基于渦激作用的輸流管道流動分析

作為一種廣泛使用的技術結構，輸流管道在海上通過管道時，在一定條件下會發生漩渦。當管道的自振頻率接近自振頻率時，振動將渦旋佛經的核心內容固定在結構自振頻率周圍，并導致管道的急劇渦旋振動。在這種情況下，這被稱為“抑制”現象。為了避免大幅度振動的發生,對結構的自振頻率的研究以避免結構疲勞破壞是至關重要的。輸流管道的流體誘發振動問題可歸結為典型的無窮維連續陀螺系統動力學模型。基于1950年Feodos’ev的兩端簡支管道的線性動力學模型,國內外針對其振動問題開展了大量的研究,研究成果不但包括不同支撐情況管道的實驗研究,還有二維、三維的線性和非線性理論模型。總的看來,以往的研究多是基于輸流管道的線性振動模型,考慮各種因素的單獨作用,從中得出的某些結論與實際情況有時差異較大。并且在分析過程中,外部流體阻尼的影響通常被忽略。實際上,管道會受到多種因素的聯合作用,并且在管道的不同振動狀態,外部流體阻尼的大小也不同,所以研究外部流體阻尼對管道振動特性的影響以及各種因素同時作用的結果也是非常重要的。本文利用Kane方法建立輸流管道的二維非線性動力學模型。考慮阻尼的影響,通過分析管內流體及管外海洋環境荷載的共同作用,建立輸流管道渦激振動方程,用復模態分析方法對管道的渦激振動方程進行求解,從而計算分析管道的穩定性。1管道群結構動力學方程圖1所示為兩端簡支輸流管道模型,假設勻質管道變形前所取與其軸線垂直截面變形后仍與軸線垂直,變形前相對參考坐標系單位矢量a1、a2分別平行、垂直其軸線。V為管道內部流體的流速。q(t)為作用于管道外部的渦激升力。通常管道在平面內的變形ˉuuˉ用笛卡兒坐標u1、u2表示,如圖1(b)所示。在本文的建模方法中,采用弧長坐標s代替笛卡爾坐標u1,用來表示管道變形后任意點沿軸線方向的伸長量。O為管道相對于相對參考系變形的參考點。其余符號的意義如圖1中所示。由于輸流管道的流體誘發振動具有很強的非線性,本文采用原理簡單明了的Kane方法來建立管道的動力學模型,該方法意味著系統在廣義坐標下的廣義慣性力F*i與廣義作用力Fi的平衡,即:F*i+Fi=0(1)利用方程(1),根據文獻的建模方法得管道渦激振動的非線性動力學方程:n2∑k=1mik??Qk+n2∑k=1rik˙Qk+n2∑k=1kikQk+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1ΝihkjQhQk˙Qj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1Dihkj(QhQk??Qj+Qh˙Qk˙Qj)+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1(Fihkj+Sihkj)QhQkQj=FLii=1,2,?,n2(2)∑k=1n2mikQ??k+∑k=1n2rikQ˙k+∑k=1n2kikQk+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2NihkjQhQkQ˙j+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2Dihkj(QhQkQ??j+QhQ˙kQ˙j)+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2(Fihkj+Sihkj)QhQkQj=FLii=1,2,?,n2(2)式中:mik=∫l0l0(ρ+ρ′+ρf)ΦkΦidxrik=2V∫l0l0ρfΦk,sΦidx+ΘU∫l0l0ρ′ΦkΦidxkik=∫l0l0EIΦk,xxΦi,xxdx+V2∫l0l0ρfΦk,xxΦidx?ik=∫x0x0Φi,ζ(ζ)Φk,ζ(ζ)dζ,Θ=8δSt/(CaD)Nihkj=2V∫l0l0ρfΦk,sΦj,x?hidxDihkj=∫l0l0(ρ+ρf)?kj?hidxSihkj=V2∫l0l0ρfΦk,xxΦj,x?hidxFihkj=∫l0l0EIΦk,xxΦh,x(Φi,xxΦj,x+Φi,xΦj,xx)dxFLi=∫l0l0q(t)Φidx其中Φk(x)為振型函數,n2為模態截斷數;ρ和ρf分別表示管道和內流單位長度的質量;Qi為管道振動時所對應的廣義坐標;δ為粘滯力系數,St為Strouhal數,Ca為附加質量系數,D為管道外徑;U外部流體流速;ρ′=CaρeπD2/4為單位長度管道的附加質量,并且ρe為外部流體的密度;q(t)=ρeU2DCL(t)/2為流體流動產生的渦激升力,CL(t)為升力系數。對于輸流管道,較為經典的非線性動力學模型為Pa?doussis模型。通過比較,當本文模型(2)中忽略外部流體的影響,與Pa?doussis模型的質量、阻尼和剛度矩陣mik,rik和kik完全相同,主要區別在于非線性項Fihkj,Sihkj,Nihkj和Dihkj形式上的不同,這從一個側面說明了本文模型的正確性。2模型求解結果不考慮管道外部流體的作用,引入無量綱變量:yk=Qkl,u=√ρfEΙVl,ζ=ρfρf+ρ′+ρ,τ=tΤ,ζ′=ρ′ρf+ρ′+ρ,η=xl,Τ=√(ρf+ρ′+ρ)l4EΙ(3)yk=Qkl,u=ρfEI???√Vl,ζ=ρfρf+ρ′+ρ,τ=tT,ζ′=ρ′ρf+ρ′+ρ,η=xl,T=(ρf+ρ′+ρ)l4√EI(3)則動力學方程的無量綱形式為:n2∑k=1Μik??yk+n2∑k=1Cik˙yk+n2∑k=1Κikyk+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1αihkjyhykyj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1βihkjyhyk??yj+n2∑h=1n2∑k=1n2∑j=1γihkj(yhyk??yj+yh˙yk??yj)=0i=1,2,?,n2(4)∑k=1n2Miky??k+∑k=1n2Ciky˙k+∑k=1n2Kikyk+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2αihkjyhykyj+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2βihkjyhyky??j+∑h=1n2∑k=1n2∑j=1n2γihkj(yhyky??j+yhy˙ky??j)=0i=1,2,?,n2(4)式中各項系數的詳細表達式見參考文獻。將方程(4)在平衡位置線性化為:Μ??yk+C˙yk+Κyk=0(5)其中:Μik=∫l0ΦiΦkdη,Cik=2u√ζaik+ΘλΜik√ζ′Κik=cik+u2dik,aik=∫l0Φk,ηΦidηcik=∫l0Φk,ηηΦi,ηηdηdik=∫l0Φk,ηηΦidη,yk=[y1,y2,?,yn2]Τ為了得到方程(5)的固有頻率,將其轉化為:A˙Y(τ)+BY(τ)=0(6)其中:A=[0ΙΜ0],B=[-Ι0CΚ],Y(τ)={˙ykyk}(7)假設方程(6)的解為Y(τ)=Y0eλnτ,那么從矩陣[C]和[K]可以看出,特征值λn隨著內流流速的變化而變化。并且,隨著內流流速的增加,復特征值的虛部隨之減小,當虛部減小到零時內流流速達到其臨界流速。Pa?doussis深入研究了輸流管道的靜力和動力穩定性問題。所以,在此將本文建立的模型的線性穩定性分析結果與Pa?doussis模型的計算結果進行比較以驗證其有效性。對兩端固定支撐的管道在無量綱參數ζ不同取值時(ζ=0.1,0.8)的數值計算結果示于圖2中,即無量綱內流流速與無量綱固有頻率之間的關系。從圖2(a)中可以看出,當ζ=0.1時,無量綱流速達到6.28管道振動出現發散失穩,繼續增大內流流速,第二階模態的發散失穩出現在流速為8.99時;再繼續增大流速,第一、二階模態相互耦合、增大并與第三階模態相交。在圖2(b)中,ζ=0.8,與ζ=0.1不同的是在流速u=8.99到9.6之間存在一個穩定區域。從圖2還可以看出,本文建立模型的計算結果與Pa?doussis模型的計算結果基本一致。需要指出的是不僅圖中曲線反映的數值計算結果吻合得較好,而且本文模型也準確地反映出管道振動過程中的物理現象。3振動頻率的確定考慮到管道固有頻率的收斂特性,在沒有特殊要求的情況下,取文獻中的數據進行計算:l=2m,ρf/(ρ+ρf)=0.1,E=10×109Pa,D=20mm,h=1mm。得到兩端簡支管道的前三階振動頻率與其影響因素的關系曲線表示在圖3～圖7中。值得關注的是,管道振動在流速、外流粘滯力系數和管道長度等參數區域內系統發生顫振,存有復雜的分岔現象。3.1管道開始組內部的階固有頻率下降為零的情況從圖3中可以看出,和兩端固支的管道相同,流速的增加降低了管道的前三階固有頻率。當流速達到一個臨界值,第一階固有頻率下降為零,此時意味著管道開始發散失穩。并且隨著流速的進一步增大,系統的第二階固有頻率在流速達到第二個臨界流速時出現發散失穩現象。繼續增大流速(V>206.84m/s),系統的第一、二階模態具有相同的特征值,包括實部和虛部(固有頻率),此時系統出現耦合模態顫振現象。3.2不同流體流速下管道第一階固有頻率的變化當輸流管道應用于海洋中,管道的外部將受到波浪和海流的作用。圖4給出了管道前三階固有頻率與外部流體流速的關系曲線。從圖中可以看出,外部流體流速的增大使管道前三階固有頻率降低,當外部流體流速從0增加到1.6m/s時,第一階固有頻率降低為0。隨著流速的進一步增加,管道的第二階固有頻率在外部流體流速達到6m/s降低為0。此時如果繼續增大外部流體的流速,管道的第三階固有頻率也在流速為13.8m/s時降低為0。自Morison方程提出幾十年來,已有不少學者對拖曳力系數CD進行了大量的模型試驗和現場觀測工作,但所得數據仍有相當大的離散性。本文根據1976年Sarpkaya的實驗數據,假定粘滯力系數δ=CD/4πSt的大小在0.2到1.2范圍內。從圖5中可以看出,在固定的流體流速(U=1)情況下隨著粘滯力系數的增大,管道的第一階固有頻率減小,當δ=1.135時為零。而第二、三階固有頻率受粘滯力系數的影響不大。3.3流體對管道固有頻率的影響管道長度的變化也會引起管道的失穩,在圖6中給出了管道長度的變化對管道固有頻率的影響(V=40m/s,U=0)。從圖中可以看出,在固定的內流流速情況下,當管道長度達到一個臨界值(l>5.28m),第一階固有頻率下降為零,此時意味著管道開始發散失穩。并且隨著長度的進一步增大,系統的第二階固有頻率在管道長度達到第二個臨界值時(l>10.81m)出現發散失穩現象。繼續增大長度(l>11m),系統的第一、二階模態具有相同實部和虛部(固有頻率),系統出現耦合模態顫振現象。實際上,上述的對管道固有頻率有影響的參數不是獨立存在的,管道會同時受到管內外流體的同時作用,管道的固有頻率的變化是跨長、密度、質量比、管道剛度、以及流體流速等共同作用的結果。所以下面將進一步研究內外流速對固有頻率的聯合作用。圖7中給出了內外流體對管道的聯合作用關系曲線。由于外流的存在降低了管道的固有頻率,并且隨著外流流速的增大受內流影響的管道固有頻率降低的更快,發散失穩需要的臨界流速也更低。還可以看出,外部流體對第二階固有頻率的影響較第一階小。與前述僅有內流作用不同的是,繼續增大流速大于第二個臨界流速時,系統的第一、二階模態具有不同的特征值,即系統不會出現耦合模態顫振現象,并且隨著流速的增大,第一階固有頻率逐漸減小為零。內外流體的對管道動力特性的具體影響列于表格1。4基于動力特性的系統振動模型(1)本文基于Kane方法建立的分析輸流管道非線性振動的模型中存在著三次非線性項。在三次非線性項中,既有慣性項,又有幾何項。本模型既考慮了內流流速對管道動力特性的影響,也包括了外部流體產生漩渦升力對管道的作用,為進一步研究管道的渦激振動提供了理論基礎,也為同類問題的相關研究提供了一個較完整的動力學模型;(2)此狀態矢量空間方程保留了所有由邊界約束產生的流固耦合參數的影響,只要選擇合適的振型函數就可以調整本文建立的模型以解決任意邊界條件的問題。對于兩端固支管道的動力特性,本文建立的模型在平衡位置線性化