專題1.1與三角形有關線段的幾何綜合【典例1】【數學經驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）【綜合應用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=；②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數量關系，并說明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC【思路點撥】（1）①由直角三角形三條高的定義即可得出結論；②延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高；（2）①由三角形內角和定理和角平分線定義得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性質得∠ABE=55°（3）連接CD，由中線的性質得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，設S△ADN【解題過程】（1）解：①∵直角三角形三條高的交點為直角頂點，∠A=90°，∴ΔABC的三條高所在直線交于點故答案為：A；②如圖2，延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-35°=55°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°，故答案為：25°；②∠EBD與∠ABC，∠C之間的數量關系為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-∠BAD，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAD=90°-1∴∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-1∴2∠EBD=∠ABC-∠ACB，故答案為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB；（3）解：連接CD，如圖5所示：∵N是AC的中點，∴S△ADN∴S同理：S△ABN設S△ADN∵△ABC的面積是m，∴S∴S∵BM=1∴BMCM∴S△BDMS△CDM∴S△CDM=2∴S△CDM=∵S即：23解得：a=1∴S故答案為：5121．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2022春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是BC邊上一點，且BE＝4EC，CD與AE交于點F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．293．（2022春·江蘇蘇州·七年級期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點，E是邊AC上的點，且ADBD=1m，CEAE=1n，若A．mn+n+1n B．mn+m+1n C．mn+n+1m4．（2022春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四邊形DEFG的面積為14，則△ABC的面積為（）A．24 B．28 C．35 D．305．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=311則a的值為（

）A．1 B．2 C．6 D．36．（2022春·江蘇揚州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，E是BC上的一點，EC=2BE，點D是AC的中點，設△ABC、△ADF、△BEF的面積分別S、S1、S2，且S=36，則S1-S2=_______．7．（2022春·江蘇泰州·七年級校聯考階段練習）如圖，在△ABC中，AB=52，AC=4,CD=3BD，點E是AC的中點，BE、AD交于點F，則四邊形8．（2023春·七年級單元測試）在△ABC中，已知點D、E、F分別是邊AE、BF、CD上的中點，若△ABC的面積是14，則△DEF的面積為_________．9．（2022春·重慶·七年級西南大學附中校考期末）如圖，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為______．10．（2022春·福建福州·七年級福建省福州延安中學?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點E是AB邊上的點，且AE:EB=2:3，點D是BC邊上的點，且BD:DC=1:2，AD與CE相交于點F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為______．11．（2022春·江蘇無錫·七年級江蘇省錫山高級中學實驗學校?？计谥校┤鐖D，點C為直線AB外一動點，AB=5，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形BEFD的面積為5時，線段AC的長度的最小值為___．12．（2022春·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD相交于點O．若AD與BC之間的距離為m，AC＝6，BD＝152，則AD＋BC的最大值為________13．（2022春·江蘇無錫·七年級校聯考期中）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，點E是AC的中點，BE、AD交于點F，則四邊形DCEF的面積的最大值是______．14．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，點D，點E分別是AC和AB上的點，且滿足AE=2BE，CD=3AD，過點A的直線l平行BC，射線BD交CE于點O，交直線l于點F．若△CDF的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________15．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，四邊形ABCD是矩形，點F是AB邊的三等分點，BF=2AF，點E1是CB邊的中點，連接E1F，E1D，得到△E1FD；點E2是CE1的中點，連接E2F，E2D得到△E2FD；點E316．（2022春·福建福州·七年級福州華倫中學?？计谀┤鐖D，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D．（1）求∠BDC的度數；（2）試比較DA+DB+DC與1217．（2022秋·廣東廣州·八年級校考階段練習）如圖，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．18．（2022秋·陜西西安·七年級西安益新中學?？计谥校┨剿鳎涸趫D1至圖3中，已知△ABC的面積為a（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA.若△ACD的面積為S1，則S1（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE.若△DEC的面積為S2，則S（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，FE，得到△DEF（如圖）若陰影部分的面積為S3，則S3=______.(（4）發現：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF(如圖3)，此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可