第07講拓展一：中點弦問題一、知識點歸納知識點01：相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知識點02：點差法：設直線和曲線的兩個交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入橢圓方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；將兩式相減，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；最后整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設直線和曲線的兩個交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；將兩式相減，可得SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期中）過點SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且點M平分弦SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，①-②得SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0故選：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谀?）求過點SKIPIF1<0，與雙曲線SKIPIF1<0離心率相等的雙曲線的標準方程.（2）已知雙曲線SKIPIF1<0，求過點SKIPIF1<0且被點SKIPIF1<0平分的弦SKIPIF1<0所在直線的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】（1）SKIPIF1<0雙曲線過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求雙曲線的焦點在SKIPIF1<0軸上，又所求雙曲線離心率與雙曲線SKIPIF1<0離心率相同，SKIPIF1<0可設其方程為：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入雙曲線方程得：SKIPIF1<0，則所求雙曲線標準方程為：SKIPIF1<0.（2）方法一：由題意知：所求直線的斜率存在，可設其方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，符合題意；SKIPIF1<0所求直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；方法二：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在雙曲線上，SKIPIF1<0，兩式作差得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經檢驗：該直線SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0所求直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·四川·高二統考期末）已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點.(1)若直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且傾斜角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且弦SKIPIF1<0恰被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0所在直線的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，又因直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的斜率為4，所以直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得直線的斜率為SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，經檢驗此時SKIPIF1<0與雙曲線有兩個交點.故選：A【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯考開學考試）已知橢圓SKIPIF1<0的長軸比短軸長2，橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．．又橢圓SKIPIF1<0的長軸比短軸長2，所以SKIPIF1<0，聯立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）顯然點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0內，設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，兩個方程相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）

易知直線SKIPIF1<0的斜率存在，設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0兩式相減得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0垂直于動直線SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為等邊三角形時，其面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設SKIPIF1<0為原點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，且與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，試問：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0為等邊三角形時，其面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0和拋物線的定義可知，SKIPIF1<0落在準線上，即SKIPIF1<0，設準線和SKIPIF1<0軸交點為SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）假設存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0線為段SKIPIF1<0的中點，設SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0三點共線，滿足SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，綜上，存在SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點恒成立，SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，且C的一條漸近線經過點SKIPIF1<0.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點SKIPIF1<0的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：因為雙曲線C的右焦點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因為雙曲線C的一條漸近線經過點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線C的標準方程為SKIPIF1<0.（2）解：假設存在符合條件的直線SKIPIF1<0，易知直線l的斜率存在，設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，把直線SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，該方程沒有實根，所以假設不成立，即不存在過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與C交于SKIPIF1<0兩點，使得線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個焦點到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經過點SKIPIF1<0且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；SKIPIF1<0.【詳解】（1）雙曲線SKIPIF1<0的漸近線為SKIPIF1<0，因為雙曲線的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又焦點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0（2）假設存在，由題意知：直線的斜率存在，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，經檢驗直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有兩個交點，滿足條件，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.題型03求弦中點的軌跡方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知曲線SKIPIF1<0上一動點SKIPIF1<0到兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)動弦SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的軌跡方程；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；【詳解】（1）因為動點SKIPIF1<0到兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，設SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的斜率存在且不為0時，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓方程中得：SKIPIF1<0兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0的斜率不存在或為0時，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，也滿足SKIPIF1<0；所以點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0；綜上，曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作一條直線交拋物線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試求弦SKIPIF1<0的中點軌跡方程.【答案】SKIPIF1<0.【詳解】方法1：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0兩式相減，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0斜率不存在，即SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，適合上式，故所求軌跡方程為SKIPIF1<0.方法2：當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0消去參數SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，即SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，適合上式，故所求軌跡方程為SKIPIF1<0.【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0所在直線過點SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0的軌跡方程.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，則直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0滿足上述方程，故點SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0.【變式2】（2022·全國·高三專題練習）橢圓SKIPIF1<0，則該橢圓所有斜率為SKIPIF1<0的弦的中點的軌跡方程為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】設斜率為SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，與橢圓的交點為SKIPIF1<0，設中點坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于在橢圓內部，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0直線與橢圓相切，此時由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所求得軌跡方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．題型04確定參數的取值范圍【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，A為橢圓的下頂點，設橢圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于不同的兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題設，聯立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題設知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又由題意知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，把②代入①得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0和橢圓交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為坐標原點，求線段SKIPIF1<0長度的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由橢圓的定義知，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由離心率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，由①?②可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將條件SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，帶入上式可得點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0長度的取值范圍為SKIPIF1<0．【變式1】（2023·天津·?？寄M預測）已知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點的橢圓，點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在第一象限的交點，且SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于A、B兩點，若AB的中點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，求直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【詳解】（1）設橢圓方程為SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用拋物線的定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由橢圓定義，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0；（2）設直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，(當SKIPIF1<0時,弦中點為原點,但原點并不在SKIPIF1<0上,同樣SKIPIF1<0弦中點為原點，不適合題意)與SKIPIF1<0聯立，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，由韋達定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，②將②代入①得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為SKIPIF1<0，且離心率SKIPIF1<0.（1）求橢圓的方程；（2）直線SKIPIF1<0（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點SKIPIF1<0，且線段SKIPIF1<0中點的橫坐標為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0傾斜角的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直線SKIPIF1<0傾斜角的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【詳解】（1）設橢圓方程為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0；（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為線段SKIPIF1<0中點的橫坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，把②代入①整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0傾斜角的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．題型05定值問題【典例1】（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0被橢圓SKIPIF1<0截得的線段長為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0與坐標軸不垂直的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為垂足.問：是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的長為定值？若存在，求點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，定點SKIPIF1<0.【詳解】（1）由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓SKIPIF1<0上，所以存在定點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的長為定值SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？奸_學考試）已知雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的漸近線方程為SKIPIF1<0，焦點到漸近線的距離為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線SKIPIF1<0交AB于SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為定值，若存在，求出圓SKIPIF1<0的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，定圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【詳解】（1）設雙曲線的右焦點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到漸近線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又漸近線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，AB的中點為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0中點的橫坐標為2可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF