第2章第03講估算、實數1、會估算一個無理數的大致范圍，比較兩個無理數的大小2、了解實數的意義，能對實數按要求進行分類;3、了解實數和數軸上的點一一對應，能根據實數在數軸上的位置比較大小;4、了解實數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義（同有理數的意義完全一樣）.知識點01估算【微點撥】日常生活中有些數據不需要十分精確時，可以通過應用所學知識進行估算，但要盡可能地減小誤差，方法要科學．估算法：（1）若，則；（2）若，則；根據這兩個重要的關系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個平方數和立方數，來估算和的大?。纾?，則；，則．常見實數的估算值：，，．知識點02實數概念及分類【微點撥】無理數常見的三種類型：（1）開不盡的方根；（2）特定結構的無限不循環小數；（3）含有π的絕大部分數.題型01無理數的估算【典例】（2023春·重慶潼南·七年級校聯考期中）估算的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】A【分析】先估算出無理數的值，再進行辨別、求解．【詳解】解：，，，故選．【點睛】此題考查了無理數的估算能力，解題的關鍵是能準確理解并運用平方根知識進行求解．【變式1】（2023·天津東麗·統考一模）估計的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】A【分析】根據無理數估算大小的方法即可求解．【詳解】解：∵，且，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查無理數比較大小，掌握無理數估算大小，比較大小的方法是解題的關鍵．【變式2】（2023·浙江·七年級假期作業）若a和b為兩個連續整數，且，那么，．【答案】34【分析】根據，可得：的值，進而即可求解．【詳解】，又為兩個連續整數，，故答案為：3；4．【點睛】本題主要考查算術平方根的估算，掌握算術平方根的意義，是解題的關鍵．題型02實數概念理解【典例】（2023春·七年級課時練習）有下列說法：①帶根號的數是無理數；②無理數是開方開不盡的數；③無理數是無限小數；④所有實數都是分數．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據實數的分類與概念，有理數與無理數的概念逐一分析即可．【詳解】解：帶根號的數不一定是無理數；故①不符合題意；無理數是無限不循環的小數，故②不符合題意；無理數是無限小數，故③符合題意；所有實數不都是分數，無理數就不是分數，故④不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是無理數的含義，實數的含義，熟記概念是解本題的關鍵．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業）下列說法中，正確的是（）A．無限小數都是無理數 B．無理數都是帶有根號的數C．、都是分數 D．實數分為正實數，負實數和零【答案】D【分析】直接利用相關實數的性質分析得出答案．【詳解】解：A、無限不循環小數都是無理數，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、無理數不一定是帶有根號的數，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、、都是無理數，不是分數，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、實數分為正實數．負實數和零，正確，本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了實數的性質，屬于基礎知識的考查，掌握相關概念或性質解答即可．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）關于實數，下列說法錯誤的是（

）A．有理數與無理數統稱實數 B．實數與數軸上的點一一對應C．無理數就是無限不循環小數 D．帶根號的數都是無理數【答案】D【分析】根據實數的分類，無理數的意義，實數與數軸，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、有理數與無理數統稱實數，選項正確，故不符合題意；B、實數與數軸上的點一一對應，選項正確，故不符合題意；C、無理數就是無限不循環小數，選項正確，故不符合題意；D、帶根號的數不一定都是無理數，例如：是有理數，選項錯誤，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了實數，實數與數軸，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．題型03實數的分類【典例】（2023·浙江·七年級假期作業）把下列各數填入相應的橫線上：正有理數集合：整數集合：負分數集合：無理數集合：【答案】見解析【分析】根據實數的分類進行判斷即可．【詳解】解：∵，，，正有理數集合：3.14??；整數集合：、0、??；負分數集合：、??；無理數集合：、、；故答案為：3.14??；、0、??；、??；、、．【點睛】本題考查實數的分類，熟練掌握實數的相關概念是解題的關鍵．【變式1】（2023春·湖北襄陽·七年級統考期中）把下列各數分別填在相應的集合中：，，，，，，，，，(每兩個1之間依次多1個0)．有理數集合：｛

…｝無理數集合：｛

…｝【答案】，，，，，…；，，，(每兩個1之間依次多1個0)【分析】根據實數的分類完成填空即可求解．【詳解】解：有理數集合：｛，，，，，…｝無理數集合：｛，，，(每兩個1之間依次多1個0)｝故答案為：，，，，，…；，，，(每兩個1之間依次多1個0)．【點睛】本題考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類，無理數的定義是解題的關鍵．【變式2】（2023春·七年級課時練習）把下列各數分別填在相應的集合中．，，，，，，，（每相鄰兩個3之間0的個數逐次加1）．(1)有理數集合：{

…}；(2)無理數集合：{

…}；(3)正實數集合：{

…}；(4)負實數集合：{

…}．【答案】(1)，，，，(2)，，(3)，，，，(4)，，【分析】（1）先化簡，，再根據有理數的含義作答即可；（2）根據無理數的概念作答即可；（3）根據正實數包括正有理數與正無理數作答即可；（4）根據負實數包括負有理數與負無理數作答即可；【詳解】（1）解：∵，，∴有理數集合：{，，，，，…}（2）無理數集合：{，，，…}（3）正實數集合：{，，，，，…}（4）負實數集合：{，，，…}【點睛】本題考查的是實數的分類，立方根與算術平方根的含義，熟記實數的分類是解本題的關鍵．題型04實數的性質【典例】（2023春·甘肅定西·七年級?？茧A段練習）的絕對值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據絕對值的定義即可求解．【詳解】解：的絕對值是，故選B．【點睛】本題考查了絕對值的定義，非負數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數．【變式1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統考期中）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據絕對值、立方根、算術平方根的性質解決此題．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，立方根，以及絕對值，正確的計算是解題的關鍵．【變式2】（2023·江蘇·八年級假期作業）的相反數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據相反數的定義求解即可．【詳解】解：∵的相反數是，故選C．【點睛】本題考查了相反數的定義，解決本題的關鍵是掌握其定義：只有符號不同的兩個數互為相反數．題型05實數與數軸【典例】（2023·福建泉州·統考二模）如圖，小明將一個直徑為1個單位長度的圓環（厚度忽略不計）從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，則下列實數與點表示的數最接近的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，滾動一周，在數軸上的長度為圓的周長，由圓周長公式計算得到，從而，估計，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，，，，，結合題中四個選項可知，與點表示的數最接近，故選：C．【點睛】本題考查無理數的估算，讀懂題意，得到的長度，掌握無理數估算的方法是解決問題的關鍵．【變式1】（2023秋·七年級單元測試）如圖，在數軸上表示實數的點可能是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】A【分析】首先根據數的算術平方根估出介于哪兩個整數之間，然后結合數軸，看哪個點在這兩個整數之間，從而找到其對應的點．【詳解】解：∵，∴，∴，∴在數軸上表示實數的點可能是點M．故選：A．【點睛】本題考查無理數的估算以及數軸上的點和數之間的對應關系，解題的關鍵利用算術平方根估算出是介于哪兩個整數之間．【變式2】（2023春·上海普陀·七年級統考期中）如圖，在數軸上，點與點關于點A對稱，A、B兩點對應的實數分別是和，那么點所對應的實數是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設點C所對應的實數是x，根據中心對稱的性質，即對稱點到對稱中心的距離相等，即可列方程求解．【詳解】解：設點C所對應的實數是x．則有，解得，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查的是數軸上兩點間距離的定義，根據題意列出關于x的方程是解答此題的關鍵．題型06實數的大小比較【典例】（2023春·廣東惠州·七年級統考期末）比較大小：______，______；【答案】【分析】根據被開方數越大，其算術平方根越大可比較的大小，根據比較近似值的方法可比較的大小，從而可得答案．【詳解】解：，，故答案為：，【點睛】本題考查的是實數的大小比較，掌握比較的方法是解本題的關鍵．【變式1】（2023春·湖北武漢·七年級統考期末）比較實數大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根據無理數的估算得到，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查比較實數大?。炀氄莆諢o理數的估算，是解題的關鍵．【變式2】（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）比較大?。篲____．（填寫“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法進行求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數比較大小，熟知作差法比較大小是解題的關鍵．題型07實數的混合運算【典例】（2023春·甘肅定西·七年級?？茧A段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號，再根據實數的混合計算法則求解即可；（2）先利用算術平方根和立方根的性質化簡，再進行計算．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查了實數的混合計算，算術平方根和立方根的性質，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【變式1】（2023春·河南駐馬店·七年級統考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據算術平方根和立方根的定義求解即可；（2）先化簡絕對值和去括號，再進行加減運算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查實數的運算，涉及算術平方根、立方根、化簡絕對值，熟練掌握運算法則并正確求解是解答的關鍵．【變式2】（2023春·河南安陽·七年級統考期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（2）先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【詳解】（1）解：原式=；（2）解：原式=．【點睛】本題考查了實數的運算，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．題型08程序設計與實數運算【典例】（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是__________．【答案】【分析】根據程序框圖進行運算求解即可．【詳解】解：由題意知，，取算術平方根為，8是有理數，取立方根，2是有理數，取算術平方根，是無理數，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了算術平方根、立方根，無理數、有理數，程序框圖．解題的關鍵在于理解框圖以及對知識的熟練掌握．【變式1】（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設計的計算小程序，當輸入為時，輸出的值是____________【答案】【分析】將代入程序進行計算即可求解．【詳解】解：當時，，當時，，當時，，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的計算，掌握求一個數的立方根，算術平方根是解題的關鍵．【變式2】（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學?？茧A段練習）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結果為___________．【答案】【分析】根據程序圖及算術平方根的計算方法，依次計算即可．【詳解】解：第一次運算，輸入，取算術平方根為4，返回繼續運算；第二次運算，輸入4，取算術平方根為2，返回繼續運算；第三次運算，輸入2，取算術平方根為，是無理數，輸出結果．故答案為：．【點睛】本題考查算術平方根及程序圖的計算，理解程序圖的運算順序是解題的關鍵．題型9無理數整數部分的有關計算【典例】（2023春·廣東云浮·八年級統考期中）已知a是的小數部分，則．【答案】3【分析】由，先求出，然后再代入計算，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：3【點睛】此題主要考查了估算無理數大小，正確得出是解題關鍵．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業）的整數部分為a，小數部分為b，則的值為．【答案】【分析】先估算出的范圍，根據可得a，b的值，最后代入求值即可；【詳解】解：∵，∴，∴，，∴，故答案為：；【點睛】本題考查了無理數的估算：求一個數的算術平方根在哪兩個整數之間，就要看被開方數的值在哪兩個相鄰正整數的平方之間．【變式2】（2023春·黑龍江雙鴨山·七年級校考期末）的小數部分是，的小數部分為．則．【答案】1【分析】根據可得，，從而有，由此可得出的整數部分是7，小數部分用減去其整數部分即可，同理可得的值，再將的值代入所求式子即可得出結果．【詳解】解：，，，，的整數部分是7，的整數部分為2，，，．故答案為：1．【點睛】本題考查估算無理數的大小，正確得出各數的小數部分是解題關鍵．題型10新定義下的實數運算【典例】（2023·浙江·七年級假期作業）規定一種運算：，其中，為實數．例如：，則的值為__________．【答案】【分析】讀懂新定義，利用新定義計算．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查新定義實數的運算，解題的關鍵是理解新定義的運算方法．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業）定義一種運算：對于任意實數，都有，則的值為_________．【答案】【分析】根據題目所給的定義得到，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，正確理解題意是解題的關鍵．【變式2】（2023春·湖北武漢·七年級統考期中）在正實數范圍內定義一種運算“”：當時，；當時，．則方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用當時，當時，分別得出等式，進而得出答案．【詳解】解：，當時，，故，解得：，當時，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了新定義運算，實數的運算，正確分情況討論是解題關鍵．題型11與實數運算相關的規律題【典例】（2023春·全國·七年級專題練習）探究題：(1)計算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通過上面的計算，比較左右兩邊的等式，你發現了什么？請用字母表示你發現的規律是；請用這一規律計算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根據算術平方根的定義進行計算；（2）比較得到的等式發現兩個非負數的算術平方根的積等于這兩個數的積的算術平方根，根據此規律得到，然后約分后根據算術平方根定義計算．【詳解】（1），，；故答案為：6，，；（2）比較得到的等式發現兩個非負數的算術平方根的積等于這兩個數的積的算術平方根.用字母表示為：（a≥0，b≥0）．故答案為：（a≥0，b≥0），【點睛】本題考查了實數的運算：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．【變式1】（2023春·福建莆田·七年級統考期中）閱讀下列解題過程：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……(1)按照你所發現的規律，請你寫出第4個等式：__________________．(2)利用這一規律計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照已知等式確定出所求即可；（2）原式變形后，仿照上式得出結果即可．【詳解】（1）解：根據題意得：∴第4個等式為：；故答案為：；（2）．【點睛】本題考查了實數的運算，規律型：數字的變化類，弄清題中的規律是解本題的關鍵．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③．(1)根據上而三個等式提供的信息，請你猜想______．(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n的式子表示的等式：______．對任何實數a可表示不超過a的最大整數，如，，計算：的值【答案】(1)(2)，49【分析】（1）根據題干例舉的等式，總結規律可得答案；（2）先總結規律可得，再利用規律進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）由題干信息歸納可得：，∴．【點睛】本題考查的是實數的運算規律的探究與運用，掌握“探究的方法以及靈活運用”是解本題的關鍵．一、選擇題1．（2023春·廣西防城港·七年級統考期末）的相反數是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據相反數的概念即可得出答案．【詳解】的相反數是，故選：D．【點睛】本題主要考查相反數的概念，掌握相反數的概念是解題的關鍵．2．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，數軸上表示實數的點可能是(

)

A．點P B．點Q C．點R D．點S【答案】B【分析】根據先估算的大小，看它介于哪兩個整數之間，從而得解．【詳解】解：∵∴，即，∴數軸上表示實數的點可能是Q，故選：B．【點睛】本題考查無理數的大小估算，推出介于哪兩個整數之間是解題的關鍵．3．（2023春·湖北襄陽·七年級統考期末）下列各式中計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平方根、立方根和實數運算法則逐項計算即可．【詳解】解：A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，不符合題意；D．，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了實數的運算，解題的關鍵是掌握平方根、立方根和實數運算法則，準確進行計算．4．（2023春·陜西安康·七年級統考期末）如圖是一個數值轉換器，當輸入的時，輸出的y等于（

）

A．8 B． C． D．4【答案】B【分析】根據程序第一步計算，再次計算得，是無理數，直接輸出即可．【詳解】根據程序第一步計算，再次計算得，是無理數，直接輸出，，故選B．【點睛】本題考查了程序計算，算術平方根，無理數，熟練掌握算術平方根，無理數的計算與判定是解題的關鍵．5．（2023春·安徽池州·七年級統考期末）設的整數部分用表示，小數部分用表示；的整數部分用表示，小數部分用表示，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先估計，的范圍，從而得到它們的整數部分和小數部分，代入求解即可．【詳解】∵，，∴，，，∴故選：B【點睛】本題考查實數的估值，正確估計實數的范圍，從而得到實數的整數和小數部分是解題的關鍵．二、填空題6．（2023春·天津東麗·七年級統考期末）計算的絕對值是．【答案】【分析】根據，即可得．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值，解題的關鍵是掌握絕對值的意義．7．（2023春·重慶忠縣·七年級統考期末）實數，，，中最小的數是．【答案】【分析】根據正數大于0，0大于負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小，即可解答．【詳解】解：∵，，，,且，∴，∴實數，，，中最小的數是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的大小比較，解題關鍵是掌握比較大小的方法．8．（2023春·黑龍江綏化·八年級統考期中）已知a，b分別是的整數部分和小數部分，那么的值為.【答案】【分析】根據，可得的大小，根據，可得a、b的值，根據實數的減法，可得答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴即∵a，b分別是的整數部分和小數部分，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，根據，可得的大小是解題關鍵．9．（2023春·陜西渭南·八年級統考期末）如圖，在數軸上，點為原點，點在數2位置上，過點作，且．以點為圓心，為半徑作弧，交數軸的右側于點，則點表示的數為．

【答案】【分析】由題意可得，由勾股定理可得，從而可得，即可得到點表示的數．【詳解】解：根據題意可得：，，，以點為圓心，為半徑作弧，交數軸的右側于點，，點表示的數為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數與數軸、勾股定理，根據題意算出是解題的關鍵．10．（2023·浙江·七年級假期作業）已知實數，在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為．

【答案】1【分析】根據數軸上點的位置確定出，的正負，原式利用絕對值的代數意義，立方根及算術平方根性質計算即可求出值．【詳解】解：根據數軸上點的位置得：，且，，，則原式．故答案為：1．【點睛】此題考查了實數的運算，立方根，以及實數與數軸，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．三、解答題11．（2023春·浙江臺州·七年級統考期末）計算：【答案】【分析】根據化簡絕對值，求一個數的立方根進行實數的計算即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了實數的混合運算，正確的計算是解題的關鍵．12．（2023春·安徽黃山·七年級統考期末）計算【答案】【分析】根據立方根，絕對值的性質，實數的混合運算法則進行計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題主要考查了實數的運算法則，絕對值的性質，根據實數的運算法則進行計算是解答關鍵．13．（2023春·湖北孝感·七年級統考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】（1）先求立方根和算術平方根，再根據實數的運算法則即可求解；（2）先求算術平方根和立方根，再根據實數的運算法則即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查算術平方根和立方根的混合運算，掌握實數的運算法則是解題的關鍵．14．（2023春·江西上饒·七年級統考期末）如圖，有一只螞蟻從點沿數軸向右爬了2個單位長度到達點，若點表示數，設點所表示的數為．

(1)實數的值是______；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據數軸的定義，結合題意，即可得出答案；（2）由（1）可知的值，再將的值代入代數式，然后再化簡絕對值，計算實數的加減運算即可得出結果．【詳解】（1）解：∵點表示數，點所表示的數為，又∵從點沿數軸向右爬了2個單位長度到達點，∴，∴實數的值是；故答案為：（2）解：由（1）可知：，把代入，得：原式=．【點睛】本題考查了數軸、絕對值、實數的加減法，熟練掌握數軸的定義是解本題的關鍵．15．（2023春·河南商丘·七年級統考期末）【閱讀材料】∵，，∴的整數部分為1，小數部分為．【解決問題】(1)的整數部分是______，小數部分是______．(2)已知，其中x是整數，且，求的相反數．【答案】(1)3，(2)【分析】（1）由，，可得的整數部分為3，小數部分為；（2）由題意知，由x是整數，且，可得，，則，．【詳解】（1）解：∵，，∴的整數部分為3，小數部分為，故答案為：3，．（2）解：，，∴，∵x是整數，且，∴，，∴，∴，∴的相反數為．【點睛】本題考查了無理數的估算，相反數等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．16．（2023