篦*常用邏輯用語

［考試要求］

1.通過典型數學命題，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判

定定理與充分條件的關系，性質定理與必要條件的關系，理解數學定義與充要條

件的關系.

2.通過實例，理解全稱量詞命題與存在量詞命題的意義，能正確對兩種命題

進行否定.

［走進教材礎］回顧知識?激活技能

€＞梳理?必備知識

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q，則p是4的充分條件，〃是。的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q/p

〃是4的必要不充分條件〃為旦〃今〃

p是q的充要條件p妗q

p是q的既不充分也不必要條件p^q且q/p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，

并用符號“工”表示.

(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量

詞，并用符號“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

將含有變量X的語句用p(x)，式X)，心)，…表示，變量光的取值范圍用

結構M表示

對M中任意一個x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記VxGM,〃(x)

否定->p(x)XxRM,—>p(x)

提醒：含有一個量詞的命題的否定的規律是“改量詞，否結論”.

［常用結論］

設p,q成立的對象構成的集合分別為A,B.

(l)p是q的充分不必要條件0AB-,

(2)p是q的必要不充分條件今A莖氏

(3)p是q的充要條件0A=B;

(4)p是q的既不充分也不必栗條件臺A與B沒有包含關系.

€>激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)當〃是g的充分條件時，g是〃的必要條件.()

(2)“x>l”是“x>0”的充分不必要條件.()

(3)“三角形的內角和為180?！笔谴嬖诹吭~命題.()

(4)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.()

［答案］(1)7(2)7(3)義(4)V

二'教材習題衍生

1.“(x—l)(x+2)=0"是“x=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B［若x=l,則(x—l)(x+2)=0顯然成立，但反之不成立，即若(x—l)(x+

2)=0,則x的值也可能為-2.故選B.］

2.有以下命題：

(DVXGR,X2—x+1>0；

②sinx=2；

③存在一個無理數，它的平方是有理數；

④平面內，到A,B兩點距離相等的點都在線段A3的垂直平分線上.

其中真命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是.

［答案］存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形

2

4.設p,r都是g的充分條件，s是g的充要條件，，是s的必要條件，1是

r的充分條件，那么p是t的條件，r是t的條件.（用“充分

不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）

充分不必要充要[由題意知p=>q,q<=>s,s=>f,又f=>r,Qq,故〃是r

的充分不必要條件，，是，的充要條件.]

[細研考點?突破題型]重難解惑?直擊高考

考點一充分、必要條件的判定惆組通關

1.（2021.湖南高三月考）設a￡R,則“忘2”是“屋一3a+2W0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B[解不等式/-3a+2W0得1WaW2,

因為[1,2]（一8,2],所以ZW2”是“/-3&+2<0”的必要不充分條

件.故選B.]

2.下列說法中正確的是（)

、，，

A.若"a>b"是aa>c的充分條件，則“b2c”

B.若"a>b”是“a>c”的充分條件，則“bWc”

C.若"a>b”是"a>c"的充要條件，則ub>cn

D.若"a<b"是a>c的必要條件，則“b〈c”

A[令A={a|a>/},B={a\a>c],C={a\a<b}.若“a>b”是ua>cn的

充分條件，則有A=則b2c,故選項A正確，選項B錯誤；若"a>b”是"a

>c”的充要條件，則有4=8,則〃=c,故選項C錯誤；若“a〈b"是"a>c"

的必要條件，則有這是不可能的，故選項D錯誤.故選A.]

3.（2021.珠海第二中學模擬）《墨子?經說上》上說：“小故，有之不必然，

無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊

含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的.（選

“充分條件”“必要條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”之一填空）

必要條件[由“小故，有之不必然，無之必不然”，知“小故”是導致某

個結果出現的幾個條件中的一個或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要

條件.]

3

畬反思領悟充分條件、必要條件的兩種判定方法

根據p=q,q=p進行判斷，適用于定義、定

定義法一

理判斷性問題

根據p,q對應的集合之間的包含關系進行

1集合法1―判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推

斷問題

□考點二充分、必要條件的應用枷生共討

［典例1］已知集合A={x*—8x—20W0},非空集合8={x|l—〃WxWl+

m}.若xCA是的必要條件，求機的取值范圍.

［解］由f—8x—20W0,得一2W無W10,

.?.A={x|-20W10}.

由XGA是XG8的必要條件，知5CA

1—mW1+〃2,

1一機》一2,.?.0W/"W3.

{1+mWlO,

...當0WmW3時，xGA是XG8的必要條件，

即所求m的取值范圍是［0,3］.

［母題變遷］

1.若將本例中條件改為“若XGA是的必要不充分條件”，求機的取

值范圍.

［解］由xdA是xdB的必要不充分條件，知BA,

1一機Wl+加,C1—777^1+m,

1一機2—2,或{1一m>—2,

{l+m<101l+，WW10,

解得0W/wW3或0Wm<3,

故m的取值范圍是［0,3］.

2.本例條件不變，若xGA的必要條件是xGB,求"2的取值范圍.

［解］由原題知A={x|-2WxW10},'."eA的必要條件是xWB,即x@B

是xWA的必要條件，：,A^B,

4

1—mW1+加,

1一mW-2,二解得

{l+m210,

故〃2的取值范圍是[9,+°°).

3.本例條件不變，問是否存在實數而，使xWA是xGB的充要條件？并說

明理由.

[解]不存在.由原題知A={x|-2WxW10}.

若xdA是尤G8的充要條件，則A=8,

1—m=—2,[；77=3,

：.\,：.\所以相不存在.

,1+m=10,[m=9,

畬反思領信利用充要條件求參數的兩個關注點

(1)巧用轉化求參數：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的

關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.

(2)端點取值慎取舍：在求參數范圍時，要注意邊界或區間端點值的檢驗，

從而確定取舍.

-[跟進訓練]

1.(1)(2021.山東中學大聯考)“TxW[—2,1],f—2aW0”為真命題的一個

充分不必要條件是()

A.心0B.心1

C.D.a23

(2)關于x的方程加+云+c=0(aW0)有一個正根和一個負根的充要條件是

(1)D(2)?c<0(1)Vxe[-2,1],f—2aW0”為真命題，即在

工?[—2,1]時恒成立，所以2a24,即VxW[—2,l],f—2aW0為真命題的

充要條件是。巳2,所以該命題轉化為求“a22”的充分不必要條件，即找集合A

={a|a22}的非空真子集，結合選項可知選D.

⑵以2+bx+c=O(aWO)有一個正根和一個負根的充要條件是

5

zf=/?2—4ac>0,

'c即ac<0.]

[-a<o,

考點三全稱量詞與存在量詞修維探究

考向1含量詞命題的否定

[典例2—1]（2021.泰安三模）命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的否定

是（）

A.所有奇函數的圖象都不關于原點對稱

B.所有非奇函數的圖象都關于原點對稱

C.存在一個奇函數的圖象不關于原點對稱

D.存在一個奇函數的圖象關于原點對稱

C[全稱量詞命題”所有奇函數的圖象關于原點對稱”的否定是存在量詞

命題，所以命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的否定是“存在一個奇函數的圖

象不關于原點對稱”.故選C.]

考向2含量詞命題的真假判斷

[典例2—2]（2021.太原模擬）下列命題中的真命題是（）

/3

A.3XGR,使得sin尤+COSX=5

x

B.Vxe（0,+8）,e>x+1

C.三%￡（—8,o）,2X<3X

D.VxG（0,7i）,sinx>cosx

B[入』x+cosx=6sin（x+：k啦V.,故A錯誤；設於）=e*—x—1,

則/'（x）=ev-l.

?.?當xe（0,+8）時，f（x）>o,

..../U）在（0,+8）上為增函數.

又《0）=0,

無e（0,+8）,y（x）>0,即e、>x+l,故B正確；

當xVO時，y=2x的圖象在y=3x的圖象上方，故C錯誤；

,當x￡（0,皆時，sinx<cosx,故D錯誤.]

6

考向3含量詞命題的應用

[典例2-3]若命題p：“mxWR,爐一〃a一mWO”為假命題，則實數m

的取值范圍是.、題多解

[四字解題]

相

讀/UA算思

命題p：x2若P為真命題計算判別式420補集思想

-mx-rnWO為假命

若為真命題計算判別式/<0轉化化歸

題

(—4,0)[法一：若p為真命題，即mxeR,%2一〃優一〃W0,A=z?z2+4??z0,

.,./〃20或/〃W—4,

/.當p為假命題時一4<"?<0.

法二：為假命題，

.'.—ip:X/xCR,x2—nix—〃2>0為真命題，

即J=w2+4m<0,—4<m<0.]

令反思領悟1.判定全稱量詞命題“VxWM,p(x)”是真命題，需要對集合M

中的每一個元素X,證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“m