高中數學基本不等式教案設計高中數學基本不等式教案設計一教材分析本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀的好素材，所以基本不等式應重點研究。教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節學習體會數學來源于生活，提高學習數學的樂趣。課程目標分析依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。2、過程與目標：按照創設情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。教學重、難點分析重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。教法分析本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發誘導、講練結合的，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。教學準備多媒體課件、板書教學過程教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。具體過程安排如下：創設情景，提出問題;設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此，設置如下情境：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。二、抽象歸納：一般地，對于任意實數a，b，有，當且僅當a=b時，等號成立。[問]你能給出它的證明嗎?學生在黑板上板書。特別地，當a>0，b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么?設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.答案：。【歸納總結】如果a，b都是正數，那么，當且僅當a=b時，等號成立。我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數。三、理解升華：1、文字語言敘述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。2、聯想數列的知識理解基本不等式已知a，b是正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系?兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。3、符號語言敘述：若，則有，當且僅當a=b時，。[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：高中數學基本不等式教案設計二一、教材分析1、本節教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重點內容，在課本封面上就體現出來了(展示課本和參考書封面)。它是在學完“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究.在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值又是高考的。同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良好的思維品質。2、教學目標(1)知識目標：探索基本不等式的證明過程;會用基本不等式解決最值問題。(2)能力目標：培養學生觀察、試驗、歸納、判斷、猜想等思維能力。?(3)情感目標：培養學生嚴謹求實的科學態度，體會數與形的和諧統一，領略數學的應用價值，激發學生的學習興趣和勇于探索的精神。3、教學重點、難點根據課程標準制定如下的教學重點、難點重點：應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本不等式。難點：基本不等式的內涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值。二、教法說明本節課借助幾何畫板，使用多媒體輔助進行直觀演示.采用啟發式教學法創設問題情景，激發學生開始嘗試活動.運用生活中的實際例子，讓學生享受解決實際問題的樂趣.課堂上主要采取對比分析;讓學生邊議、邊評;組織學生學、思、練。通過師生和諧對話，使情感共鳴，讓學生的潛能、創造性最大限度發揮，使認知效益最大。讓學生愛學、樂學、會學、學會。三、學法指導為更好的貫徹課改精神，合理的對學生進行素質教育，在教學中，始終以學生主體，教師為主導.因此我在教學中讓學生從不同角度去觀察、分析，指導學生解決問題，感受知識的形成過程，培養學生數形結合的意識和能力，讓學生學會學習。四、教學設計◆運用2002年國際數學家大會會標引入◆運用分析法證明基本不等式◆不等式的幾何解釋◆基本不等式的應用1、運用2002年國際數學家大會會標引入如圖，這是在北京召開的第24屆國際數學家大會會標.會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。(展示風車)正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，設AE=a，BE=b，則正方形的面積為S=，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它們的面積之和是S’=_從圖形中易得，s≥s’，即問題1：它們有相等的情況嗎?何時相等?問題2：當a，b為任意實數時，上式還成立嗎?(學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理一般地，對于任意實數a、b，我們有當且僅當(重點強調)a=b時，等號成立(合情推理)問題3：你能給出它的證明嗎?(讓學生獨立證明)設計意圖(1)運用2002年國際數學家大會會標引入，能讓學生進一步體會中國數學的歷史悠久，感受數學與生活的聯系。(2)運用此圖標能較容易的觀察出面積之間的關系，引入基本不等式很直觀。(3)三個思考題為學生創造情景，逐層深入，強化理解.2、運用分析法證明基本不等式如果a>0，b>0，用和分別代替a，b。可以得到也可寫成(強調基本不等式成立的前提條件“正”)(演繹推理)問題4：你能用不等式的性質直接推導嗎?要證=1GB3①只要證=2GB3②要證②，只要證=3GB3③要證=3GB3③，只要證=4GB3④顯然，④是成立的.當且僅當a=b時，不等式中的等號成立.(強調基本不等式取等的條件“等”)設計意圖(1)證明過程課本上是以填空形式出現的，學生能夠獨立完成，這也能進一步培養學生的自學能力，符合課改精神;(2)證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學生對基本不等式的理解;(3)此種證明方法是“分析法”，在選修教材的《推理與證明》一章中會重點講解，此處有必要讓學生初步了解。3、不等式的幾何解釋如圖，AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a，CB=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連AD，BD，則CD=，半徑為問題5：你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?(學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解)設計意圖幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。4、基本不等式的應用例1.證明(學生自己證明)設計意圖這道例題很簡單，多數學生都會仿照課本上的分析思路重新證明，能夠練習“分析法”證明不等式的過程;學生能夠加深對基本不等式的理解，a和b不僅僅是一個字母，而是一個符號，它們可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一個多項式;此例不是課本例題，比課本例題簡單，這樣，循序漸進，有利于學生理解不等式的內例2：(1)把36寫成兩個正數的積，當兩個正數取什么值時，它們的和最小?(2)把18寫成兩個正數的和，當兩個正數取什么值時，它們的積最大?(讓學生分組合作、探究完成)高中數學基本不等式教案設計三課標要求知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等;過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式;情感目標：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣;識記理解應用綜合知識點一：基本不等式及其推導過程∨知識點二：基本不等式的應用∨目標設計1.通過從不同角度探索不等式的證明過程，使學生理解基本不等式及其等號成立的條件;2.掌握基本不等式解決最值問題，并理解運用基本不等式的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用。教學情境一：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。問題1：你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?分析：將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為。教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系。我們考慮4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為。由圖可知，即.當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。新知：若，