常用測量坐標系及其變換梁建昌主要內容一、坐標系統介紹二、坐標系轉換一、坐標系統（一）基本概念1、大地基準大地基準是建立國家大地坐標系統和推算國家大地控制網中各點大地坐標的基本依據(考橢球的大小、形狀及其定位、定向參數)，包括一組大地測量參數和一組起算數據。建立大地基準就是求定旋轉橢球的參數及其定向(橢球旋轉軸平行于地球的旋轉軸起始子午面平行于地球的起始子午面)和定位(旋轉橢轉中心與地球中心的相對關系)。2、大地測量參考系統

坐標參考系統：天球坐標系和地球坐標系。

天球坐標系用于研究天體和人造衛星的定位與運動。

地球坐標系用于研究地球上物體的定位與運動，是以旋轉橢球為參照體建立的坐標系統，分為大地坐標系和空間直角坐標系兩種形式。以大地水準面為參照面的高程系統稱為正高，以似大地水準面為參照面的高程系統稱為正常高。正常高Ｈ正常及正高Ｈ正與大地高有如下關系：

H=H正常+ζH=H正

+N3、高程參考系統4.大地測量參考框架大地測量參考框架是大地測量參考系統的具體實現，是通過大地測量手段確定的固定在地面上的控制網（點）所構建的，分為坐標參考框架、高程參考框架、重力參考框架。國家平面控制網是全國進行測量工作的平面位置的參考框架，國家平面控制網是按控制等級和施測精度分為一、二、三、四等網。目前提供使用的國家平面控制網含三角點、導線點共154348個。國家高程控制網是全國進行測量工作的高程參考框架，按控制等級和施測精度分為一、二、三、四等網，目前提供使用的1985國家高程系統共有水準點成果114041個，水準路線長度為4166191公里。國家重力基本網是確定我國重力加速度數值的參考框架，目前提供使用的2000國家重力基本網包括21個重力基準點和126個重力基本點。“2000國家GPS控制網”由國家測繪局布設的高精度GPSA、B級網，總參布設的GPS一、二級網，地震局、總參測繪局、科學院、國家測繪局共建的中國地殼運動觀測網組成，該控制網整合了上述三個大型的有重要影響力的GPS觀測網的成果，共2609個點，通過聯合處理將其歸于一個坐標參考框架，可滿足現代測量技術對地心坐標的需求，是我國新一代的地心坐標系統的基礎框架。

平面直角坐標系大地坐標坐標系空間直角系與地球固結在一起的坐標系（地球坐標系）不與地球固結在一起的坐標系（天球坐標系）（二）坐標系統的種類和各自優勢（三）大地坐標和空間直角坐標1.大地坐標和空間直角坐標概念（1）大地坐標和空間直角坐標的建立1）大地坐標系

P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構成的二面角叫做P點大地經度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示。PH若P點不在橢球面上，還要一個參數：大地高H來表示點位。它與正常高及正高的關系為：

大地坐標系是大地測量的基本坐標系，具有如下的優點:(1)它是整個橢球體上統一的坐標系，是全世界公用的最方便的坐標系統。經緯線是地形圖的基本線，所以在測圖及制圖中應用這種坐標系。

(2)它與同一點的天文坐標(天文經緯度)比較，可以確定該點的垂線偏差的大小。2）空間直角坐標系以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉軸為Z軸，構成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示（2）極移地軸相對于地球本身相對位置變化地球自轉軸存在相對于地球體自身內部結構的相對位置變化，從而導致極點在地球表面上的位置隨時間而變化，這種現象稱為極移。某一觀測瞬間地球極所在的位置稱為瞬時極，某段時間內地極的平均位置稱為平極。地球極點的變化，導致地面點的緯度發生變化。國際天文聯合會IAU和國際大地測量與地球物理聯合會IUGG在1967年于意大利共同召開的第32次討論會上，建議采用國際上5個緯度服務(ILS)站以1900～1905年的平均緯度所確定的平極作為基準點，通常稱為國際協議原點CIO(ConventionalInternationalOrigin)，它相對于1900～1905年平均歷元1903.0。（3）協議地球極、協議坐標系國際極移服務IPMS(InternationalPolarMotionService)和國際時間局BIH等機構分別用不同的方法得到地極原點，因而有不同的CIO,屬于BIH的有BIH1968.0,BIH1979.0,BIH1984.0等。與CIO相應的地球赤道面稱為平赤道面或協議赤道面。以協議地極CIP為指向點的地球坐標系稱為協議地球坐標系CTS(ConventionalTerrestrialSystem)，以瞬時極為指向點的地球坐標系稱為瞬時地球坐標系。在大地測量中采用的地心地固坐標系大多采用協議地極原點CIO為指向點，因而也是協議地球坐標系；一般情況下協議地球坐標系和地心地固坐標系代表相同的含義。

2.參心坐標系、地心坐標系（1）參心坐標系參心坐標系:以參考橢球為基準的坐標系參心坐標系還是地心坐標系均可分為空間直角坐標系和大地坐標系兩種,都是地固坐標系。建立（地球）參心坐標系，需選擇橢球參數和參進行考橢球的定位與定向：①選擇或求定橢球的幾何參數（長短半徑）；②確定橢球中心位置（定位）；③確定橢球短軸的指向（定向）；④建立大地原點。地心空間直角坐標系

原點O與地球質心重合，Z軸指向地球北極，X軸指向格林尼治平均子午面與地球赤道的交點，Y軸垂直于XOZ平面構成右手坐標系。地心大地坐標系

地球橢球的中心與地球質心重合，橢球面與大地水準面在全球范圍內最佳符合，橢球短軸與地球自轉軸重合（過地球質心并指向北極）。大地緯度、大地經度、大地高地球北極是地心地固坐標系的基準指向點，地球北極的變動將引起坐標軸方向的變化。（2）地心坐標系

建國初期，為了迅速開展我國的測繪事業，鑒于當時的實際情況，將我國一等鎖與原蘇聯遠東一等鎖相連接，然后以連接處呼瑪、吉拉寧、東寧基線網擴大邊端點的原蘇聯1942年普爾科沃坐標系的坐標為起算數據，平差我國東北及東部區一等鎖，這樣傳算過來的坐標系就定名為1954年北京坐標系。因此，P54可歸結為：

a．屬參心大地坐標系；

b．采用克拉索夫斯基橢球的兩個幾何參數；

c.大地原點在原蘇聯的普爾科沃；

d．采用多點定位法進行橢球定位；

e．高程基準為1956年青島驗潮站求出的黃海平均海水面；

f．高程異常以原蘇聯1955年大地水準面重新平差結果為起算數據。按我國天文水準路線推算而得。

3.常用坐標系介紹（1）1954年北京坐標系

C80是為了進行全國天文大地網整體平差而建立的。根據橢球定位的基本原理，在建立C80坐標系時有以下先決條件：

（1）大地原點在我國中部，具體地點是陜西省徑陽縣永樂鎮；

（2）C80坐標系是參心坐標系，橢球短軸Z軸平行于地球質心指向地極原點方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文臺子午面；X軸在大地起始子午面內與Z軸垂直指向經度0方向；Y軸與Z、X軸成右手坐標系；

（3）橢球參數采用IUG1975年大會推薦的參數

因而可得C80橢球兩個最常用的幾何參數為：

長軸：6378140±5（m）；扁率：1：298.257

（4）多點定位；橢球定位時按我國范圍內高程異常值平方和最小為原則求解參數

（5）大地高程以1956年青島驗潮站求出的黃海平均水面為基準

（2）1980年國家大地坐標系CGCS2000（ChinaGeodeticCoordinateSystem2000）國家2000大地坐標系是全球地心坐標系在我國的具體體現，其定義包括坐標系的原點、三個坐標軸的指向、尺度以及地球橢球的4個基本參數的定義。原點為包括海洋和大氣的整個地球的質量中心；Z軸由原點指向歷元2000.0的地球參考極的方向，該歷元的指向由國際時間局給定的歷元為1984.0的初始指向推算；X軸由原點指向格林尼治參考子午線與地球赤道面（歷元2000.0）的交點；Y軸與Z軸、X軸構成右手正交坐標系。采用廣義相對論意義下的尺度。（3）2000國家大地坐標系2000國家大地坐標系采用的地球橢球參數的數值為：長半軸a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常數GM＝3.986004418×1014m3s-2自轉角速度

ω＝7.292115×10-5rad·s-1

我國自2008年7月1日起啟用2000國家大地坐標系。短半徑b(m) 6356752.31414極曲率半徑c(m) 6399593.62586第一偏心率e 0.0818191910428第一偏心率平方e2 0.00669438002290第二偏心率 0.0820944381519第二偏心率平方2 0.006739496775481/4子午圈的長度Q(m) 10001965.7293橢球平均半徑R1(m) 6371008.77138相同表面積的球半徑R2(m) 6371007.18092相同體積的球半徑R3(m) 6371000.78997橢球的正常位U0(m2s-2) 62636851.7149動力形狀因子J2 0.001082629832258球諧系數J4 -0.00000237091126球諧系數J6 0.00000000608347球諧系數J8 -0.00000000001427正常重力平均值γ（伽） 9.7976432224緯度45度的正常重力值γ45°（伽） 9.8061977695美國國防部1984年世界大地坐標系是一個協議地球參考系CTS（ConventionalTerrestrialSystem）,其原點是地球的質心，Z軸指向BIH1984.0定義的協議地球極CTP（ConventionalTerrestrialPole）方向，X軸指向BIH1984.0零度子午面和CTP赤道的交點，Y軸和Z、X軸構成右手坐標系。WGS-84橢球采用國際大地測量與地球物理聯合會第17屆大會大地測量常數推薦值（4）WGS-84世界大地坐標系自1987年1月10日之后，GPS衛星星歷均采用WGS-84坐標系統。因此GPS網的測站坐標及測站之間的坐標差均屬于WGS-84系統。為了求得GPS測站點在地面坐標系（屬于參心坐標系）中的坐標，就必須進行坐標系的轉換。WGS-84橢球基準參數4個基準參數：長半軸a=6378137m地球引力常數（含大氣層）GM=3986005×108m3s-2正常化二階帶球諧系數C2.0=-484.16685×10-6地球自轉角速度ω=7292115×10-11rad/s20世紀60年代以來，美國和原蘇聯等國家利用衛星觀測等資料，開展了建立地心坐標系的工作。美國國防部曾先后建立過世界大地坐標系(WorldGeodeticSystem，簡稱為WGS)WGS-60，WGS-66和WGS-72，并于1984年開始，經過多年修正和完善，建立起更為精確的地心坐標系統，稱為WGS-84。

當測區面積小于100km2時，可不進行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨立的平面直角坐標系。起算坐標和起算方位角最好能與國家網聯測，如果聯測有困難可自行測定邊長和方位，而起始點坐標可假定。這種假定平面直角坐標系只限于某種工程建筑施工之用。（四）獨立平面直角坐標2023/11/28271

投影面：用測區中心點a的切平面作為投影平面.圖1-9）圖1-9圖1-101

坐標系原點O:一般選在測區的西南角，使測區內各點均處于第一象限，坐標均為正值。x軸:南北方向為縱軸，向北為正，向南為負；y軸:東西方向為橫軸，向東為正，向西為負。坐標系中象限按順時針方向編號，x軸與y軸互換。

在測量中常將點的平面直角坐標稱為點的平面位置。假定平面直角坐標系(地方獨立坐標系)的特點：1)投影面一般采用區域的平均高程面；2)投影的中央子午線一般采用過位于區域中心附近的子午線，或采用經度為整分或整度的子午線。3)原點的坐標一般加上某個整數，使整個區域中的坐標不出現負值，也有些城市如上海，其加常數為0。4)其高斯坐標所對應的橢球面應是與投影面相接近的區域性橢球面，而不是國家參考橢球面。（五）高斯平面直角坐標系1.什么是高斯平面直角坐標高斯投影是高斯在1820~1830年間，為解決德國漢諾威地區大地測量投影問題而提出的一種投影方法。1912年起，德國學者克呂格(Kruger)將高斯投影公式加以整理和擴充并推導出了實用計算公式。①用一個空心橢圓柱橫套在參考橢球外面，使橢圓柱與某一投影帶的中央子午線相切；②再將橢球面上這一帶的圖形按保角投影的原理投影到圓柱體面上；③然后將圓柱體沿著過南北極的母線切開，展開成為平面；④并在該平面上定義平面直角坐標系。2.為什么要投影和分帶（控制測量對地圖投影的要求）1)采用等角投影（又稱正形投影）2)長度和面積變形不大，并能用簡單公式計算由變形而引起的改正數。3)能很方便地按分帶進行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式和用表把各帶聯成整體。在三角測量中大量的角度觀測元素在投影前后保持不變，免除了大量投影計算工作;可以保證在有限的范圍內地圖上的圖形同橢球上原形保持相似，識圖、用圖很大方便。31(統一)6°帶:從首子午線(通過英國格林尼治天文臺的子午線)起，每隔經度6°劃分為一帶，自西向東將整個地球劃分為60個帶。帶號從首子午線開始，用阿拉伯數字表示，編號為1～60。

中央子午線：位于各投影帶中央的子午線，稱為各帶的中央子午線。則六度帶中央子午線的經度依次為3°,9°,15°,…,357°。任何六度帶的中央子午線經度與帶號關系為:L0=6N-3。反之，已知地面任意點的經度L，要求計算該點所在的統一6°帶編號的公式為N=INT(L/6)+1.例如：某點經度為東經118°，其帶號為20，其所在六度帶的中央子午線經度L=120

°。

3°帶:

自東經1°30′開始每隔經差3°劃分一帶,將地球共分120個帶，帶寬3°,編號為1～120;各帶的中央子午線的經度L0依次為3°,6°,…,360°。3.怎樣投影和分帶2023/11/28326°，3°投影帶3°帶帶號k與中央子午線經度的關系

L0′＝3n

（1-2）。我國經度:75°～135°

6°帶帶號:13～23帶

3°帶帶號:25～45帶不難看出，兩者之間無重疊帶號；3°帶的中央子午線經度有一半與6°帶中央子午線經度相同，另一半是6°分帶子午線經度。2023/11/2833

l

x軸——中央子午線經投影展開后是一條直線，其長度不變形。以此直線作為縱軸。赤道以北為正，赤道以南為負；

l

y軸——赤道經投影展開后是一條與中央子午線相正交的直線，將它作為橫軸。中央子午線以東為正，以西為負。

l

原點——兩軸線的交點作為O點。這樣，各帶就構成了獨立的平面直角坐標系，稱為高斯—克呂格平面直角坐標系。

高斯平面直角坐標系的建立高斯投影結果

(1)高斯投影坐標正算公式高斯投影必須滿足以下三個條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質，即正形投影條件。4.高斯投影坐標正反算第一類稱高斯投影正算公式，亦即由（B,L）求（x、y）;第二類稱高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B,L）。由①中央子午線投影后為直線可知：因為地球橢球體是一個旋轉橢球體，所以中央子午線東西兩側的投影必然對稱于中央子午線。為l的偶函數，為l的奇函數即：(8-41)因高斯投影是分帶投影，經差l一般不大于3°，l″/ρ″≈1/20是一個微小量，所以可將上式展開為經差l的冪級數:1.高斯投影坐標正算一般公式上式分別對q,l求偏導數：由，即正形投影條件可知：2.求一般公式中的各系數上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數應相等，即可見：是一種遞推公式，關鍵確定由②中央子午線投影后長度不變可知：

位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標x應該等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長，即：式中X為自赤道量起的子午線弧長。（1）求m0（2）求m1（3）求m2（4）求m3、m4、m5，……3.高斯投影坐標正算公式將各系數代入(1)略去η2l5及l6以上各項，得：此式，在經差小于3.5°時，精度為±0.1m(2)擴展到精度0.001m的公式：自赤道量起的到所求點的子午線弧長所求點的大地經度與該點所在帶的中央子午線的大地經度之差(2)高斯投影坐標反算公式投影方程①x坐標軸投影后為中央子午線,是投影的對稱軸；②x坐標軸投影后長度不變；③投影具有正形性質。即高斯面上的角度投影到橢球面上后角度沒有變形，仍然相等。投影函數φ1、φ2應滿足以下三個條件：

首先根據x計算縱坐標在橢球面上的垂足緯度Bf，接著按Bf計算(Bf-B)及經差l,最后得到反算公式的推導方法的基本思想：1.高斯投影坐標反算基本思想借助等量緯度2.高斯投影坐標反算基本公式c由于高斯投影區域不大，將(q,l)展開為y的冪級數。顧及到“X是投影的對稱軸”，q應是y的偶函數，l應是y的奇函數，因此3.（q-qf）、l正形投影第三條件求偏導代入整理下面的目標是它代入繼續還剩著前面提到的變換形式6.精度為0.0001″的高斯投影坐標反算公式將（8-85）、（8-86）代入(8-81)，得：垂足緯度。其值由子午線弧長計算公式反算求得(3)高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋①當B=0時，x=X=0，y則隨l的變化而變化。可見：赤道投影為一直線且為y軸。②當l=0時,則y=0,x=X。可見：中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。③當l=常數時，隨著B值增加，x值增大，y值減小；且當用-B代替B時，y值不變，而x值數值相等符號相反。可見：經線是凹向中央子午線的曲線，收斂于兩極。且對稱與中央子午線和赤道。④當B=常數時，隨著的l增加，x值和y值都增大；又當用-l代替l時，x值不變，而y值數值相等符號相反。可見：緯線是凸向赤道的曲線，中央子午線是投影對稱軸。⑤滿足正形投影條件，所以經線和緯線的投影是互相垂直的。⑥距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。1）位于兩個相鄰帶邊緣地區并跨越兩個投影帶的控制，為了能在同一帶內進行平差計算，計算前，必須先進行起始坐標統一化換算。(1)換帶的原因

一個帶的平面坐標換算到相鄰帶的平面坐標，簡稱為“鄰帶換算”。5.高斯投影坐標換帶2)在分界子午線附近測圖時，往往需要用到另一帶的三角點作為控制，因此必須將這些點的坐標換算到同一帶中；為實現兩相鄰帶地形圖的拼接和使用，在于45＇(或37.5＇)重疊地區的平面控制點需要具有相鄰帶的坐標值。3)當大比例尺(1:0000或更大)測圖時,特別是在工程測量中，要求采用3°帶、1.5°帶或任意帶，而國家控制點通常只有6°帶坐標,這時就產生了6°帶同3°帶(或1.5“帶、任意帶)之間的相互坐標換算問題。(2)應用高斯投影正、反算公式間接進行換帶計算平面坐標大地坐標平面坐標實質：把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標:

利用高斯投影的正反算公式，可以進行不同投影帶坐標的換帶計算。這種方法,理論上最簡明嚴密，精度最高，通用性最強。不僅適用于6°-6°帶，3°-3°帶以及6°-3°帶互相之間的鄰帶坐標換算，且適用于任意帶之間的坐標換算。雖計算量稍大，但由于計算機的普及和本法的通用性及計算的高精度，它自然便成為坐標鄰帶換算中最基本的方法。反算公式正算公式4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標x'，y'。算步驟：1.根據高斯投影坐標x,y，反算得緯度B和經度差l；2.由中央子午線的經度L0,求得經度L=L0+l；3.根據換帶后新的中央子午線經度L0‘

，計算相應的經差;算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點的平面直角坐標，，現要求計算該點在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標。計算步驟：根據,利用高斯反算公計算換算,，得到:，。采用已求得的,，顧及第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計算第Ⅱ帶的直角坐標,。為了檢核計算的正確性，要求每步都應進行往返計算二、坐標轉換1.平面坐標轉換兩個平面直角坐標系之間的相似轉換一般都包含四個原始轉換參數，即兩個平移參數(△x，△y)，一個旋轉參數α和一個尺度參數m。常見的轉換過程有兩個：先旋轉、再平移、最后統一尺度；先平移、再旋轉、最后統一尺度。數學模型：令：得：例：曲線測量中兩個切線坐標系的坐標統一換算

一個曲線有兩個切線坐標系，要在一個置鏡點用極坐標法測設整個曲線，需要將另半個曲線在HZ點切線坐標系下的x′、y′的坐標轉換為ZH坐標系下的坐標x、y。

當P點位于橢球面上時：2.大地坐標和空間直角