第10講二次函數單元復習目標導航目標導航課程標準1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義；

2．會用描點法畫出二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質；

3．會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導)，并能解決簡單的實際問題；

4．會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。知識精講知識精講知識點01二次函數的定義一般地，如果是常數，，那么叫做的二次函數。

注意：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數。這里，當a=0時就不是二次函數了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。知識點02二次函數的圖象與性質1．二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數的圖象特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時

開口向上

當時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2．拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點。

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3．拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側.

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.

4．用待定系數法求二次函數的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.(可以看成的圖象平移后所對應的函數.)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數的關系：).注意：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用．知識點03二次函數與一元二次方程的關系函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數解方程有兩個相等實數解

方程沒有實數解注意：二次函數圖象與x軸的交點的個數由的值來確定.(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。

知識點04利用二次函數解決實際問題利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義。

利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當的平面直角坐標系；

(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；

(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；

(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.注意：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、橋梁、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.能力拓展能力拓展考法01求二次函數的解析式【典例1】已知拋物線的頂點坐標是，且與y軸交于點，這個拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．【即學即練】已知拋物線經過點，且該拋物線的對稱軸經過點A，則該拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【典例2】如圖，將二次函數的圖像沿軸對折，得到的新的二次函數的表達式是（

）A． B． C． D．【即學即練】若拋物線與拋物絨的頂點重合，且與軸的交點的坐標為，則拋物線的表達式是（

）A． B． C． D．考法02根據二次函數圖象及性質判斷代數式的符號【典例3】在同一平面直角坐標系內，二次函數與一次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【即學即練】二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象大致是(

)．A． B．C． D．【典例4】如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點對稱軸為直線．則下列結論：①；②；③函數的最大值為；④若關于x的方數無實數根，則．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練】在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考法03函數與一元二次方程【典例5】已知拋物線（，，是常數，）經過點和，其對稱軸在軸左側．有下列結論：①拋物線經過；②有兩個不相等的實數根；③，其中正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【即學即練】已知拋物線（a，b，c為常數，）經過點，，其對稱軸在y軸左側．有下列結論：①；②拋物線經過點；③方程有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例6】已知拋物線經過點，，則關于的一元二次方程的解為（

）A．或 B．或C．或 D．或【即學即練】如圖，拋物線過點（1，0）和點（0，－2），且頂點在第三象限，設p＝a－b＋c，則下列判斷錯誤的是（

）A．a＋b＝2 B．方程有兩個不相等的實數根C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0考法04二次函數與實際問題【典例7】從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示．則下列結論不正確的是（）A．小球在空中經過的路程是40m B．小球運動的時間為6sC．小球拋出3s時，速度為0 D．當s時，小球的高度m【即學即練】如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數刻畫，斜坡可以用一次函數刻畫．下列結論錯誤的是（

）A．小球落地點距O點水平距離為7米B．小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢C．當小球拋出高度達到7.5m時，小球距O點水平距離為3mD．小球距斜坡的最大鉛直高度為【典例8】如圖，矩形中，，動點P沿著的路徑勻速運動，過點P作，垂足為Q，設點P的運動路程為x，以B，C，P，Q為頂點的四邊形的面積為y，則y與x的大致函數圖象為（

）A． B．C． D．【即學即練】某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為和，其中x為銷售量（單位：輛）．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤為（

）A．45.51萬元 B．45.56萬元 C．45.6萬元 D．45.606萬元分層提分分層提分題組A基礎過關練1．拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線是（

）A． B．C． D．2．拋物線與y軸的交點坐標為(

)A． B． C． D．3．由二次函數y＝2（x﹣3）2＋1，可知（

）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的頂點坐標為（3，1）C．其圖象的對稱軸為直線x＝﹣3 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大4．在體育選項報考前，某九年級學生對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發現實心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關系為y=，由此可知該生此次實心球訓練的成績為(

)A．6米 B．10米 C．12米 D．15米5．已知拋物線過點(2，2)，則m的值為(

)A．1 B．4 C．3 D．06．二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當?1<x<3時，y<0時；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④7．二次函數的圖象的對稱軸是直線_________________；8．二次函數的圖象如圖，對稱軸為直線．（1）_________；（2）若直線與拋物線在的范圍內有兩個交點，則t的取值范圍是___________．9．一條拋物線由拋物線平移得到，對稱軸為直線，并且經過點．(1)求該拋物線的解析式，并指出其頂點坐標；(2)該拋物線由拋物線經過怎樣平移得到？10．如圖1所示的某種發石車是古代一種遠程攻擊的武器，發射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發射點20米時達到最大高度10米．將發石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．題組B能力提升練1．已知點，在拋物線上，且與x軸的交點為和．當時，則，應滿足的關系式是（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標系中，對于二次函數，下列說法中錯誤的是（

）A．y的最小值為1B．圖象頂點坐標為（2，1），對稱軸為直線x=2C．當時，y的值隨x值的增大而增大，當時，y的值隨x值的增大而減小D．它的圖象可由的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到3．若兩個不相交的函數圖像在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數的“和諧值”．則拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣2的“和諧值”為（）A．3 B．2 C． D．4．若函數y＝ax2﹣x+1（a為常數）的圖象與x軸只有一個交點，那么a滿足(

)A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝5．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數關系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）26．如圖所示，在中，，且，設直線截此三角形所得的陰影部分的面積為，則與之間的函數關系式為（）A． B． C． D．7．已知二次函數的圖像頂點在x軸上，則_________8．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B(1，3)，則方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．9．某件產品的成本是每件10元，試銷售階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)觀察以上數據，根據我們所學到的一次函數、二次函數，回答：y是x的什么函數？并求出解析式．(2)要使得每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少？此時每日的銷售利潤是多少？10．在平面直角坐標系內，二次函數的圖象經過點和．(1)求這個二次函數的表達式；(2)求出二次函數的頂點坐標；(3)將該二次函數的圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得的圖象經過坐標原點，請在圖中直接畫出平移后的二次函數的大致圖象，并寫出平移后的圖象與軸的另一個交點的坐標．題組C培優拔尖練1．若A(，)，B(，)，C(1，)為二次函數圖象上的三點，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．2．如圖，點A是拋物線圖象在第一象限內的一個動點，且點A的橫坐標大于1，點E的坐標是（0，1），過點A作AB軸交拋物線于點B，過A、B作直線AE、BE分別交軸于點D、C，設陰影部分的面積為，點A的橫坐標為，則關于的函數關系式為（

）A． B． C． D．3．如圖，是二次函數y＝ax2＋bx＋c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（

）A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣14．已知二次函數的y與x的部分對應值如表：x－10234y50－4－30以下結論，①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；④若是拋物線上兩點，則，其中正確的是（

）A．①② B．②③④ C．①③ D．①②④5．拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．6．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：①且；②；③；④；⑤直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，則．其中正確的個數有（