上杭五中林清華22.3實際問題與二次函數（2）如何獲得最大利潤問題

學習目標掌握利潤問題中變量之間的二次函數關系，會運用二次函數的頂點坐標求出利潤的最大值（或最小值）．

學習重點

探究利用二次函數的最大值（或最小值）解決實際問題的方法．

在日常生活中存在著許許多多的與數學知識有關的實際問題。如繁華的商業城中很多人在買賣東西。

如果你去買商品，你會選買哪一家的？如果你是商場經理，如何定價才能使商場獲得最大利潤呢？問題一：某商店銷售服裝，現在的售價是為每件60元，每星期可賣出300件。已知商品的進價為每件40元，那么一周的利潤是多少？(2)這一周所得利潤為：

(1)賣一件可得利潤為：(3)你認為：利潤、售價、進價、銷量有什么關系？利潤=（售價-

進價）×銷量60–40=20（元）20×300=6000（元）分析：問題二：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出

300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期少賣出10件。已知商品的進價為每件40元，當售價漲多少時，每周可獲利潤6090元。（1）你能說出這個題中售價、進價、銷量嗎？（2）你能列出方程嗎？（不解答）分析：問題三：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出

300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期少賣出10件。已知商品的進價為每件40元，當商品的售價為多少元時，能使每周利潤最大？（1）這個題能用方程解嗎？為什么？那你還有什么方法嗎？你是怎么理解的？（2）函數中，什么是自變量，什么是因變量呢？（3）你能列出它們之間的函數關系嗎？（4）這里，自變量x的取值范圍是多少？為什么？（5）如何求函數最大值呢？分析：設每件漲價x元,每星期所獲利潤為y元.解:設每件漲價x元,每星期所獲利潤為y元.

根據題意，得:答：當x=5時,y

最大,也就是說,在漲價的情況下,漲價5元,

即定價65元時,利潤最大,最大利潤是6250元.

可以看出，這個函數的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數圖象的最高點，也就是說當x取頂點坐標的橫坐標5時，這個函數有最大值6250.305625060000xy解:設每件降價x元,所獲利潤為y元.根據題意得答:降價2.5元.即定價57.5元時,利潤最大,最大利潤是6125元.為什么？問題四：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出

300件，市場調查反映：如果商品每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，當售價為多少時，能使每周利潤最大？

已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件

60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如調整價格

，每漲價一元，每星期要少賣出10件；每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？P50頁探究21.當不改變價格時,每星期可獲利潤6000元。3.問題四：若降價,每件服裝降價2.5元時,即定價為57.5元時,所獲利潤最大,這時最大利潤為6125元。2.問題三：若漲價,每件服裝漲5元時.即定價為65元時,

獲得利潤最大,這時最大利潤為6250元。綜上所述,當每件服裝漲價5元時,獲利潤最大。1.某商店購進一批單價為20元的日用品,如果以單價30元銷售,那么半個月內可以售出400件.根據銷售經驗,提高單價會導致銷售量的減少,即銷售單價每提高1元,銷售量相應減少20件.售價提高多少元時,才能在半個月內獲得最大利潤?解：設售價提高x元時，半月內獲得的利潤為y元.則

y=(x+30-20)(400-20x)

=-20x2+200x+4000=-20(x–5)2+4500

∴當x=5時，y最大

=4500

答：當售價提高5元時，半月內可獲最大利潤4500元。課堂練習2.某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.若每個橙子市場售價約2元，問增種多少棵橙子樹，果園的總產值最高，果園的總產值最高約為多少？設果園增種x棵橙子樹,總產值為y元，那么果園共有(100+x)棵樹,平均每棵樹結(600－5x)個橙子y=2(100+x)(600－5x)解：=－10x2+200x+120000則答：增種10棵橙子樹，果園的總產值最高，總產值最高約為121000元。

3.某超市經銷一種銷售成本為每件40元的商品．據市場調查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件．設銷售單價定為x元(x≥50)，一周的銷售量為y件．(1)寫出y與x的函數關系式(標明x的取值范圍)(2)設一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數關系式，并確定當單價在什么范圍內變化時，利潤隨著單價的增大而增大？(3)在超市對該種商品投入不超過10000元的情況下，要使得一周銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？(2)設一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數關系式，并確定當單價在什么范圍內變化時，利潤隨著單價的增大而增大？不符合要求，舍去．符合要求．∴銷售單價應定為80元，才能使得一周銷售利潤達到8000元的同時，投入不超過10000元． 當x=60時，成本=當x=80時，成本=(3)在超市對該種商品投入不超過10000元的情況下，要使得一周銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？課堂小結：解決最大利潤問題的一般步驟是什么？老師提醒：

確定二次函數關系式后，應該寫出相應的自變量取值范圍，這對于最后定最值有指導意義。（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內，運用公式法或通