目錄TOC\o"1-3"\h\u7655目錄 -1-21073〔一〕找規律 -2-19954① 數列中的規律 -2-4837② 圖形中的規律 -3-21818〔二〕數字謎 -6-28836① 橫式字謎 -6-30039②豎式字謎 -9-10198〔三〕定義新運算 -12-15937〔四〕雞兔同籠 -14-25147〔五〕行程問題 -16-11728① 追擊及遇問題 -17-7414② 火車過橋 -19-12420〔六〕植樹問題 -21-3790〔七〕有趣的數陣圖 -24-13631〔八〕有趣的數陣圖練習 -27-6509〔九〕枚舉法 -29-21524〔十〕邏輯推理 -32-25978〔十一〕抽屜原理 -34-18530〔十二〕倒推法的妙用 -36-2257〔十三〕火柴棍游戲 -39-16578① 擺圖形游戲 -39-20255②移動火柴，變換圖形游戲 -40-23463③ 去掉火柴，變換圖形游戲 -41-16551〔十四〕巧求面積習題 -42-7568〔十五〕方程式解應用題 -43-8199〔十六〕移多補少平均數 -45-22081〔十七〕一筆畫 -46-找規律觀察是解決問題的根據。通過觀察，得以揭示出事物的開展和變化規律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規律：1．根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數；2．根據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數；3．要善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規律；4．數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規律都可以認為是正確的。① 數列中的規律一、例題與方法指導例1： 先找出以下數排列的規律，并根據規律在括號里填上適當的數。1，4，7，10，〔〕，16，19思路導航：在這列數中，相鄰的兩個數的差都是3，即每一個數加上3都等于后面的數。根據這一規律，括號里應填的數為：10+3=13或16－3=13像上面按照一定的順序排列的一串數叫做數列。例2： 先找出以下數排列的規律，然后在括號里填上適當的數。1，2，4，7，〔〕，16，22思路導航：在這列數中，前4個數每相鄰的兩個數的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數少4，括號里應填：7+4=11。經驗證，所填的數是正確的。應填的數為：7+4=11或16-5=11例3： 先找出規律，然后在括號里填上適當的數。23，4，20，6，17，8，〔〕，〔〕，11，12思路導航：在這列數中，第一個數減去3的差是第三個數，第二個數加上2的和是第四個數，第三個數減去3的差是第五個數，第四個數加上2的和是第六個數……依此規律，8后面的一個數為：17-3=14，11前面的數為：8+2=10穩固訓練1. 先找出以下各列數的排列規律，然后在括號里填上適當的數?！?〕2，6，10，14，〔〕，22，26〔2〕3，6，9，12，〔〕，18，21〔3〕33，28，23，〔〕，13，〔〕，3〔4〕55，49，43，〔〕，31，〔〕，19〔5〕3，6，12，〔〕，48，〔〕，192〔6〕2，6，18，〔〕，162，〔〕〔7〕128，64，32，〔〕，8，〔〕，2〔8〕19，3，17，3，15，3，〔〕，〔〕，11，32. 先找出以下數排列的規律，然后在括號里填上適當的數。〔1〕10，11，13，16，20，〔〕，31〔2〕1，4，9，16，25，〔〕，49，64〔3〕3，2，5，2，7，2，〔〕，〔〕，11，2〔4〕53，44，36，29，〔〕，18，〔〕，11，9，8〔5〕81，64，49，36，〔〕，16，〔〕，4，1，0〔6〕28，1，26，1，24，1，〔〕，〔〕，20，1〔7〕30，2，26，2，22，2，〔〕，〔〕，14，2〔8〕1，6，4，8，7，10，〔〕，〔〕，13，14拓展提升先找出規律，然后在括號里填上適當的數。〔1〕1，6，5，10，9，14，13，〔〕，〔〕〔2〕13，2，15，4，17，6，〔〕，〔〕〔3〕3，29，4，28，6，26，9，23，〔〕，〔〕，18，14〔4〕21，2，19，5，17，8，〔〕，〔〕〔5〕32，20，29，18，26，16，〔〕，〔〕，20，12〔6〕2，9，6，10，18，11，54，〔〕，〔〕，13，486〔7〕1，5，2，8，4，11，8，14，〔〕，〔〕〔8〕320，1，160，3，80，9，40，27，〔〕，〔〕② 圖形中的規律我們通常會碰到一些圖形，它們在某一方面，比方顏色，形狀，大小，結構，位置或繁難等有些共同的特征或變化規律，你能通過觀察找規律，并根據規律推斷出結果嗎？一、例題與方法指導例1. 下面哪個圖形和其他幾個不一樣，你能找出來嗎？思路導航：題中幾個圖形的共同特征是：先連接各邊中點，組成一個復合圖形。所不同的是，B圖形是一個三角形，而其他幾個圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個不一樣。例2. 找出下組圖形中不同的項。思路導航：題中只有D圖形不是由A翻轉過來的，其他圖形都是在同一個平面內通過把A圖形旋轉而得到的。故不同的選項應該為D例3. 在下面圖形中找出一個與眾不同的.(1)(2)(3)(4)(5)思路導航：很容易看出題目圖中(1)逆時針旋轉就是(4),但是這樣一來,(2)、(3)、(5)都與它們不同了.題目上要求找出一個.所以放棄這種想法.圖(2)順時針旋轉,且大、小兩個矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與(3)的變化規律也是這樣:順時針旋轉,大小兩局部顏色互換.因此(1)與(3)配對,(2)與(5)配對.解:與眾不同的是題目圖中的(4).例4.依照下面圖中所給圖形的變化規律,在空格中填圖.思路導航：我們分花盆、花莖、花葉、花朵四個局部逐步觀察.(1)花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成,所以第三行所缺的形狀便是應填的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成,圖中第三行已有白、灰二色，所以應填的花盆為黑色(如以下圖(1));(2)花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀,方向向右(如以下圖(2));(3)花葉:花葉數量為兩朵,方向是向左、右平展(如以下圖(3));(4)花朵:形狀為圓形(如以下圖(4)).(1)(2)(3)(4)解:依照所給圖形的變化規律,空格中應填的圖形如圖(4).穩固訓練按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規律，在帶“?〞的空格處應畫什么樣的圖形? 2. 請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規律填出空白處的圖形。按順序觀察以下圖中圖形的變化規律，并在“?〞處填上適宜的圖形. 4. 以下圖中的圖形是按一定規律排列的，請仔細觀察，并在“?〞處填上適當的圖形.數字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭〞〔打一城市名〕。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中〞指什么？“天〞。這個地名第1個字可能是天?！按a頭〞指什么呢？碼頭又稱渡口，聯系這個地名開頭是“天〞字，容易想到“天津〞這個地名，而“津〞正好又是“渡口〞的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算〞，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法識別，需要運用四那么運算各局部之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，把算式復原?！跋x食算〞主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用□、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字，相同的數字或字母表示同一個數字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數學里面，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。① 橫式字謎例題與方法指導例1□，□8，□97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這3個數的平均數是150。那么所填的3個數字之和是多少？思路導航：150*3-8-97-5=340

所以3個數之和為3+4+5=12。例2在以下算式的□中填上適當的數字，使得等式成立：

〔1〕6□□4÷56=□0□，

〔2〕7□□8÷37=□1□，

〔3〕3□□3÷2□=□17，

〔4〕8□□□÷58=□□6。思路導航：〔1〕6104/56=109〔2〕7548/37=204

〔3〕3393/29=117

〔4〕8468/58=146例3在算式40796÷□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數。思路導航：40796/102=399...98。例4我學數學樂×我學數學樂=數數數學數數學學數學

在上面的乘法算式中，“我、學、數、樂〞分別代表的4個不同的數字。如果“樂〞代表9，那么“我數學〞代表的三位數是多少？

思路導航：學=1，我=8，數=6，81619*81619=6661661161例5□÷〔□÷□÷□〕=24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的數比右邊的數小，并且等式成立。思路導航：這樣，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

當a=1時，有6*8/2=24，8*9/3=24；

當a=2時，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1÷〔2÷6÷8〕=24，1÷〔3÷8÷9〕=24，2÷〔3÷4÷9〕=24，2÷〔4÷6÷8〕=24，2÷〔6÷8÷9〕=24。例6①□×□=5□；②12+□－□=□，把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這里有3個數字已經填好。

訓練穩固1.迎迎×春春=杯迎迎杯，數數×學學=數賽賽數，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。如果這3個等式都成立，那么，“迎+春+杯+數+學+賽〞等于多少？迎+春×春=迎春，〔迎+杯〕×〔迎+杯〕=迎杯

在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。那么“迎+春+杯〞等于多少？拓展提升1.在以下各式的□中分別填入相同的兩位數：(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。將3～9中的數填入以下各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。3.在以下各式的□中填入適宜的數字：(1)448÷□□=□； (2)2822÷□□=□□；(3)13×□□=4□6。在以下各式的□中填入適宜的數：(1)□÷32＝8……31； (2)573÷32＝□……29；(3)4837÷□＝74……27。②豎式字謎例題與方法指導例1在圖4-1所示的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字．那么“喜歡〞這兩個漢字所代表的兩位數是多少？分析：首先看個位，可以得到“歡〞是0或5，但是“歡〞是第二個數的十位，所以“歡〞不能是0，只能是5。再看十位，“歡〞是5，加上個位有進位1，那么，加起來后得到的“人〞就應該是偶數，因為結果的百位也是“人〞，所以“人〞只能是2；由此可知，“喜〞等于8。所以，“喜歡〞這兩個漢字所代表的兩位數就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字．如果：巧+解+數+字+謎=30，那么“數字謎〞所代表的三位數是多少？分析：還是先看個位，5個“謎〞相加的結果個位還是等于“謎〞，“謎〞必定是5〔0顯然可以排出〕；接著看十位，四個“字〞相加再加上進位2，結果尾數還是“字〞，那說明“字〞只能是6；再看百位，三個“數〞相加再加上進位2，結果尾數還是“數〞，“數〞可能是4或9；再看千位，〔1〕如果“數〞為4，兩個“解〞相加再加上進位1，結果尾數還是“解〞，那說明“解〞只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧〞等于6與“字〞等于6重復，不能；〔2〕如果“數〞為9，兩個“解〞相加再加上進位2，結果尾數還是“解〞，那說明“解〞只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“數字謎〞代表的三位數是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字．請把這個豎式翻譯成數字算式．

分析：首先萬位上“華〞=1；再看千位，“香〞只能是8或9，那么“人〞就相應的只能是0或1。但是“華〞=1，所以，“人〞就是0；再看百位，“人〞=0，那么，十位上必須有進位，否那么“港〞+“人〞還是“港〞。由此可知“回〞比“港〞大1，這樣就說明“港〞不是9，百位向千位也沒有進位。于是可以確定“香〞等于9的；再看十位，“回〞+“愛〞=“港〞要有進位的，而“回〞比“港〞大1，那么“愛〞就等于8；同時，個位必須有進位；再看個位，兩數相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港〞=5，“回〞=6，“歸〞=7。這樣，整個算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個加法豎式，其中E，F，I，N，O，RS，T，X，Y分別表示從0到9的不同數字，且F，S不等于零．那么這個算式的結果是多少？

分析：先看個位和十位，N應為0，E應為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因為N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個數，無法滿足S、F是兩個連續數的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結果是31486。訓練穩固1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數字，不同的字母代表不同的數字．那么D+G等于多少？2.王老師家的號碼是一個七位數，把它前四位組成的數與后三位組成的數相加得9063，把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529．求王老師家的號碼．3.將一個四位數的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數．如果新數比原數大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數中，原數最大是多少？拓展提升1.圖4-6所示的乘法豎式成立．那么ABCDE是多少？

2.某個自然數的個位數字是4，將這個4移到左邊首位數字的前面，所構成的新數恰好是原數的4倍．問原數最小是多少？3.在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字．那么符合題意的數“迎春杯競賽贊〞是多少？

定義新運算定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。它的符號不同于課本上明確定義或已經約定的符號，例如“+、-、×、÷、、>、<〞等。表示運算意義的表達式，通常是使用四那么運算符號，例如a☆b=3a-3b，新運算使用的符號是☆，而等號右邊表示新運算意義的那么是四那么運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關鍵是要確切理解新運算的意義，嚴格按照規定的法那么進行運算。如果沒有給出用字母表示的規那么，那么應通過給出的具體的數字表達式，先求出表示定義規那么的一般表達式，方可進行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四那么運算中的運算律和運算性質，所以，不能盲目地運用定律和運算性質解題。例題與方法指導例1. 設ab都表示數，規定a△b表示a的4倍減去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,試計算5△6，6△5。解5△6-5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9說明例1定義的△沒有交換律，計算中不得將△前后的數交換。例2. 對于兩個數a、b,規定a☆b表示3×a+2×b,試計算〔5☆6〕☆7，5☆〔6☆7〕。思路導航：先做括號內的運算。解〔5☆6〕☆7=〔5×3+6×2〕☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆〔6☆7〕=5☆〔6×3+7×2〕=5☆32=5×3+32×2=79說明此題定義的運算不滿足結合律。這是與常規的運算有區別的。例3. 2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，對自然數a、b，a△b表示a×(a+1)×…〔a+b-1〕.計算〔6△3〕-〔5△2〕。思路導航：原式=6×7--5×6=336-30規定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+〔a+b-1〕,其中a,b表示自然數。例4. 求1△100的值。x△10=75,求x.思路導航：〔1〕原式=1+2+3+…+100=〔1+100〕×100÷2=5050〔2〕原式即x+(x+1)+(x+2)+…+〔X+9〕=75,所以10X+(1+2+3+…+9)=7510x+45=7510x=30x=3穩固訓練1. 假設對所有b,a△b=a×x,x是一個與b無關的常數；a☆b=(a+b)÷2,且〔1△3〕☆3=1△〔3☆3〕。求〔1△4〕☆2的值。如果規定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。能力提升雞兔同籠雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，雞與兔的總頭數以及雞與兔的總足數，求雞和兔各是多少只的應用題。這種類型題是古代趣題，在現實生活和生產中應用廣泛，有著十分重要的使用價值。雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數和實際上的足數和、足數差，然后推算出雞和兔的只數。計算時的主要數量關系是：1.如果假定全部是兔，那么雞的只數=〔每只兔的足數×總頭數－總足數〕÷〔每一只雞與兔足數的差〕簡單理解就是：雞的只數=〔4×總頭數－總足數〕÷2兔的只數=總頭數－雞的只數2.如果假定全部是雞，那么兔的只數=〔總足數－每只雞的足數×總頭數〕÷〔每一只雞與兔足數的差〕簡單寫就是兔的只數=〔總足數－2×總頭數〕÷2雞的只數=總頭數－兔的只數例題與方法指導例1.雞兔同籠，共有100個頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？思路導航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數就是100×2=200〔只〕，但比實際320只腳要少320－200=120〔只〕，為什么會少了120只腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應該有120÷2=60〔只〕。解法一： 解法二：2×100=200〔只〕 4×100=400〔只〕320－200=120〔只〕 400－320=80〔只〕120÷2=60〔只〕 80÷2=40〔只〕100－60=40〔只〕 100－40=60〔只〕答：雞有40只，兔有60只。例2.5元紙幣和2元紙幣總張數是200張，它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少張？思路導航：〔1〕假設200張紙幣完全是2元，共值：2×200=400〔元〕〔2〕比實際少：940－400=540〔元〕〔3〕2元換成5元，每張增加：5－2=3〔元〕〔4〕5元紙幣有：540÷3=180〔張〕〔5〕2元紙幣有：200－180=20〔張〕答：有180張5元、20張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數共176只，雞、兔各多少只？思路導航：假設去掉多的25只雞，那么一共去掉2×25=50〔只〕腳，那么176－50=126〔只〕腳是雞和兔一樣多的腳的總數量，而一對雞兔共有2＋4=6〔只〕腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2×25=50〔只〕176－50=126〔只〕2＋4=6〔只〕126÷6=21〔對〕‥‥‥雞、兔各21只21+25=46〔只〕‥‥‥雞的只數答：雞有46只，兔有21只。穩固訓練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數比兔的腳數多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？拓展提升雞兔共100只，雞的腳數比兔少40只，雞兔各多少只？46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？行程問題行程問題是小學奧數中變化最多的一個專題，不管在奧數競賽中還是在“小升初〞的升學考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數車、獵狗追兔、環形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關系〞：

這三個量是：路程(s)、速度(v)、時間(t)

三個關系：1.簡單行程：路程=速度×時間

2.相遇問題：路程和=速度和×時間

3.追擊問題：路程差=速度差×時間

牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關系，就會發現解決行程問題還是有很多方法可循的。① 追擊及遇問題例題與方法指導例1. 有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？思路導航：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘〞的時間。

第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為〔40+36〕×3=228〔米〕第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228÷〔38-36〕=114〔分鐘〕

第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周長為〔40+38〕×114=8892〔米〕

我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。 例2. 東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時25千米的速度從東到西地，1.5小時后，乙車從西地出發，再經過3小時兩車還相距15千米。乙車每小時行多少千米？思路導航：從圖中可以看出，要求乙車每小時行多少千米，關鍵要知道乙車已經行了多少路程和行這段路程所用的時間。解：〔1〕甲車一共行多少小時？1.5+3=4.5〔小時〕〔2〕甲車一共行多少千米路程？25×4.5=112.5〔千米〕〔3〕乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105〔千米〕〔4〕乙車每小時行多少千米？(105-15)÷3=30〔千米〕答：乙車每小時行30千米。 例3. 兄妹二人同時從家里出發到學校去，家與學校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出發到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學校有多少米？思路導航：從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時他們所走的路程的和相當于從家到學校距離的2倍。因此此題可以轉化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時出發，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經過幾分鐘相遇？〞的問題，解答就容易了。解：〔1〕從家到學校的距離的2倍：1400×2=2800〔米〕〔2〕從出發到相遇所需的時間：2800÷〔200+80〕=10〔分〕〔3〕相遇處到學校的距離：1400-80×10=600〔米〕答：從出發到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學校有600米。穩固訓練 1. 兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時從兩城出發，相向而行。甲每小時行28千米，乙每小時行22千米，乙在中途修車耽誤1小時，然后繼續行駛，與甲相遇，求出發到相遇經過多少時間？快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行40千米，經過3小時快車已過中點12千米與慢車相遇，慢車每小時行多少千米？小華和小明同時從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達對方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？拓展提升客車和貨車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續前進，客車到達乙站后立即返回，貨車到達甲站后也立即返回，兩車再次相遇時，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？2. 甲、乙、丙三輛車同時從A地出發到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。3. 兩列火車從某站相背而行，甲車每小時行58千米，先開出2小時后，車以每小時62千米才開出，乙車開出5小時后，兩列火車相距多少千米？② 火車過橋過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的根本數量關系：過橋問題的一般數量關系是：因為： 過橋的路程=橋長+車長所以有：通過橋的時間=〔橋長+車長〕÷車速車速=〔橋長+車長〕÷過橋時間公式的變形：橋長=車速×過橋時間—車長車長=車速×過橋時間—橋長后三個都是根據第二個關系式逆推出的。火車通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數量關系來解決。例題與方法指導例1. 一列客車經過南京長江大橋，大橋長6700米，這列客車長100米，火車每分鐘行400米，這列客車經過長江大橋需要多少分鐘？思路導航：從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是橋長+車長。通過“過橋的路程〞和“車速〞就可以求出火車過橋的時間?！?〕過橋路程：6700+100=6800〔米〕〔2〕過橋時間：6800÷400=17〔分〕答：這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘。例2. 一列火車長160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導航：要想求火車過橋的速度，就要知道“過橋的路程〞和過橋的時間?！?〕過橋的路程：160+440=600〔米〕〔2〕火車的速度：600÷30=20〔米〕答：這列火車每秒行20米。例3. 某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒鐘，接著通過第二個長216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長度？思路導航：火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個隧道比第二個隧道長360—216=144〔米〕，這144米正好和8秒相對應，這樣可以求出車速。火車24秒行進的路程包括隧道長和火車長，減去的隧道長，就是火車長?！?〕第一個隧道比第二個長多少米？360—216=144〔米〕〔2〕火車通過第一個隧道比第二個多用幾秒？24—16=8〔秒〕〔3〕火車每秒行多少米？144÷8=18〔米〕〔4〕火車24秒行多少米？18×24=432〔米〕〔5〕火車長多少米？432—360=72〔米〕答：這列火車長72米。穩固訓練 1. 某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯車而過，問需要幾秒鐘？一列火車全長265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長的大橋，問需要多少秒鐘？一列長50米的火車，穿過200米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？拓展提升 1. 一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？ 2. 一列貨車全長240米，每秒行駛15米，全車連續通過一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長150米，問這條隧道長多少米？ 3. 一列火車開過一座長1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長多少米？ 4. 在上下行軌道上，兩列火車相對開來，一列火車長182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯車而過用了10秒鐘，求另一列火車長多少米？植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系，我們把這種關系叫做“植樹問題〞。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的〔開放型的〕。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區別在于間隔數〔段數〕與棵數的關系：1、不封閉型的〔多為直線上〕，一般情況為兩端植樹，如以下圖所示，其路長、間距、棵數的關系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數的關系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數的關系就是：2、封閉型的情況〔多為圓周形〕，如以下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距(棵距)長、棵數．只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個．植樹問題的分類：⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題例題與方法指導例1有一條公路長1000米，在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?

思路導航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數比分成的段數多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?

思路導航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數等于分成的段數，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數〔段數〕為150，所以栽夾枝桃的株數=2×150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現在要進行調整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，那么共有16-1=15個間隔，這條街的總長度為8×15＝120〔米〕；現在要調整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數，同時也是12的倍數；8×3=12×2=24，也就是說，每24米及其倍數處的廣告牌可以不需要移動；120÷24＝5，即段數為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓〔梯〕問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。穩固訓練1某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？2光華路小學三年級學生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘?3以下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環連在一起有多長？4一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?

穩固訓練1. 一個街心花園如以下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？2. 時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？3. 鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經過第1根電線桿起到經過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少？有趣的數陣圖把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數陣圖，即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖.為了讓同學們學會解數陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.一、例題與方法指導例1. 在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數〔其中已填好一個數〕，使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數之和都等于21。思路導航：由上一講例4知中間方格中的數為7。再設右下角的數為x，然后根據任一行、任一列及每條對角線上的三個數之和都等于21，如以下圖所示填上各數〔含x〕。因為九個數都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10?？紤]到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。經驗證，當x＝6或8時，九個數中均有兩個數相同，不合題意；當x＝4或10時可得兩個解〔見以下圖〕。這兩個解實際上一樣，只是方向不同而已。例2. 將九個數填入以下圖的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，那么一定有證明： 思路導航：設中心數為d。由上講例4知每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于3d。由此計算出第一行中間的數為2d——b，右下角的數為2d-c〔見以下圖〕。根據第一行和第三列都可以求出上圖中★處的數由此得到3d-c-〔2d-b〕＝3d-a-〔2d-c〕，3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，d——c＋b＝d——a＋c，2c＝a＋b，a＋bc＝2。值得注意的是，這個結論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數，也可以是分數、小數；可以相同，也可以不同。例3. 在下頁右上圖的空格中填入七個自然數，使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個數之和都等于90。思路導航：由上一講例4知，中心數為90÷3＝30；由本講例2知，右上角的數為〔23＋57〕÷2＝40〔見左以下圖〕。其它數依次可填〔見右以下圖〕。例4. 在右圖的每個空格中填入個自然數，使得每一行、每一列及每條對角線上的三個數之和都相等。思路導航：由例2知，右下角的數為〔8＋10〕÷2=9；由上一講例4知，中心數為〔5＋9〕÷2=7〔見左以下圖〕，且每行、每列、每條對角線上的三數之和都等于7×3=21。由此可得如圖的填法。二、穩固訓練1.將1~6分別填在圖中,使每條邊上的三個○內的數的和相等.2.把1~8個數分別填入○中,使每條邊上三個數的和相等.3.把1~9個數分別填入○中,使每條邊上四個數的和相等.4.把1~10填入圖中,使五條邊上三個○內的數的和相等.5.將1~8個數分別填入圖中,使每個圓圈上五個數和分別為20,21,22.有趣的數陣圖練習1. 把1~7填入以下圖中,使每條線段上三個○內的數的和相等.2. 把1~16填入以下圖中,使每條邊上4個數的和相等,兩個八邊形上8個數的和也相等.3. 把4~9填入以下圖中,使每條線上三個數的和相等,都是18.4. 把1~8這8個數填入以下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立.--÷×=+===5. 把0~9填入10個小三角形中,使每4個小三角形組成的大三角形的和相等.6. 把1~11填入圖中,使每條線上三個數的和相等.7. 把1~8,填入圖中,使每條線及正方形四個頂點上的數的和相等.8. 把1~9,填入以下圖中,使每條線段三個數和及四個頂點的和也相等.9. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二個數填入以下圖,使任意三個相鄰的數相加的和除以7的余數相等.枚舉法一般地，根據問題要求，一一枚舉問題的解答，或者為了解決問題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限種情況，一一枚舉各種情況，并加以解決，最終到達解決整個問題的目的。這種分析問題、解決問題的方法，稱之為枚舉法。枚舉法是一種常見的數學方法，當然枚舉法也存在一些問題，那就是容易遺漏掉一些情況，所以應用枚舉法的時候選擇什么樣的標準尤其重要。例題與方法指導例1.一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數字是6的鉛字？思路導航：解：把個位是6和十位是6的數一個一個地列舉出來，數一數。個位是6的數字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。 總共10+10=20〔個〕答：在排頁碼時要用20個數字是6的鉛字。例2.從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法？〔適于三年級程度〕思路導航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經過B市到C市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數碼，這本書有多少頁？思路導航：〔1〕數碼一共有10個：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數的頁有9頁，用數碼9個?！?〕頁碼是兩位數的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數的頁有90頁，用數碼：2×90=180〔個〕〔3〕還剩下的數碼：1890-9-180=1701〔個〕〔4〕因為頁碼是三位數的頁，每頁用3個數碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數碼除以3時，商缺乏600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數，不必考慮是4位數了。往下要看1701個數碼可以排多少頁。1701÷3=567〔頁〕〔5〕這本書的頁數：9+90+567=666〔頁〕穩固訓練如圖9-10，有8張卡片，上面分別寫著自然數1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數字之和為9。問有多少種不同的取法？ 2.從1至8這8個自然數中，每次取出兩個不同的數相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？ 3.現在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢，一共有多少種不同的支付方法？4.媽媽買來7個雞蛋，每天至少吃2個，吃完為止，有多少種不同的吃法？5.有3個工廠共訂300份《吉林日報》，每個工廠最少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？能力提升甲、乙、丙、丁4名同學排成一行。從左到右數，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有多少種？abcd代表一個四位數，其中a，b，c，d均為1，2，3，4中的某個數字，但彼此不同，例如2134。請寫出所有滿足關系a＜b，b＞c，c＜d的四位數abcd來。一個兩位數乘以5，所得的積的結果是一個三位數，且這個三位數的個位與百位數字的和恰好等于十位上的數字。問一共有多少個這樣的數？3件運動衣上的號碼分別是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件。現在25個小球，首先發給甲1個球，乙2個球，丙3個球。規定3人從余下的球中各取球一次，其中穿1號衣的人取他手中球數的1倍，穿2號衣的人取他手中球數的3倍，穿3號衣的人取他手中球數的4倍，取走之后還剩下兩個球。那么，甲穿的運動衣的號碼是多少？甲、乙兩人打乒乓球，誰先勝兩局誰贏；如果沒有人連勝兩局，那么誰先勝三局誰贏，打到決出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情況？邏輯推理曾經愛因斯坦出過一道測試題,他說世界上有98%的人答復不出!!讓我們一起來看看是什么題呢。在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個不同國家的人，他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養著5種不同的寵物。有下面15個條件，求解。

1、英國人住紅色房子。

2、瑞典人養狗。

3、丹麥人喝茶。

4、綠色房子在白色房子左面。

5、綠色房子主人喝咖啡。

6、抽PallMall香煙的人養鳥。

7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。

8、住在中間房子的人喝牛奶。

9、挪威人住第一間房。

10、抽Blends香煙的人住在養貓的人隔壁。

11、養馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。

12、抽BlueMaster的人喝啤酒。

13、德國人抽Prince香煙。

14、挪威人住藍色房子隔壁。

15、抽Blends香煙的人有一個喝水的鄰居。

問:哪個國家的人養魚?這道題為什么會難倒這么多人呢，首先，我們就來研究一下關于他的最根本的邏輯問題吧。例題與方法指導 例1. 某地質學院的學生對一種礦石進行觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經化驗證明：有一個人的判斷完全正確，有一個人說對了一半，而另一個人完全說錯了。你知道三人中誰是對的，誰是錯的，誰是只對一半的嗎？思路導航：丙全說對了，甲說對了一半，乙全說錯了。先設甲全對，推出矛盾后，再設乙全對，又推出矛盾，那么說明丙全對，甲說對了一半，乙全說錯了。 例2. 數學競賽后，小明、小華和小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜想：“小明得金牌，小華不得金牌，小強不得銅牌。〞結果老師只猜對了一個，那么誰得金牌，誰得銀牌，誰得銅牌？思路導航：小華得金牌，小強得銀牌，小明得銅牌?！?〕假設小明得金牌，小華一定“不得金牌〞，這與“老師只猜對了一個〞相矛盾，不合題意?！?〕假設小華得金牌，那么“小明得金牌〞與“小華不得金牌〞這兩句都是錯的，那么“小強不得銅牌〞應是正確的，那么小強得銀牌，小明得銅牌。 例3. 一位法官在審理一起盜竊案中，對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進行了審問。四人分別供述如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。〞乙說：“我沒有做案，是丙偷的。〞丙說：“在甲和丁中間有一人是罪犯。〞丁說：“乙說的是事實。〞經過充分的調查，證實這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。同學們，請你做一名公正的法官，對此案進行裁決，確認誰是罪犯？思路導航：乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話，那么剩下三人中有一人說的也是假話，另外兩人說的是真話?？墒且液投扇说挠^點一致，所以在剩下的三人中只能是丙說了假話，乙和丁說的都是真話。即“丙是盜竊犯〞。這樣一來，甲說的也是對的，不是假話。這樣，前后就產生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能是真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。穩固訓練1. 小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰士，一位是大學生?，F在知道：小李比戰士年齡大，小王和大學生不同歲，大學生比小張年齡小。那么三人各是什么職業? 2. 甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？ 3. 徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。〔1〕車工只和電工下棋；〔2〕王、陳兩位師傅經常與木工下棋；〔3〕徐師傅與電工下棋互有勝負；〔4〕陳師傅比鉗工下得好。問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？抽屜原理如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數將少于或等于3，這與有5個蘋果的條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。以上兩個簡單的例子所表達的數學原理就是“抽屜原理〞，也叫“鴿籠原理〞。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設相矛盾，所以前面假定“這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到2件〞不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原那么也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。例題與方法指導例1. 某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？思路導航：1996年是閏年，這年應有366天。把366天看作366個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2. 在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？思路導航：因為任何整數除以3，其余數只可能是0，1，2三種情形。我們將余數的這三種情形看成是三個“抽屜〞。一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個“抽屜〞里。將四個自然數放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同。這兩個數的差必能被3整除。例3. 在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？思路導航：根據例2的討論，任何整數除以3的余數只能是0，1，2?，F在，對于任意的五個自然數，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論。第一種情形。有三個數在同一個抽屜里，即這三個數除以3后具有相同的余數。因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除。第二種情形。至多有兩個數在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數，在每個抽屜里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2。因此這三個數之和能被3整除。綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數。穩固訓練1. 有蘋果和桔子假設干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數與桔子的總數都是偶數？2. 用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色〔見右圖〕，每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？3. 在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？拓展提升 1. 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。一副撲克牌〔去掉兩張王牌〕，每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。倒推法的妙用師說：“這里有10張紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來。〞“好，已抽好了。〞乙答復道?！班?，把你的那張紙牌上的數乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數是幾?！部扇我庹覍W生抽卡片〕乙又說：“得數是23。〞那她抽的那一張是幾呢？這個數是9，我們怎么知道？同學們，你們都知道其中的奧秘嗎？讓這節課來告訴大家吧，利用倒推法，倒推法是根據加法與減法、乘法與除法互相逆運算的關系，從最后的得數出發。因為23是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會大驚小怪了。例題與方法指導例1.喜迎奧運，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎？思路導航：①100÷25+2×4②100÷(25+2×4)③(100÷25+2)×4到底是哪個呢？倒推法的方法：從結果出發，從后向前運算，并且每個運算變成它的逆運算。正確答案③例2.籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？思路導航：依題意，畫圖進行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個〕答：籃子里原有梨22個.例3.菜站原有冬貯大白菜假設干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現有白菜的一半又30千克，結果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？思路導航：解題時用倒推法進行分析.根據題目的條件畫線段圖〔見以下圖〕，使數量關系清晰的展現出來.解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600〔千克〕②第二天運進200千克后的一半是多少千克？600＋30＝630〔千克〕③第二天運進200千克后有白菜多少千克？630×2＝1260〔千克〕④原來的一半是多少千克？1260—200＝1060〔千克〕⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120〔千克〕答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：［〔1800÷3＋30〕×2—200］×2＝2120〔千克〕答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：①從結果出發，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號穩固訓練一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？拓展提升一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？火柴棍游戲① 擺圖形游戲例1. 用8根火柴棍可以擺成一個正方形。現添兩根，即用10根火柴能擺出與這個正方形同樣大小的圖形嗎？思路導航：8根火柴擺一個正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個圖形都符合題意。例2. 用8根火柴棍擺出八個大小一樣的三角形和兩個一樣大小的正方形。②移動火柴，變換圖形游戲例1. 右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請移動2根火柴，使房子改變方向。思路導航：如左以下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無關，應移動虛線表示的2根火柴(見右以下圖)。例2. 在左以下圖中移動4根火柴棍，使圖形成為只有三個正方形的圖形。思路導航：因為只能移動4根火柴，所以圖中較長的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動。把圖中最里面的4根火柴移補到右上圖的相關位置上即可。 例3. 在左以下圖中移動4根火柴棍，使它變成3個三角形，并且這3個三角形的面積之和與原來的六邊形面積相同。③ 去掉火柴，變換圖形游戲例1. 在左以下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。思路導航：拿掉的火柴應能盡量多的“破壞〞正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。例2. 在左以下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個完全相同的圖形組合。巧求面積習題例1. 把一張長14厘米，寬6厘米的長方形紙，剪成邊長是2厘米的小正方形，能剪多少個？思路導航：方法一：長方形的長是14厘米，剪成的正方形邊長是2厘米，那么一行可剪14÷2=7個，如圖，長方形的寬是6厘米，那么可剪6÷2=3行，這樣共剪7×3=21個。方法二：長方形的面積是14×6=84平方厘米，剪成的小正方形的面積是2×2=4平方厘米，長方形；面積是正方形面積的84÷4=21倍。所以可以剪21個。想一想：如果長方形長15厘米，寬8厘米，剪成邊長為2厘米的小正方形，能剪多少個？應怎樣求？能用第二種方法么？為什么？例2. 求下面圖形的面積〔單位：厘米〕345思路導航：這個圖形較復雜，沒有現成的公式可以求出面積。我們可以把這個圖形進行分割或填補，把它轉化成幾個我們已經學過的圖形如以下圖，用一條線段把原來的圖形分成一個正方形和一個長方形，先分別求出正方形和長方形的面積，再把兩局部面積相加，就可以求出原圖形的面積了。正方形面積：3×3=9平方厘米長方形面積：〔3+4〕×2=14平方厘米組合圖形的面積：9+14=23平方厘米。想一想：這題還有別的方法嗎？〔補成一個大長方形〕小結：有時，可采用“割〞或“補〞的方法，把不規那么圖形轉化成我們學過的圖形。例3. 用一根長20厘米的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都是整厘米數，可以圍成多少個不同的長方形？面積分別是多少平方米？例4. 一個長方形假設長增加3厘米，面積就增加15平方厘米；假設寬減少2厘米，面積就減少20平方厘米。求原來長方形的面積。例5. 兩張邊長是6厘米的正方形紙，一局部疊在一起放在桌上〔如圖〕，重疊局部是個邊長為3厘米的正方形。桌子被蓋住的面積是多少？方程式解應用題例題與方法指導例1買來一批蘋果,分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分3個,那么還剩32個.如果每人分8個,還有5個小朋友分不到蘋果.這批蘋果的個數是多少個?蘋果數不變(抓不變量)、間接設未知數例2一條鯊魚，頭長3米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長再加上半個身長，這條魚全長多少米？間接設未知數設鯊魚身長x米。身長=頭長+尾長，尾長=x÷2＋3身長＝3＋x÷2＋3，例3雞、兔共60只，雞腳比兔腳多60只。問：雞、兔各多少只?解答：假設60只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳120只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多120只，而實際上只多60只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多120-60=60(只)?，F在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，雞60-10=50(只)。二、穩固訓練1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現有的人數增加到原人數的1.5倍，那么每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊?解，等量關系為兩種分法的糖總數不變設開始共有x人，5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．2.甲、乙、丙、丁四人今年分別是16、12、11、9歲。問：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍？解答：這是一道年齡問題，也可以用方程來解決。等量關系為：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍。關鍵：在相同的時間內，每個人增加或減少的年齡是相同的。設x年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.移多補少平均數 在日常生活中，我們經常遇到這樣的情況：有幾個杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們經常駐遇到的“移多補少〞……也就是求平均數問題。一、例題與方法指導例1.小剛有5個抽屜，分別有圖書33本，42本，20本，53本和32本，平均每個抽屜里有圖書多少本？思路導航：分析：如果要求平均每個抽屜里的圖書，就是把5個抽屜的總數除以5。〔33+42+20+53+32〕÷5=36〔本〕或取較為中間的一個數，如35作為基數，再把每個抽屜中的書本與35的差算出來。將這些差相加減，多出的為加