要點梳理1.橢圓的定義〔1〕第一定義：在平面內到兩定點F1、F2的距離的和等于常數〔大于|F1F2|〕的點的軌跡叫.這兩定點叫做橢圓的，兩焦點間的距離叫做.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中a＞0,c＞0，且a，c為常數：〔1〕假設，那么集合P為橢圓；§8.1橢圓根底知識自主學習橢圓焦點焦距a＞c第八章圓錐曲線1整理ppt〔2〕假設，那么集合P為線段；〔3〕假設，那么集合P為空集.a=ca＜c2整理ppt3.橢圓的幾何性質標準方程圖形3整理ppt性質范圍-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|=2c離心率a,b,c的關系c2=a2-b2準線4整理ppt5整理ppt根底自測1.橢圓的長軸長是短軸長的2倍，那么橢圓的離心率等于 ()A.B.C.D.解析設長軸長、短軸長分別為2a、2b,那么2a=4b,D6整理ppt2.設P是橢圓上的點.假設F1，F2是橢圓的兩個焦點，那么|PF1|+|PF2|等于〔〕A.4B.5C.8D.10解析由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a=10.D7整理pptC8整理ppt4.橢圓C的短軸長為6，離心率為，那么橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為〔〕A.9 B.1C.1或9 D.以上都不對解析由題意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.C9整理ppt5.橢圓的兩個焦點為F1、F2，短軸的一個端點為A，且F1AF2是頂角為120°的等腰三角形，那么此橢圓的離心率為.解析由得∠AF1F2=30°，故cos30°=，從而e=.10整理ppt題型一橢圓的定義【例1】一動圓與圓O1：〔x+3)2+y2=1外切,與圓O2：〔x-3〕2+y2=81內切，試求動圓圓心的軌跡方程.兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓的半徑有關,據此可以找到動圓圓心滿足的條件.思維啟迪題型分類深度剖析11整理ppt解兩定圓的圓心和半徑分別為O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.設動圓圓心為M(x，y),半徑為R，那么由題設條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由橢圓的定義知：M在以O1、O2為焦點的橢圓上,且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故動圓圓心的軌跡方程為12整理ppt探究提高平面內一動點與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數2a，當2a>|F1F2|時,動點的軌跡是橢圓；當2a=|F1F2|時,動點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，軌跡不存在. 圓〔x+2〕2+y2=36的圓心為M，設A為圓上任一點，N〔2，0〕，線段AN的垂直平分線交MA于點P，那么動點P的軌跡是〔〕A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線知能遷移113整理ppt解析點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|=|PN|，又AM是圓的半徑，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.答案

B14整理ppt題型二橢圓的標準方程【例2】點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.思維啟迪設橢圓方程為根據題意求a,b得方程.15整理ppt解方法一設所求的橢圓方程為由條件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程為16整理ppt方法二設所求橢圓方程為兩個焦點分別為F1，F2.由題意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.在方程 中，令x=±c得|y|=,在方程中，令y=±c得|x|=,依題意有=3，∴b2=12.∴橢圓的方程為17整理ppt探究提高運用待定系數法求橢圓標準方程，即設法建立關于a、b的方程組，先定型、再定量，假設位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，由題目所給條件求出m、n即可.18整理ppt知能遷移2〔1〕橢圓以坐標軸為對稱軸,且長軸是短軸的3倍，并且過點P〔3，0〕,求橢圓的方程；〔2〕橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P1(，1)、P2(-，-)，求橢圓的方程.解〔1〕假設焦點在x軸上，設方程為(a＞b＞0).∵橢圓過P〔3，0〕，∴又2a=3×2b,∴b=1,方程為

19整理ppt假設焦點在y軸上，設方程為∵橢圓過點P〔3，0〕，∴ =1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程為∴所求橢圓的方程為b=3.20整理ppt〔2〕設橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵橢圓經過P1、P2點，∴P1、P2點坐標適合橢圓方程，那么 ①、②兩式聯立，解得∴所求橢圓方程為①②21整理ppt題型三橢圓的幾何性質【例3】F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2=60°.〔1〕求橢圓離心率的范圍；〔2〕求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關. 〔1〕在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|·|PF2|與a，c的關系，然后利用根本不等式找出不等關系，從而求出e的范圍；〔2〕利用 |PF1|·|PF2|sin60°可證.思維啟迪22整理ppt〔1〕解設橢圓方程為|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m2+n2=〔m+n〕2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn≤〔當且僅當m=n時取等號〕,∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.又0＜e＜1,∴e的取值范圍是23整理ppt〔2〕證明由〔1〕知mn=∴mnsin60°=即△PF1F2的面積只與短軸長有關.24整理ppt探究提高〔1〕橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的關系.〔2〕對△F1PF2的處理方法

定義式的平方余弦定理面積公式25整理ppt知能遷移3橢圓的長、短軸端點分別為A、B,從橢圓上一點M〔在x軸上方〕向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，∥.〔1〕求橢圓的離心率e；〔2〕設Q是橢圓上任意一點，F1、F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍.解〔1〕∵F1〔-c，0〕，那么xM=-c，yM=，∴kOM=-.∵kAB=-，∥，∴-=-，∴b=c，故e=26整理ppt〔2〕設|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，cos=當且僅當r1=r2時，cos=0,∴27整理ppt題型四直線與橢圓的位置關系【例4】〔12分〕橢圓C：的兩個焦點為F1，F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕假設直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程.28整理ppt 〔1〕可根據橢圓定義來求橢圓方程；〔2〕方法一：設斜率為k，表示出直線方程,然后與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系及中點坐標公式求解；方法二：設出A、B兩點坐標,代入橢圓方程,作差變形,利用中點坐標公式及斜率求解〔即點差法〕.思維啟迪29整理ppt解〔1〕因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. [2分]在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=， [4分]從而b2=a2-c2=4，所以橢圓C的方程為 [6分]解題示范30整理ppt〔2〕方法一設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).圓的方程為〔x+2〕2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標為〔-2，1〕，從而可設直線l的方程為：y=k(x+2)+1, [8分]代入橢圓C的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因為A，B關于點M對稱，所以 [10分]所以直線l的方程為y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.〔經檢驗，所求直線方程符合題意〕[12分]31整理ppt方法二圓的方程為〔x+2〕2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標為〔-2，1〕， [8分]設A，B的坐標分別為〔x1,y1〕,(x2,y2).由題意x1≠x2, ① ②由①-②得： ③因為A，B關于點M對稱，所以x1+x2=-4,y1+y2=2,32整理ppt代入③得即直線l的斜率為， [10分]所以直線l的方程為y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.〔經檢驗，所求直線方程符合題意〕.[12分]33整理ppt探究提高〔1〕直線方程與橢圓方程聯立,消元后得到一元二次方程，然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交、相切或相離.〔2〕消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進一步解題的根底.〔3〕假設圓錐曲線的弦的中點坐標,可設出弦的端點坐標,代入方程，用點差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要檢驗.34整理ppt知能遷移4假設F1、F2分別是橢圓〔a＞b＞0〕的左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2.〔1〕求出這個橢圓的方程；〔2〕是否存在過定點N〔0，2〕的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，使⊥〔其中O為坐標原點〕？假設存在，求出直線l的斜率k；假設不存在，說明理由.35整理ppt解〔1〕依題意，得2a=4，2c=2,所以a=2,c=,∴b=∴橢圓的方程為〔2〕顯然當直線的斜率不存在，即x=0時，不滿足條件.設l的方程為y=kx+2,由A、B是直線l與橢圓的兩個不同的交點，設A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由 消去y并整理，得36整理ppt〔1+4k2〕x2+16kx+12=0.∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0,解得k2＞. ①x1+x2=-,x1x2=∵⊥,∴·=0，∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x2+2k〔x1+x2〕+4=〔1+k2〕x1x2+2k〔x1+x2〕+437整理ppt∴k2=4.②由①②可知k=±2,所以，存在斜率k=±2的直線l符合題意.38整理ppt方法與技巧1.橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a+c,最小距離為a-c.2.過焦點弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最短的弦，而且它的長為.把這個弦叫橢圓的通徑.3.求橢圓離心率e時,只要求出a,b,c的一個齊次方程，再結合b2=a2-c2就可求得e(0＜e＜1).思想方法感悟提高39整理ppt4.從一焦點發出的光線，經過橢圓〔面〕的反射，反射光線必經過橢圓的另一焦點.5.過橢圓外一點求橢圓的切線,一般用判別式Δ=0求斜率，也可設切點后求導數〔斜率〕.6.求橢圓方程時，常用待定系數法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據是：〔1〕中心是否在原點，〔2〕對稱軸是否為坐標軸.40整理ppt失誤與防范1.求橢圓方程時，在建立坐標系時，應該盡可能以橢圓的對稱軸為坐標軸以便求得的方程為最簡方程——橢圓的標準方程.2.求兩曲線的交點坐標，只要把兩曲線的方程聯立求方程組的解,根據解可以判斷位置關系，假設方程組有解可求出交點坐標.3.注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數問題求解時，求函數的單調區間、最值時有重要意義.4.判斷橢圓標準方程的原那么為：長軸、短軸所在直線為坐標軸，中心為坐標原點.41整理ppt5.判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大小，假設x2的分母比y2的分母大，那么焦點在x軸上，假設x2的分母比y2的分母小，那么焦點在y軸上.6.注意橢圓的范圍，在設橢圓上點的坐標為P〔x，y〕時，那么|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.42整理ppt一、選擇題1.〔2021·上海春招，14〕橢圓=1，長軸在y軸上，假設焦距為4，那么m等于〔〕A.4B.5C.7D.8解析橢圓焦點在y軸上，∴a2=m-2，b2=10-m.又c=2，∴m-2-〔10-m〕=22=4.∴m=8.定時檢測D43整理ppt2.點M〔，0〕,橢圓=1與直線y=k(x+)交于點A、B,那么△ABM的周長為〔〕A.4B.8C.12D.16解析直線y=k(x+)過定點N(-,0),而M、N恰為橢圓的兩個焦點，由橢圓定義知△ABM的周長為4a=4×2=8.B44整理ppt3.假設以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1，那么橢圓長軸的最小值為〔〕A.1 B. C.2 D.2解析設橢圓 ，那么使三角形面積最大時，三角形在橢圓上的頂點為橢圓短軸端點，∴S=×2c×b=bc=1≤∴a2≥2.∴a≥.∴長軸長2a≥2，應選D.D45整理ppt4.〔2021·浙江文，6〕橢圓(a＞b＞0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.假設=2，那么橢圓的離心率是〔〕A. B. C. D.46整理ppt解析如圖，由于BF⊥x軸，故xB=-c,yB=,設P〔0,t〕,∵=2，∴〔-a,t〕=2∴a=2c,∴e=答案D47整理ppt5.F1，F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，假設△ABF2是等腰直角三角形，那么這個橢圓的離心率是〔〕A. B. C. D.解析∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|=|F1F2|，將x=-c代入橢圓方程從而即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1±,由e∈(0,1),得e=-1.C48整理ppt6.(2021·江西理,6)過橢圓的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，假設∠F1PF2=60°,那么橢圓的離心率為〔〕A. B. C. D.解析由題意知點P的坐標為∵∠F1PF2=60°,∴即2ac=b2=(a2-c2).∴e2+2e-=0,∴e=或e=-(舍去).B49整理ppt二、填空題7.〔2021·廣東理，11〕橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12,那么橢圓G的方程為.解析設橢圓的長半軸為a，由2a=12知a=6,又e==,故c=3，∴b2=a2-c2=36-27=9.∴橢圓標準方程為50整理ppt8.設橢圓〔m＞0,n＞0〕的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同，離心率為，那么此橢圓的標準方程為.解析拋物線y2=8x的焦點是〔2,0〕,∴橢圓的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=∴m=4,n2=12.從而橢圓的方程為51整理ppt9.B1、B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P,假設|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，那么的值是.解析由2bc=a2=b2+c2,∴b=c=設P〔x0，y0〕，那么x0=-c，|y0|=|PF1|.

52整理ppt三、解答題10.根據以下條件求橢圓的標準方程：〔1〕P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；〔2〕經過兩點A〔0，2〕和B解〔1〕設橢圓的標準方程是或53整理ppt那么由題意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程中令x=±c得|y|=在方程中令y=±c得|x|=依題意并結合圖形知=.∴b2=.即橢圓的標準方程為54整理ppt〔2〕設經過兩點A〔0，2〕，B的橢圓標準方程為mx2+ny2=1，