OM＝OA?OP，即AP?＝×5×t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，解得t＝，∴P（﹣，0），∴設直線AP解析式：y＝kx﹣5，∴0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣3，故直線AP解析式：y＝﹣3x﹣5；當AP與⊙O相切時，如圖2，設AP切⊙O于點E，連接OQ，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，∴OQ經(jīng)過點E，∴OE⊥AP，∵AP?OE＝OA?OP，即3AP＝5t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，解得t＝，則P（﹣，0），∵A（0，﹣5），∴設直線AP解析式：y＝kx﹣5，∴0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣，故直線AP解析式：y＝﹣x﹣5；當PQ與⊙O相切時，如圖3，設PQ切⊙O于點E，連接OE，∴OE⊥PQ，∵AQ⊥PQ，∴OE∥AQ，∴△ODE∽△ADQ，∴＝，即＝，∴OD＝，∴AD＝，∴DQ＝＝，∴PD＝DQ﹣PQ＝﹣t，∵OD?OP＝PD?OE，∴t＝（﹣t）×3，解得t＝，∴P（﹣，0），∴設直線AP解析式：y＝kx﹣5，0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣，故直線AP解析式：y＝﹣x﹣5；當QA的反向延長線與⊙O相切時，如圖4，設PQ切⊙O于點D，連接OD，QA交y軸于E，∴OD⊥AQ，∴OA2＝OD2+AD2，∴AD＝4，∵OA2＝AD?AE，∴AE＝，∵AE?OD＝OA?OE，∴OE＝＝，∴PE＝t+，∵PQ⊥AQ，∴PE2＝PQ2+QE2，即（t+）2＝t2+（5+）2，解得t＝15，則P（﹣15，0），∴0＝﹣15k﹣5，解得：k＝﹣，故直線