2024屆湖南省長沙市湖南廣益實驗中學中考四模數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．關于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數根，則A．m≤94B．m<942．若拋物線y＝x2﹣3x+c與y軸的交點為（0，2），則下列說法正確的是（）A．拋物線開口向下B．拋物線與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0）C．當x＝1時，y有最大值為0D．拋物線的對稱軸是直線x＝3．如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應滿足的條件是（）A． B． C． D．4．《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負數，若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣3℃表示氣溫為（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃5．觀察下面“品”字形中各數之間的規律，根據觀察到的規律得出a的值為（）A．23 B．75 C．77 D．1396．的值是A． B． C． D．7．如圖，點O′在第一象限，⊙O′與x軸相切于H點，與y軸相交于A（0，2），B（0，8），則點O′的坐標是（）A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）8．在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”算法是完全一樣的，而后面“六到九”的運算就改用手勢了．如計算8×9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，兩只手伸出手指數的和為7，未伸出手指數的積為2，則8×9=10×7+2=1．那么在計算6×7時，左、右手伸出的手指數應該分別為（）A．1，2 B．1，3C．4，2 D．4，39．如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數y1=kx+b（k、b是常數，且k≠0）與反比例函數y2=（c是常數，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，則不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜210．實數的倒數是（）A． B． C． D．11．4的平方根是（）A．16 B．2 C．±2 D．±12．根據總書記在“一帶一路”國際合作高峰論壇開幕式上的演講，中國將在未來3年向參與“一帶一路”建設的發展中國家和國際組織提供60000000000元人民幣援助，建設更多民生項目，其中數據60000000000用科學記數法表示為（）A．0.6×1010 B．0.6×1011 C．6×1010 D．6×1011二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩地的實際距離是______千米．14．一個不透明的袋子中裝有三個小球，它們除分別標有的數字1，3，5不同外，其他完全相同．從袋子中任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，則兩次摸出的球所標數字之和為8的概率是__________．15．如圖，ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以點C為旋轉中心順時針旋轉后得到ΔA′B′C′,且點A在A′B′上,則旋轉角為________________°.16．一組數據10，10，9，8，x的平均數是9，則這列數據的極差是_____．17．如圖，DA⊥CE于點A，CD∥AB，∠1=30°，則∠D=_____．18．如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個正多邊形的邊數是__________.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，在一個平臺遠處有一座古塔，小明在平臺底部的點C處測得古塔頂部B的仰角為60°，在平臺上的點E處測得古塔頂部的仰角為30°．已知平臺的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求古塔AB的高(結果保留根號)20．（6分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點M，點E在邊BC上，且∠DAE=∠DCB，聯結AE，AE與BD交于點F．（1）求證：；（2）連接DE，如果BF=3FM，求證：四邊形ABED是平行四邊形.21．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，點E、F分別是BC、AD的中點．（1）求證：≌；（2）當時，求四邊形AECF的面積．22．（8分）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD．∠B+∠ADC=180°，點E，F分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系.圖1圖2圖3(1)思路梳理將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線.易證△AFG，故EF，BE，DF之間的數量關系為；(2)類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點E，F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系，并給出證明.(3)聯想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°.若BD=1，EC=2，則DE的長為.23．（8分）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為米.若苗圃園的面積為72平方米，求；若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；24．（10分）隨著經濟的快速發展，環境問題越來越受到人們的關注，某校學生會為了解節能減排、垃圾分類知識的普及情況，隨機調查了部分學生，調查結果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調查結果繪制成下面兩個統計圖．（1）本次調查的學生共有人，估計該校1200名學生中“不了解”的人數是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機抽取兩人向全校做環保交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．25．（10分）某學校環保志愿者協會對該市城區的空氣質量進行調查，從全年365天中隨機抽取了80天的空氣質量指數（AQI）數據，繪制出三幅不完整的統計圖表，請根據圖表中提供的信息解答下列問題：AQI指數質量等級天數（天）0-50優m51-100良44101-150輕度污染n151-200中度污染4201-300重度污染2300以上嚴重污染2（1）統計表中m=，n=，扇形統計圖中，空氣質量等級為“良”的天數占%；（2）補全條形統計圖，并通過計算估計該市城區全年空氣質量等級為“優”和“良”的天數共多少？26．（12分）解方程式：-3=27．（12分）某小學為每個班級配備了一種可以加熱的飲水機，該飲水機的工作程序是：放滿水后，接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上升10℃，待加熱到100℃，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降，水溫y（℃）和通電時間x（min）成反比例關系，直至水溫降至室溫，飲水機再次自動加熱，重復上述過程．設某天水溫和室溫為20℃，接通電源后，水溫和時間的關系如下圖所示，回答下列問題：（1）分別求出當0≤x≤8和8＜x≤a時，y和x之間的關系式；（2）求出圖中a的值；（3）李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想再8：10上課前能喝到不超過40℃的開水，問他需要在什么時間段內接水．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、B【解題分析】試題分析：根據題意得△=32﹣4m＞0，解得m＜94故選B．考點：根的判別式．點睛:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b2-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．2、D【解題分析】

A、由a=1＞0，可得出拋物線開口向上，A選項錯誤；B、由拋物線與y軸的交點坐標可得出c值，進而可得出拋物線的解析式，令y=0求出x值，由此可得出拋物線與x軸的交點為（1，0）、（1，0），B選項錯誤；C、由拋物線開口向上，可得出y無最大值，C選項錯誤；D、由拋物線的解析式利用二次函數的性質，即可求出拋物線的對稱軸為直線x=-，D選項正確．綜上即可得出結論．【題目詳解】解：A、∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，A選項錯誤；B、∵拋物線y=x1-3x+c與y軸的交點為（0，1），∴c=1，∴拋物線的解析式為y=x1-3x+1．當y=0時，有x1-3x+1=0，解得：x1=1，x1=1，∴拋物線與x軸的交點為（1，0）、（1，0），B選項錯誤；C、∵拋物線開口向上，∴y無最大值，C選項錯誤；D、∵拋物線的解析式為y=x1-3x+1，∴拋物線的對稱軸為直線x=-=-=，D選項正確．故選D．【題目點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數的最值以及二次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數的性質及二次函數圖象上點的坐標特征逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．3、B【解題分析】

由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結論．【題目詳解】解：由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．【題目點撥】此題考查的是相似三角形的性質，根據相似三角形的定義列比例式是解決此題的關鍵．4、B【解題分析】試題分析：由題意知，“-”代表零下，因此-3℃表示氣溫為零下3℃.故選B.考點：負數的意義5、B【解題分析】

由圖可知：上邊的數與左邊的數的和正好等于右邊的數，上邊的數為連續的奇數，左邊的數為21，22，23，…26，由此可得a，b．【題目詳解】∵上邊的數為連續的奇數1，3，5，7，9，11，左邊的數為21，22，23，…，∴b=26=1．∵上邊的數與左邊的數的和正好等于右邊的數，∴a=11+1=2．故選B．【題目點撥】本題考查了數字變化規律，觀察出上邊的數與左邊的數的和正好等于右邊的數是解題的關鍵．6、D【解題分析】

根據特殊角三角函數值，可得答案．【題目詳解】解：，故選：D．【題目點撥】本題考查了特殊角三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵．7、D【解題分析】

過O'作O'C⊥AB于點C，過O'作O'D⊥x軸于點D，由切線的性質可求得O'D的長，則可得O'B的長，由垂徑定理可求得CB的長，在Rt△O'BC中，由勾股定理可求得O'C的長，從而可求得O'點坐標．【題目詳解】如圖，過O′作O′C⊥AB于點C，過O′作O′D⊥x軸于點D，連接O′B，∵O′為圓心，∴AC=BC，∵A(0,2),B(0,8)，∴AB=8?2=6，∴AC=BC=3，∴OC=8?3=5，∵⊙O′與x軸相切，∴O′D=O′B=OC=5，在Rt△O′BC中,由勾股定理可得O′C===4，∴P點坐標為(4,5)，故選：D.【題目點撥】本題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，解題的關鍵是掌握切線的性質和坐標計算.8、A【解題分析】試題分析：通過猜想得出數據，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和為3×10=30，30+4×3=42，故選A．點評：此題是定義新運算題型．通過閱讀規則，得出一般結論．解題關鍵是對號入座不要找錯對應關系．9、C【解題分析】【分析】一次函數y1=kx+b落在與反比例函數y2=圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍即為所求．【題目詳解】∵一次函數y1=kx+b（k、b是常數，且k≠0）與反比例函數y2=（c是常數，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故選C．【題目點撥】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用數形結合是解題的關鍵．10、D【解題分析】因為＝，所以的倒數是.故選D.11、C【解題分析】試題解析：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2，故選C．考點：平方根.12、C【解題分析】

解：將60000000000用科學記數法表示為：6×1．故選C．【題目點撥】本題考查科學記數法—表示較大的數，掌握科學計數法的一般形式是解題關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、【解題分析】

本題可根據比例線段進行求解.【題目詳解】解：因為在比例尺為1:50000的地圖上甲，乙兩地的距離12cm，所以，甲、乙的實際距離x滿足12:x=1:50000，即x=12=600000cm=6km.故答案為6.【題目點撥】本題主要考查比例尺和比例線段的相關知識.14、【解題分析】

根據題意列出表格或樹狀圖即可解答．【題目詳解】解：根據題意畫出樹狀圖如下：總共有9種情況，其中兩個數字之和為8的有2種情況，∴，故答案為：．【題目點撥】本題考查了概率的求解，解題的關鍵是畫出樹狀圖或列出表格，并熟記概率的計算公式．15、50度【解題分析】

由將△ACB繞點C順時針旋轉得到△A′B′C′，即可得△ACB≌△A′B′C′，則可得∠A'=∠BAC，△AA'C是等腰三角形，又由△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，即可求得∠A'、∠B'AB的度數，即可求得∠ACB'的度數，繼而求得∠B'CB的度數．【題目詳解】∵將△ACB繞點C順時針旋轉得到，∴△ACB≌，∴∠A′=∠BAC，AC=CA′，∴∠BAC=∠CAA′，∵△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=25°，∴∠BAC=90°?∠ABC=65°，∴∠BAC=∠CAA′=65°，∴∠B′AB=180°?65°?65°=50°，∴∠ACB′=180°?25°?50°?65°=40°，∴∠B′CB=90°?40°=50°.故答案為50.【題目點撥】此題考查了旋轉的性質、直角三角形的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．16、1【解題分析】

先根據平均數求出x，再根據極差定義可得答案．【題目詳解】由題意知=9，解得：x=8，∴這列數據的極差是10-8=1，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查平均數和極差，熟練掌握平均數的計算得出x的值是解題的關鍵．17、60°【解題分析】

先根據垂直的定義，得出∠BAD=60°，再根據平行線的性質，即可得出∠D的度數．【題目詳解】∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案為60°．【題目點撥】本題主要考查了平行線的性質以及垂線的定義，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．18、12.【解題分析】

根據正n邊形的中心角的度數為進行計算即可得到答案.【題目詳解】解：根據正n邊形的中心角的度數為，則n=360÷30=12，故這個正多邊形的邊數為12，故答案為：12.【題目點撥】本題考查的是正多邊形內角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關鍵.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、古塔AB的高為（10+2）米．【解題分析】試題分析：延長EF交AB于點G．利用AB表示出EG，AC．讓EG-AC=1即可求得AB長．試題解析：如圖，延長EF交AB于點G．設AB=x米，則BG=AB﹣2=（x﹣2）米．則EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG=（x﹣2），CA=AB÷tan∠ACB=x．則CD=EG﹣AC=（x﹣2）﹣x=1．解可得：x=10+2．答：古塔AB的高為（10+2）米．20、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）由AD∥BC可得出∠DAE=∠AEB，結合∠DCB=∠DAE可得出∠DCB=∠AEB，進而可得出AE∥DC、△AMF∽△CMD，根據相似三角形的性質可得出=，根據AD∥BC，可得出△AMD∽△CMB，根據相似三角形的性質可得出=，進而可得出=，即MD2=MF?MB；（2）設FM=a，則BF=3a，BM=4a．由（1）的結論可求出MD的長度，代入DF=DM+MF可得出DF的長度，由AD∥BC，可得出△AFD∽△△EFB，根據相似三角形的性質可得出AF=EF，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形ABED是平行四邊形．詳解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∵∠DCB=∠DAE，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴△AMF∽△CMD，∴=．∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴==，即MD2=MF?MB．（2）設FM=a，則BF=3a，BM=4a．由MD2=MF?MB，得：MD2=a?4a，∴MD=2a，∴DF=BF=3a．∵AD∥BC，∴△AFD∽△△EFB，∴==1，∴AF=EF，∴四邊形ABED是平行四邊形．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、平行線的性質以及矩形，解題的關鍵是：（1）利用相似三角形的性質找出=、=；（2）牢記“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”．21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據平行四邊形的性質得出AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，求出BE=DF，根據全等三角形的判定推出即可；

（2）求出△ABE是等邊三角形，求出高AH的長，再求出面積即可．【題目詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，，∵點E、F分別是BC、AD的中點，∴，，∴，在和中，∴≌（）；（2）作于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵點E、F分別是BC、AD的中點，，∴，，∴，，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵，∴四邊形AECF是菱形，∴，∵，∴，即是等邊三角形，，由勾股定理得：，∴四邊形AECF的面積是．【題目點撥】本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定，平行四邊形的性質和判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．22、（1）△AFE.EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由見解析；（3）【解題分析】試題分析：（1）先根據旋轉得：計算即點共線，再根據SAS證明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得結論EF=DF+DG=DF+AE；

（2）如圖2，同理作輔助線：把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，證明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF?DG=DF?BE;

（3）如圖3，同理作輔助線：把△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACG，證明△AED≌△AEG，得，先由勾股定理求的長，從而得結論．試題解析：(1)思路梳理：如圖1,把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，可使AB與AD重合，即AB=AD，由旋轉得：∠ADG=∠A=，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=+=，即點F.D.

G共線，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=，∵∠EAF=，∴∴∴在△AFE和△AFG中，∵∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF+DG=DF+AE；故答案為：△AFE，EF=DF+AE；(2)類比引申：如圖2，EF=DF?BE，理由是：把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，可使AB與AD重合，則G在DC上，由旋轉得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，∵∠BAD=，∴∠BAE+∠BAG=，∵∠EAF=，∴∠FAG=?=，∴∠EAF=∠FAG=，在△EAF和△GAF中，∵∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF?DG=DF?BE;(3)聯想拓展：如圖3,把△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，由旋轉得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，∵∠BAC=，AB=AC，∴∠B=∠ACB=，∴∠ACG=∠B=，∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=+=，∵EC=2，CG=BD=1，由勾股定理得：∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=，∴∠DAG=，∵∠BAD+∠EAC=，∴∠CAG+∠EAC==∠EAG，∴∠DAE=，∴∠DAE=∠EAG=，∵AE=AE，∴△AED≌△AEG，∴23、（1）2（2）當x=4時，y最小=88平方米【解題分析】（1）根據題意得方程解即可；（2）設苗圃園的面積為y，根據題意得到二次函數的解析式y=x（31-2x）=-2x2+31x，根據二次函數的性質求解即可.解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(31－2x)米．依題意可列方程x(31－2x)＝72，即x2－15x＋36＝1．解得x1＝3（舍去），x2＝2．(2)依題意，得8≤31－2x≤3．解得6≤x≤4．面積S＝x(31－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤4)．①當x＝時，S有最大值，S最大＝；②當x＝4時，S有最小值，S最小＝4×(31－22)＝88“點睛”此題考查了二次函數、一元二次不等式的實際應用問題，解題的關鍵是根據題意構建二次函數模型，然后根據二次函數的性質求解即可.24、（1）50，360；（2）．【解題分析】試題分析：（1）根據圖示，可由非常了解的人數和所占的百分比直接求解總人數，然后根據求出不了解的百分比估計即可；（2）根據題意畫出樹狀圖，然后求出總可能和“一男一女”的可能，再根據概率的意義求解即可.試題解析：（1）由餅圖可知“非常了解”為8%，由柱形圖可知（條形圖中可知）“非常了解”為4人，故本次調查的學生有（人）由餅圖可知：“不了解”的概率為，故1200名學生中“不了解”的人數為（人）（2）樹狀圖：由樹狀圖可知共有12種結果，抽到1男1女分別為共8種．∴考點：1、扇形統計圖，2、條形統計圖，3、概率25、(1)m=20,n=8；55;(2)答案見解析.【解題分析】

（1）由A占25%