第01講數列的概念及通項公式【必備知識】1數列的概念：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示，第個位置上的數叫做這個數列的第項，用表示．其中第1項也叫做首項．備注：數列的一般形式：數列的一般形式可以寫成，簡記為．2函數與數列的關系：數列是從正整數集(或它的有限子集)到實數集的函數，其自變量是序號，對應的函數值是數列的第項，記為．3數列的分類：按照數列中項的個數多少可以分為有窮數列和無窮數列．4數列的單調性：(1)遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列(2)遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列(3)常數列：各項都相等的數列5通項公式：如果數列的第項與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．備注：通項公式就是數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．6數列的遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．7數列的前項和與的關系：把數列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數列的前項和，記作，即.備注：【題型精講】【題型一觀察法求數列通項】【題1】寫出數列的一個通項公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數列分子為，分母為，由此可求得一個通項公式.【詳解】數列，則其分母為，分子為，則其通項公式為.故選：B【題2】數列4，7，10，13，…的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據數列中數據特征得到通項公式.【詳解】由符號來看，奇數項為負，偶數項為正，所以通項公式中應該是，數值4，7，10，13，…滿足，所以通項公式可以是．故選：B．【題3】數列{an}：1，，，，…，的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據數列的項歸納出一個規律即得．【詳解】觀察數列{an}各項，可寫成：，選項D滿足，選項A中，，選項B中，，選項C中，，均不符合題意．故選：D【題4】已知數列的前三項為4，3，2，則的一個通項公式可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，結合選項判斷.【詳解】解：因為，所以的一個通項公式可以為．而對于A的通項，，不符合題設要求；對于B中的通項，，不符合題設要求；對于D中的通項，，不符合題設要求.故選：C【題5】數列

的一個通項公式為.【答案】【分析】觀察其分子，分母與項之間的關系即可求.【詳解】可化為，所以分子部分為，分母部分為，奇數項為正，偶數項為負，則，則.故答案為：【題6】觀察下圖，寫出點數所成數列的一個通項公式．【答案】．（結果不唯一）【分析】依次寫出已知圖形中的點數，然后歸納出結論．【詳解】已知圖形中點數依次為：1，6，11，16，所以其中一個通項公式為．（結果不唯一）．【題7】在數列中，，，通項公式，其中p，q為常數，．(1)求的通項公式；(2)88是否是數列中的項？【答案】(1)；(2)88不是數列中的項【分析】（1）將，代入到通項公式中，聯立成方程組，求解出參數p，q，從而得出通項公式；（2）令，解出的值，若為正整數，則是數列中的項；若不是正整數，則不是數列中的項.【詳解】（1）解：因為，，通項公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因為，所以88不是數列中的項.【題8】在數列中，已知，且.(1)求通項公式.(2)求證：是遞增數列.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據數列的通項將分別代入可計算出，可求得通項公式；（2）根據遞增數列的定義，由即可得出證明.【詳解】（1）由，且可得，解得；因此.所以，數列的通項公式為（2）根據遞增數列的定義可知，，即，故是遞增數列.【題型二求數列中的具體項】【題1】已知數列的一個通項公式為，且，則實數等于（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】結合通項公式，利用列方程求解即可.【詳解】因為，，所以，解得．故選：B.【題2】已知數列的一個通項公式為，且，則等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根據通項公式及，求出的值，再將代入求解即可.【詳解】解：因為，即，解得，所以．故選：B.【題3】一個數列的通項為，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據通項公式，直接代入和即可求出.【詳解】解：數列的通項為，∴，，∴.故選：A.【題4】已知數列滿足，則下列各數中屬于數列中的項的是（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【分析】根據數列滿足，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】因為數列滿足，對于A中，令，解得，所以A不符合題意；對于B中，令，解得，所以B不符合題意；對于C中，令，解得，所以C不符合題意；對于D中，令，解得，所以D符合題意.故選：D.【題5】(多選)已知數列，則下列說法正確的是（

）A．此數列的通項公式是 B．是它的第項C．此數列的通項公式是 D．是它的第項【答案】AB【分析】根據已知條件，結合數列中數字的規律，求出通項公式，即可依次求解.【詳解】數列，即，則此數列的通項公式為，A正確，C錯，令，解得，故B正確，D錯.故選：AB【題6】(多選)大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，它是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題目，該數列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則（

）A．數列第16項為144 B．數列第16項為128C．200是數列第20項 D．200不是數列中的項【答案】BC【分析】由題意首先猜想數列的通項公式，然后求解該數列第16項及200是否是數列的項即可.【詳解】偶數項分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數項對應的通項公式為，則數列的第16項為第8個偶數即，故選:BC．【題7】已知數列中，，則數列的前5項和為．【答案】【分析】根據的通項公式求得前項和.【詳解】依題意，，所以，，所以數列的前5項和為.故答案為：【題8】已知數列{an}的通項公式是，()，則：（1）這個數列的第4項是；（2）65是這個數列的第項．【答案】【分析】利用數列的通項公式與項的關系，即可得到答案.【詳解】（1）因為數列通項公式，所以數列的第4項；（2）由，得，即，因為，可得,所以65是這個數列的第11項.故答案為：，.【題9】已知無窮數列，，，…，，…．(1)求這個數列的第10項和第31項．(2)是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？(3)證明：不是這個數列中的項．【答案】(1)，；(2)是這個數列中的第項；(3)證明見解析【分析】（1）由數列的定義得到該數列的通項公式，從而求得其第10項和第31項；（2）將代入該數列的通項公式，從而得解；（3）將代入該數列的通項公式，從而得證.【詳解】（1）因為無窮數列，，，…，，…，所以該數列的通項公式為，則，.（2）因為，將代入，得，解得或（舍去），所以是這個數列中的第項.（3）因為，將代入，得，即，解得（負值舍去），又，故也不滿足題意，所以不是這個數列中的項.【題10】已知數列的通項公式為．(1)數列從第幾項起各項的數值逐漸增大？(2)數列的哪些項為正數？(3)數列中是否存在數值與首項相同的項？【答案】(1)；(2)及其時，.；(3)存在，【分析】（1），利用二次函數的單調性即可得出答案；（2）令，解得即可得出答案；（3）令，解得.【詳解】（1），數列從第項起各項的數值逐漸增大.（2）令，解得：或，因此及其時，.（3），令，解得：或，因此數列中存在數值與首項相同的項，.【題型三數列的遞推公式】【題1】在數列中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次計算，得到為周期數列，一個周期為3，從而求出.【詳解】由題意得，，，，……故為周期數列，一個周期為3，故.故選：C【題2】已知數列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知可得數列遞推式，求出其前面幾項，可得數列的周期，由此可求得答案.【詳解】由題意數列滿足，則，故由，得，由此可知數列的周期為4，故，故選：B【題3】已知數列滿足，且，若，則的值可能為（

）A．2021 B．2022C．2023 D．2024【答案】D【分析】由遞推公式，寫出數列前幾項，得到數列的周期，可求可能的值.【詳解】數列的遞推公式為，由，則有，，則是以4為周期的周期數列，，有，，故的值可能為2024．故選：D.【題4】在數列中，，，，則的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】由已知條件利用數列的遞推公式，依次令，3，4，5，結合遞推思想能求出結果．【詳解】在數列中，，，，，，．故選：B．【題5】盧卡斯數列滿足，．且的前6項和．則（

）A．29 B．47 C．76 D．123【答案】C【分析】設，列舉出各項，即可求.【詳解】設，則，則即，則，，，．故選：C【題6】已知數列的前項和為，其中則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據遞推關系分別求解數列的前13項，即可根據選項逐一求解.【詳解】根據遞推關系，可得數列的項為，進而可得數列的前13項分別為：，所以，，，，故ABD正確，C錯誤，故選：C【題7】“斐波那契”數列由十三世紀意大利數學家斐波那契發現，該數列滿足遞推關系：，．已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用遞推關系找到通項即可.【詳解】，以此類推，．故選：D【題8】已知數列滿足，，則的前10項和.【答案】75【分析】根據題意分別求，進而求.【詳解】由題意可知：，，，，，，，，，，所以的前10項和.故答案為：75.【題9】已知數列滿足，若，則.【答案】/【分析】利用數列的遞推公式求出前4項，推導出是以3為周期的數列，由此能求出.【詳解】數列滿足，，∴，，，∴是以3為周期的數列，∵，∴.故答案為：.【題10】已知數列中，，，則其第3項為．【答案】【分析】根據遞推公式及求出，進而求出，得到.【詳解】因為，所以，故，所以.故答案為：【題11】已知數列滿足，且，則；數列的前2023項的和為.【答案】21【分析】根據遞推關系寫出數列的項，可得數列的周期，利用周期求解.【詳解】由，且，可得，，，，，，故從開始，每6項循環一次，且一個循環內6項的和為0，，即前2023項的和為.故答案為：2；1【題12】已知數列滿足遞推關系，且.(1)求，，；(2)嘗試歸納出數列的通項公式.【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）根據遞推公式，直接代入求解即可（2）根據題意歸納出規律：，進而可求解【詳解】（1）因為，所以，，，，.（2）由（1）可歸納得，，，，可以猜測，所以，可以猜測【題型四關系式法求數列通項】【題1】已知數列的前n項和為，則（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用，求出即可.【詳解】因為，所以.故選：B.【題2】已知數列的前項和，下列判斷中正確的是（

）A． B．數列是單調遞減數列C．數列前項的乘積有最大值 D．數列前項的乘積有最小值【答案】C【分析】根據已知求的方法求出通項公式，然后逐項判斷即可.【詳解】數列的前項和，當時，，當時，，當，代入上式，即，符合上式，所以，故A錯誤；由可知，數列是單調遞增數列，故B錯誤；因為，，，，，，，當時，，當時，，所以數列前項的乘積有最大值，最大值為，故C正確，D錯誤.故選：C.【題3】設數列滿足，則（

）A．7 B． C． D．【答案】C【分析】根據題意令，，兩式作差即可得結果.【詳解】令，可得，令，可得，兩式相減可得，所以.故選：C.【題4】已知數列滿足，則的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題中等式，可得，再結合時，可得.【詳解】當時，有，所以，當時，由，，兩式相減得，此時，，也滿足，所以的通項公式為.故選：B.【題5】已知數列的前項和，則數列的通項公式為.【答案】【分析】根據題意，結合和，即可求得數列的通項公式.【詳解】由數列的前n項和為，當時，可得；當時，所以數列的通項公式為.故答案為：.【題6】已知數列的前項和（為正整數），則此數列的通項公式.【答案】【分析】利用可求得數列的通項公式.【詳解】因為數列的前項和（為正整數），當時，，當時，，不滿足.所以，.故答案為：.【題7】已知數列滿足，則數列的通項公式為.【答案】【分析】利用數列和與通項的關系，分兩種情況求解.【詳解】當時，；當時，，因為，所以兩式相減可得；顯然不滿足上式，綜上可得.故答案為：【題8】已知數列的前n項和為.(1)求，；(2)求這個數列的通項公式.【答案】(1)18，；(2).【分析】（1）代入求，由可得；（2）由與的關系求數列通項公式.【詳解】（1）因為數列的前n項和為，所以，則；（2）當時，，當時，也滿足上式，故數列的通項公式.【題型