2023年廣東省汕頭市潮南區中考數學模擬試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的

一項）

1.汕頭海灣隧道是中國首條兼顧城市道路和一級公路功能的水下盾構隧道，全長6680

米，總投資57億元，數據57億元用科學記數法表示為（）

A.5.7x107B.57x108C.0.57x109D.5.7x109

2.一只螞蟻從數軸上4點出發爬了4個單位到了相反數B點所在的位置，則點4所表示

的是（）

A.—2或2B.—2C.2D.4或—4

3.如圖所示，從上面看該幾何體的形狀圖為（）

Arm

BrTTTTl

c-1；|Hl

D.

4.如果線段40和線段BO分別是AMNO邊MN上的中線和高，那么下列判斷正確的是

（）

A.AO>BOB.AO>BOC.AO<BOD.AO<B0

5.式子也不有意義，貝H的值可能是（）

x-4

A.4B.8C.12D.16

6.某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天,若乙先單獨干10天，剩下的由甲單

獨完成，設甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（）

A葉型+衛=1B皿+七出=1C七型+史=1D葉3+〃=1

A20十25125+20125十201525+251

7.已知4（a,0）和點B（0,5）兩點，則直線與坐標軸圍成的三角形的面積等于10,貝b

的值是（）

A.-4B.4C.±4D.±5

8.如圖，直線AB交x軸于點C,交反比例函數y=?（a>1）的圖象于力、B兩點，過

點B作BDly軸，垂足為點D,若SABCD=5,則a的值為（）

A.8B.9C.10D.11

9.如圖，在Rt△ABC中，。為斜邊4c的中點,E為BO上一點，尸為CE中點.若4E=AD,

DF=2,

A.2/7B.3C.2V-3D.4

10.一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返

回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）與慢車行駛時間t（單位:

八）的函數關系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時間是（）

A.hB.—h.C.—hD.—h

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.請填寫一個常數，使得關于x的方程/一2x+=0有兩個不相等的實數根.

12.在實數范圍內分解因式：4/—8=.

13.如圖，已知4（2,3）,8（0,2）,在刀軸上找一點C,使得|4C-的值最大，則此時

點C的坐標為.

斗

?A

'B

O

14.如圖，在〃1BCD中，對角線4C,8。交于點0,

AB1AC,AH1BD于點H,若AB=2,BC=2口

則AH的長為.

15.如圖，將半徑為2,圓心角為120。的扇形04B繞

點4逆時針旋轉60。，點0,B的對應點分別為O',B',

中陰影部分的面積是

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

16.（本小題8.0分）

計算：（新1+（TT-2022）°-3tan30°+|3-<I2|.

17.（本小題8.0分）

解不等式組+r并求其最大整數解.

18.（本小題8.0分）

如圖，已知△ABC,Z.BAC=90°.

（1）尺規作圖：過點4作一條直線交8C于D,使其將△ABC分成兩個相似三角形（保留作

圖痕跡，不寫作法）；

（2）若4。=4,tan^BAD=1,求CD的長.

A

19.(本小題9.0分)

某中學為了預測本校應屆畢業女生“一分鐘跳繩”項目考試情況，從九年級隨機抽取部

分女生進行該項目測試，并以測試數據為樣本，繪制出如圖所示的部分頻數分布直方圖

(從左到右依次分為六個小組，每小組含最小值，不含最大值)和扇形統計圖.

根據統計圖提供的信息解答下列問題：

(1)補全頻數分布直方圖，并指出這個樣本數據的中位數落在第小組；

(2)若測試九年級女生“一分鐘跳繩”次數不低于160次的成績為優秀，本校九年級女生

共有260人，請估計該校九年級女生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數；

(3)若“一分鐘跳繩”次數不低于220次的成績為滿分，在這個樣本中，小潔、小慧都是

滿分，從成績為滿分的女生中任選二人做示范，用樹狀圖或列表法求小潔和小慧都被選

中概率.

20.(本小題9.0分)

為維護我國海洋權力海監部門對我國領海實行了常態化巡航管理如圖，海警船4在C島

的正西方向，當島主發現有海盜船時，測得海盜船在C島的西北方向上的B處，已知海

警測得海盜船在海警船4北偏東60。的位置8上，海警船若以60海里/時的速度航行到海

盜船處需要1小時.

(1)問此時海盜船離C島的距離BC是多少海里？

(2)若海盜船以30海里/時的速度向C島出發，海警船在接到島主報警后以60海里/時的

速度向C島出發，問海警船能否趕在海盜船之前到達C島進行攔截(/2x1.41,C=

1.73)?

21.(本小題9.0分)

在矩形ZBCD中，力B=4,AC=6,將矩形折疊，使點4落在點P處，折痕為DE.

圖①圖②

(1)如圖D,若點P恰好在邊BC上，連接AP,求裝的值；

(2)如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F,求BF的長.

22.(本小題12.0分)

如圖，以AB為直徑的。。外接于AABC,過4點的切線4P與BC的延長線交于點P,乙4PB

的平分線分別交AB，AC于點D,E,其中ZE,BD(4E<BD)的長是一元二次方程,一

5x+6=0的兩個實數根.

(1)求證：PABD=PB-AE；

(2)若線段BC上存在一點M,使得四邊形4DME是菱形，請求出菱形面積.

23.(本小題12.0分)

已知二次函數y=/+(7n—2)%+ni-4,其中m>2.

(1)當該函數的圖象經過原點。(0,0),求此時函數圖象的頂點4的坐標；

(2)求證：二次函數y=x2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線y=—2上運

動，平移后所得函數的圖象與y軸的負半軸的交點為B,求AZOB面積的最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：57億=5700000000=5.7x109.

故選：D.

科學記數法的表示形式為ax10皿的形式，其中lS|a|<10,n為整數.確定n的值時，要看

把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對

值210時，”是正整數，當原數絕對值<1時，n是負整數

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax10”的形式，其中1<|a|<

10,n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

2.【答案】A

【解析】解：由題意可知，兩數互為相反數，且兩數對應點的距離為4,

???兩點到原點距離=4+2=2,

.?.這兩個數分別為2,-2.

故選：A.

由題意可知，兩數互為相反數，且兩數對應點的距離為4,可分析出兩點到原點距離為2,

即可求解.

本題考查了數軸上兩點間距離，相反數的意義，解題關鍵是分析出互為相反數的兩數對應點

距離為4.

3.【答案】C

【解析】解：根據能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示，

從上面看到的是矩形，且有看不見的輪廓線，

因此選項C中的圖形符合題意；

故選：C.

根據能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示，進而得出答案.

本題考查從上面看幾何體的形狀圖，理解看不見的輪廓線用虛線表示是正確判斷的前提.

4.【答案】B

【解析】解：???線段OB是AOMN邊上的高,

OB1MN,

由垂線段最短可知，0BW04,

故選：B.

根據三角形的高的概念得到AN1BC,根據垂線段最短判斷.

本題考查的是三角形的角平分線、中線和高的概念，掌握垂線段最短是解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：?.?匚孚有意義，

x-4

,rlO-x>0

**tx-40'

???x<10且匯*4,

v4=4,8V10且8。4,12>10,16>10,

...式子色更有意義，貝辰的值可能是8.

x-4

故選：B.

根據式子W與有意義，可得［1°二喘°,據此求出x的取值范圍，判斷出x可能的取值即

可.

此題主要考查了二次根式、分式有意義的條件，解答此題的關鍵是要明確：(1)二次根式中

的被開方數是非負數；(2)分式有意義的條件是分母不等于零.

6.【答案】C

【解析】解：設甲、乙一共用x天完成，則剩下的甲單獨干(4-10)天，

由題意可得："2;°+M

故選：C.

設甲、乙一共用工天完成，則剩下的甲單獨干(％-10)天，然后根據題意，列出方程即可.

本題考查一元一次方程的應用，明確題意，準確找出等量關系是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：假設直角坐標系的原點為0,則直線48與坐標軸圍成的三角形是以04、0B為

直角邊的直角三角形，

???4(見0)和點8(0,5),

???0A=\a\,OB—5,

:.OAxOB=-x|a|x5=10,

???\a\=4,

???a=±4.

故選：C.

根據三角形的面積公式和已知條件列等量關系式求解即可.

本題主要考查了三角形的面積和直角坐標系的相關知識，需注意坐標軸上到一個點的距離為

定值的點有2個.

8.【答案】D

【解析】解：設點B的坐標為（叫等），

■:S〉BCD=5，且a>L

1a-1_

A--m---=5,

2m

解得：a=11,

經檢驗，a=11是原分式方程的解，

故選：D.

設點B的坐標為（成號1）,然后根據三角形面積公式列方程求解.

本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，準確識圖，理解反比例函數圖象上點的坐標特

征是解題關鍵.

9.【答案】D

【解析】解：???C為斜邊AC的中點，尸為CE中點，DF=2,

???AE=2DF=4,

vAE=AD,

???AD—4,

在RtAABC中，D為斜邊AC的中點，

???BD=^AC=AD=4,

故選：D.

根據三角形中位線可以求得4E的長，再根據￡E=4D,可以得到4。的長，然后根據直角三

角形斜邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長.

本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關系、三角形的中位線，解答本題的關鍵是求出

4。的長.

10.【答案】B

【解析】解：根據圖象可知，慢車的速度為弓km/h.

對于快車，由于往返速度大小不變，總共行駛時間是4/1,

因此單程所花時間為2兒故其速度為與km/h.

所以對于慢車，y與t的函數表達式為y=1t（0<t<6）.......①.

^(t-2)(2<t<4)…?…②，

對于快車，y與t的函數表達式為、=

—(t—6)4<t<6)....③,

聯立①②，可解得交點橫坐標為t=3,

聯立①③，可解得交點橫坐標為t=4.5,

因此，兩車先后兩次相遇的間隔時間是1.5,

故選：B.

根據圖象得出，慢車的速度為看km/h,快車的速度為與km/兒從而得出快車和慢車對應的y

與t的函數關系式.聯立兩個函數關系式，求解出圖象對應兩個交點的坐標，即可得出間隔

時間.

本題主要考查根據函數圖象求一次函數表達式，以及求兩個一次函數的交點坐標.解題的關

鍵是利用圖象信息得出快車和慢車的速度，進而寫出y與t的關系.

11.【答案】0(答案不唯一)

【解析】

【分析】

本題考查了根的判別式，牢記“當/>0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵.

根據方程的系數結合根的判別式A=b2-4ac>0,即可得出關于c的不等式，解之即可求

出c的取值范圍.

【解答】

解：a=1,b——2.

vA=b2-4ac=(-2)2—4xlxc>0,

c<1.

故答案為：0(答案不唯一).

12.【答案】4(x+V-2)(X-73)

【解析】解：4%2-8

=4(*2-2)

=4(x+y/~2')(x—

故答案為：4(%+<7)(%-^).

首先提取公因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可.

此題主要考查了實屬范圍內分解因式，熟練利用平方差公式分解因式是解題關鍵.

13.【答案】(一4,0)

【解析】解：如圖所示，連接ZB交工軸于點C,此

時b4C—BC|=48值最大，即點C為所求的點.

設直線48的解析式為y=kx+b,代入點4(2,3),B(0,2),

得片+/=3,解得：卜=今

故直線48解析式為y=：尤+2.

令y=gx+2中y=0,則得x=-4,故點C坐標為(-4,0).

故答案為：(-4,0).

連接交x軸于點C,此時L4C-BCI=4B值最大，求出直線4B的解析式，令y=0,即可

找到點C坐標.

本題考查了線段差最大值的求法，待定系數法求一次函數解析式，正確找到點C位置是解題

關鍵.

14.【答案】亨

【解析】fW：-.-ABLAC,AB=2,BC=2<3,

???AC=J(2d_22=

在MBCD中，OA=OC,OB=OD,

:.OA=OC=

在Rt△。48中，

OB=J22+(/7)2=<6>

又AH1BD,

-AH=^OA-AB,即2x4.4"=gx2X「，

解得4口=亨.

故答案為：亨.

在RtAABC和RMOAB中，分別利用勾股定理可求出BC和08的長，又4"1OB,可利用等

面積法求出AH的長.

本題主要考查平行四邊形的性質，勾股定理，等面積思想等，熟知等面積法是解題關鍵.

15.【答案】2C—年

【解析】解：連接。。'，BO',

???將半徑為2,圓心角為120。的扇形04B繞點4逆時針旋轉60。,

Z.OAO'=60°,

。4。'是等邊三角形，

/.AOO'=60°,00'=OA,

???當。'中o。上，

vZ.A0B=120°,

???z.0'0B=60°,

。。'8是等邊三角形，

???^AO'B=120°,

v"O'B'=120°,

NB'O'B=120°,

乙O'B'B=乙O'BB'=30°,

???圖中陰影部分的面積=S.BOB-(S扇腕,OB—SAOO，B)=：X1x一(史翳■—2x2x

O=2C-與，

故答案為2，？-與.

連接00',B0',根據旋轉的性質得到404。'=60°,推出△。4。'是等邊三角形，得至此4。0'=

60°,推出△OO'B是等邊三角形，得到乙40'B=120。，得到NO'B'B=NO'BB'=30。，根據

圖形的面積公式即可得到答案.

本題考查了扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，旋轉的性質，正確的作出輔助線是

解題的關鍵.

16.【答案】解：原式=2+1—3x?+2，3—3

=3-/3+2AT3-3

=V-3-

【解析】利用負整數指數幕的意義，零指數暴的意義，特殊角的三角函數值和絕對值的意義

化簡運算即可.

本題主要考查了實數的運算，負整數指數幕的意義，零指數幕的意義，特殊角的三角函數值

和絕對值的意義，正確利用上述法則與性質化簡運算是解題的關鍵.

17.【答案】解：①1今

(2(2%—1)<5%4-1(2)

由①得：X<1,

由②得：x>-3,

則不等式組的解集為：—3Wx<l,

則不等式組的最大整數解為0.

【解析】分別求出每一個不等式的解集，然后確定不等式組的解集，在解集內找到最大整數

即可.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

18.【答案】解：(1)如圖，40為所作.

(2)由作圖知，ADLBC,

^ADB=90°,

?A??CAD=A4,tannZA-BnADBDBD4

AO43

BD=y,

VZ-BAD=Z.ADB=Z.ADC=90°,

???乙B+/.BAD=乙BAD+Z-CAD=90°,

?'?Z-B=4CAD,

??.△ABD-^LCAD,

??.絲=嗎

BDAD

4CD

???>=丁,

3

:.CD=3.

【解析】(1)過點A作4。18C于。，利用相似三角形的判定方法可得到△ABD與AC力。相似；

(2)根據垂直的定義得到4408=90。，根據三角函數的定義得到8。=學，根據相似三角形

的性質即可得到結論.

本題考查了作圖-相似變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質以及三角形面積的計算;

熟練掌握勾股定理和相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵.

19.【答案】三

【解析】解：(1)總人數是：10+20%=50(人),

第四組的人數是：50-4-10-16-6-4=10,

頻數(人數)

1701100130160K190220250(跳繩次數)

中位數位于第三組，

故答案為：三；

(2)該校九年級女生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數是：50-96-4X260=104(人);

(3)將成績滿分的4人分別記作4、B、C、D,列表如下：

ABCD

A(B,A)CD,A)

B(4B)(C,B)(D，B)

C(4C(B,C)(D，C)

D(4。(B,D)(C,D)

由表知，共有121沖等可能結果，事1中小潔和小慧都被選中的有2種結果，

21

所以小潔和小慧其能被選中的概率關J126'

(1)首先求得總人數，然后求得第［用組的人數，即可作出統計圖；

(2)利用總人數260乘以所占的比傷J即可求解；

(3)列表得出所有等可能結果，從「中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可.

本題考查讀頻數1》布直方圖的能丈和利用統計圖獲取信息的能力；利用統計圖獲取信息時,

必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

20.【答案】解：(1)由題意得，AB

乙BAC=30°,

過B作BD1AC于D,

Z.ADB=乙CDB=90°,

BD=\AB=30(海里)，

vZ.BCA=45°,

BC==30V-7x42.3(海里),

答：此時海盜船離C島的距離BC約是42.3海里;

(2)由(1)知BD=30(海里),Z.BAC=30°,乙BCA=45°,

AD=SBD=30/3海里，CD=BD=30海里，

AC=AD+CD=（30/3+30）（海里）,

???海警船在接到島主報警后到達C島需要迎無，1.37（小時），海盜船到達C島需要等g"

6030

1.41（小時），

???1.37<1.41,

???海警船能趕在海盜船之前到達C島進行攔截.

【解析】（1）過B作8DJ.4C于D,解直角三角形即可得到結論；

（2）由（1）知BD=30（海里），/.BAC=30°,/.BCA=45°,求得4D==30門海里，

CD=BD=30海里，得到4c=AD+CD=30，？+30（海里），求出海警船在接到島主報

警后到達C島需要嗎警。1.37（小時），海盜船到達C島需要照-1.41（小時），進行比

較，即可得到結論.

本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，解題的關鍵是將實際問題轉化為直角三角形

來求解.

21.【答案】解：（1）如圖①中，取DE的中點M,連接PM.

???^BAD="=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,42=43,^DAE=Z.DPE=90°,

在RtAEPD中，=

???PM=EM=DM,

:.z.3=Z-MPD,

???zl=z3+乙MPD=2z3,

vZ-ADP=2/3,

???zl=Z.ADP.

-AD//BC,

:.Z.ADP=乙DPC,

???Z1=乙DPC,

v乙MOP=zC=90°,

△POM?人DCP,

PO_CD_4_2

PM=PD-6=3*

AP_2PO__2

~DE-2PM-3'

(2)如圖②中，過點P作GH〃BC交AB于G,交。。于H.則四邊形4G”。是矩形，設EG=x,則

BG=2-x

圖②

???5=乙EPD=90°,乙EGP="HP=90°,

:.Z-EPG+乙DPH=90°,(DPH+(PDH=90°,

???乙EPG=乙PDH,

??△EGPfPHD,

.EG_PG_EP_1

‘麗=麗=方=寸

???PH=3EG=3%,DH=AG=2+%,

在RtZkPHD中，vPH2+DH2=PD2,

(3x)2+(2+%)2=62,

解得X=9負值已經舍棄)，

???BG=c2—-8=2

在RMEGP中，GP=；DH=(,

vGH//BC,

EGP~AEBF,

EGGp

-----

E88F

EGGP

-----

E88F

8

-1

5

--1

2

【解析】(1)如圖①中，取。E的中點M,連接PM.證明△POMsACCP,利用相似三角形的

性質求解即可.

(2)如圖②中，過點P作GH〃BC交48于G,交CD于H.設EG=x,則8G=4-x.證明△EGPF

PHD,推出黑=嘉=案=』=；,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt△PHD

rtiUnru1ZJ

中，由P42+。42=PD2,可得(3x)2+(4+X)2=122,求出x,再證明AECPsAEBF,

利用相似三角形的性質求解即可.

本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找

相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題.

22.【答案】⑴證明：:DP平分~1P8,

/-APE-乙BPD,

?“P與。。相切，

???ABAP=Z.BAC+/.EAP=90°,

???AB是。。的直徑，

/.ACB=Z.BAC+Z.B=90°,

Z.EAP=4B,

???△PAE^^PBD,

=竺，

AEBD

???PA?BD=PB?AE；

(2)解：作。GLAC于點G,

P

由于4E,BDf,AE<BD）的長是--5%4-6=0的兩個實數根,

解得：AE=2,BD=3,

由⑴可知:?，

P42

???cosZ-APC=—=

CD3

2

:.cosZ.BAC=cosZ-APC=

:.sinZ.BAC—?，

?D??G一=V~5-，

AD3

??,四邊形4DME是菱形，

???AD=AE=2,

DG=

???菱形面積為：DG.AE=2x亨=亨

【解析】(1)利用角平分線得到乙4PE=乙BPD,推導出4E4P=乙B,從而得到4PAE"PBD,

利用相似三角形的性質即可求出答案;

(2)依據-5x+6=0求得4E=2,BD=3,由(1)可知：￡=￡，進而得出cos乙4PC=

靄=|,cos如lC=cos4Ape=|,sin/BAC=一，解得DG=浮，然后利用平行四邊形

的面積即可求出菱形4DME的面積.

本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，銳角三角函數的定義，平行四邊形的判定及其面

積公式，相似三角形的判定與性質，綜合程度較高，考查學生的靈活運用知識的能力.

23.【答案】(1)解：把。(0,0)代入y=/+(7n一2)%+TH-4得：m-4=0,解得m=4,

???y=%24-2%=(%+I)