第十三章軸對稱13.4課題學習最短路徑問題目標突破目標突破總結反思總結反思13.4課題學習最短路徑問題知|識|目|標1．通過觀察、歸納、操作等活動，掌握翻折法(軸對稱)解決最短路徑問題．2．通過觀察、歸納、操作等活動，掌握平移法解決最短路徑問題．13.4課題學習最短路徑問題目標突破目標一利用翻折法(軸對稱)解決最短路徑問題例1[教材問題1變式]如圖13－4－1，在銳角∠AOB內有一定點P，試在OA，OB上確定兩點C，D，使△PCD的周長最短．圖13－4－113.4課題學習最短路徑問題解：△PCD的周長等于PC＋CD＋PD，要使△PCD的周長最短，根據“兩點之間，線段最短”，只需使得PC＋CD＋PD的大小等于某兩點之間的距離，于是考慮作點P關于射線OA和OB的對稱點E，F，則△PCD的周長等于線段EF的長．作法：如圖，①作點P關于射線OA的對稱點E；②作點P關于射線OB的對稱點F；③連接EF，分別交OA，OB于點C，D.則C，D就是所要求作的點．13.4課題學習最短路徑問題證明：連接PC，PD，則PC＝EC，PD＝FD.在OA上任取異于點C的一點H，連接HE，HP，HD，則HE＝HP.∵△PHD的周長＝HP＋HD＋PD＝HE＋HD＋DF>ED＋DF＝EF，而△PCD的周長＝PC＋CD＋PD＝EC＋CD＋DF＝EF，∴△PCD的周長最短．13.4課題學習最短路徑問題【歸納總結】通過翻折法(軸對稱)將折線問題轉化為直線問題，構造“兩點之間，線段最短”的基本圖形，從而解決最短路徑問題．題型二利用平移法解決最短路徑問題13.4課題學習最短路徑問題例2[教材復習題13第15題變式]如圖13－4－6，荊州護城河在CC′處直角轉彎，河寬均為5米，從A處到達B處，須經兩座橋：DD′，EE′(橋寬不計)，設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，如何架橋可使ADD′E′EB的路程最短？圖13－4－613.4課題學習最短路徑問題[解析]

由于含有固定線段“橋”，導致不能ADD′E′EB通過軸對稱直接轉化為一條線段，常用的方法是構造平行四邊形，將問題轉化為平行四邊形的問題解答，這就是“造橋選址問題”．解：作AF⊥CM，且AF＝河寬，作BG⊥CN，且BG＝河寬，連接GF，與河岸相交于E′，D′.過D′作DD′⊥CM于D，過E′作E′E⊥CN于E，DD′，EE′即為橋的位置．13.4課題學習最短路徑問題證明：由作圖可知，AF∥DD′，AF＝DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD＝FD′，同理，BE＝GE′，由“兩點之間，線段最短”可知，GF最小．即當橋建于如圖13－4－5所示位置時，ADD′E′EB最短．13.4課題學習最短路徑問題【歸納總結】通過平移法將折線問題轉化為直線問題，構造“兩點之間，線段最短”的基本圖形，從而解決最短路徑問題．

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知識點最短路徑問題

13.4課題學習最短路徑問題總結反思最短路徑問題的理論根據：“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等．在解決最短路徑問題時，我們通常利用______、______等圖形變換把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑．軸對稱

平移

13.4課題學習最短路徑問題如圖13－4－7，在河的兩岸有A，B兩個村莊，A村已通上燃氣，燃氣公司打算將A村的管道再接到B村，應如何設計路線才能使管道最短？圖13－4－7圖13－4－813.4課題學習最短路徑問題解：如圖13－4－8，管道路線為AM→MN→NB.找出以上畫法的錯